數(shù)學(xué)實(shí)踐與建模ch3526

1、CH3 高等數(shù)學(xué)實(shí)踐3.1 數(shù)列的應(yīng)用數(shù)列的應(yīng)用例1 我想買蘋果（貸款利息問題） 某同學(xué)很想買一套蘋果產(chǎn)品（Macbook，Minipad，Iphone 6s），大約需要2萬元，但是沒錢。因?yàn)楹芟胭I，就打算利用校園網(wǎng)絡(luò)貸款，但是又看到了一則大學(xué)生因無力償還高額貸款而XX的新聞，就很糾結(jié)。因此需要了解有關(guān)貸款利息的問題，那么我們一起算算如果貸款2萬元而需要償還多少利息的問題。3.1 數(shù)列的應(yīng)用數(shù)列的應(yīng)用兩種還款方式： 等額本息還款法，就是指貸款人每月以相等的額度平均償還貸款本息，期滿還清； 等額本金還款法，就是指貸款人將本金均攤到每個(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一還款日至本次還款日之間的本金利息?；炯僭O(shè)：

2、貸款者是及時(shí)、按月月末還款；不考慮經(jīng)濟(jì)波動的影響，貸款期內(nèi)貸款利率不變，利息按復(fù)利計(jì)算等。 1. 等額本息還款法：為方便計(jì)算，設(shè) m 為貸款總額(元)，n 為還款期限(月)，p 為貸款月利率，y為 等額本息還款中每月還款額，a(i) 為第 i 月初剩余還款額， b(i)為第 i 月末剩余還款額。根據(jù)基本規(guī)則，月初和月末剩余還款額滿足：yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy則應(yīng)還利息為：(1).(1)1nnnmppnymmp則以等額本息方式來還款時(shí)，應(yīng)還的利息為：20211在本題中 m=2萬元，n=24個(gè)月，p=0.0655。則應(yīng)還利息為：(1).2mp n則以等額本金方式來還款時(shí)，應(yīng)還的利息

3、為：16375例2 我要記單詞（學(xué)習(xí)遺忘問題）假如我們記憶100頁的英文詞匯，并給出如下設(shè)定(1)假設(shè) 表示開始學(xué)習(xí)時(shí)掌握的頁數(shù)， 。(2)假設(shè) 表示第n次學(xué)習(xí)之后掌握的頁數(shù)，且有。(3) 常數(shù)A表示每次學(xué)習(xí)之后新掌握的頁數(shù)和每次學(xué)習(xí)之前未掌握的頁數(shù)的百分比。0bnb0100nb00b 建立模型100(100),bbAb211(100),bbAb11(100),nnnbbAb進(jìn)而可得1(1)100 ,nnbA bA最終可得0100(100)(1) ,nnbbA不妨假設(shè)： ，有下圖010,0.1bA 例3 喵星人的睡姿和兩只兔子的關(guān)系 公元1202年，斐波那契的傳世之作算法之術(shù)出版。在這部名著中

4、，斐波那契提出了以下饒有趣味的問題。有人想知道在一年中一對兔子可以繁殖多少對小兔子，就筑了墻把一對兔子圈了進(jìn)去。如果這對大兔一個(gè)月生一對小兔子，每產(chǎn)一對兔子必為一雌一雄，而每對小兔子生長一個(gè)月就成為大兔子，并且所有的兔子全部存活，那么一年后圍墻內(nèi)有多少對兔子？解解 ： 假設(shè)在1月1日將一對小兔子放進(jìn)圍墻內(nèi)，每對大兔子經(jīng)過一個(gè)月后又繁殖出一對小兔子，一對小兔子經(jīng)一個(gè)月變成一對大兔子，不過還未生小兔子?？芍?，從3月份開始每月的兔子總數(shù)恰好等于它前兩個(gè)月兔子數(shù)的總和。按此規(guī)律可寫出數(shù)列： 該數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。設(shè)其通項(xiàng)為 ，則該數(shù)列 具有下述遞推關(guān)系： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,5

5、5,89,144,233,nx21nnnxxx法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)求出了通項(xiàng) 為令人驚奇的是，比內(nèi)公式中的 是用無理數(shù)的冪表示的，然而它所得的結(jié)果卻是整數(shù)。與斐波那契數(shù)列密切相關(guān)的有兩重要極限：nx1111515,0,1, 2,225nnnxnnx1151lim0.618(3.1)251lim1.618(3.2)2nnnnnnxxxx下面證明（3.1）和（3.2）式。設(shè) ，則數(shù)列 是單調(diào)遞減的，數(shù)列 是單調(diào)增加的。對一切 ，即數(shù)列 ， 都是有界數(shù)列。根據(jù)單調(diào)有界原理，數(shù)列 都有極限。設(shè) ，分別對 和 ，取極限，得1nnnxux111111,1,2,.nnnnnnnxxxunxxu 2nu21nu2,

6、12nnu221,nnuu221,nnuu221lim,limnnnnuuuv22111nnuu 21211nnuu 111,1.uvvu 以上兩式相減，得從而得 ，即 。否則 。因?yàn)?，而由 得 ，這是不可能的。所以 存在，記為 ，從而有 。解方程得 。因?yàn)?，所以由于 ，所以 。,uvuvuv0uv221limlimnnnnuu 1uv211nu1uvu0u limnnu*u*11uu *152u211nu*115limlim1.6182nnnnnxuux111nnnnxxxx151limlim10.6182nnnnnxux 生物學(xué)家也對此產(chǎn)生興趣。例如，樹木的生長，由于新生的枝條往往需要

7、一段“休息”時(shí)間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如，一年以后長出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)，此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝丫數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。 科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，一些植物的花瓣、萼片、果實(shí)的數(shù)目以及排列的方式上，都有一個(gè)神奇的規(guī)律，它們都非常符合著名的斐波那契數(shù)列。例如：薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下圖中，你可以看到兩條不同方向的螺旋。我們可以數(shù)一下，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的（和左邊那條旋轉(zhuǎn)方向相同）螺旋一共有13條，而逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的則有21條。此外還有菊

8、花、向日葵、松果、菠蘿等都是按這種方式生長的。 最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的向日葵種子。仔細(xì)觀察向日葵花盤，你會發(fā)現(xiàn)2組螺旋線，一組順時(shí)針方向盤繞，另一組則逆時(shí)針方向盤繞，并且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，種子順、逆時(shí)針方向和螺旋線的數(shù)量有所不同，但往往不會超出34和55、55和89或者89和144這三組數(shù)字，這每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的2個(gè)數(shù)。前一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針盤繞的線數(shù)，后一個(gè)數(shù)字是逆時(shí)針盤繞的線數(shù)。 菠蘿的表面，與松果的排列略有不同。菠蘿的每個(gè)鱗片都是三組不同方向螺旋線的一部分。大多數(shù)的菠蘿表面分別有5條、8條和13條螺線，這些螺線也稱斜列線菠蘿果實(shí)上的菱形鱗片，一

9、行行排列起來，8行向左傾斜，13行向右傾斜。挪威云杉的球果在一個(gè)方向上有3行鱗片，在另一個(gè)方向上有5行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，其松果上的鱗片在2個(gè)方向上各排成5行和8行，美國松的松果鱗片則在2個(gè)方向上各排成3行和5行 。 數(shù)學(xué)中，還有一個(gè)稱為黃金角的數(shù)值是137.5，這是圓的黃金分割的張角，更精確的值應(yīng)該是137.50776。與黃金數(shù)一樣，黃金角同樣受到植物的青睞。 1979年，英國科學(xué)家沃格爾用大小相同的許多圓點(diǎn)代表向日葵花盤中的種子，根據(jù)斐波那契數(shù)列的規(guī)則，盡可能緊密地將這些圓點(diǎn)擠壓在一起。他用計(jì)算機(jī)模擬向日葵的結(jié)果顯示，若發(fā)散角小于137.5，那么花盤上就會出現(xiàn)間隙，且只能看到一

10、組螺旋線；若發(fā)散角大于137.5，花盤上也會出現(xiàn)間隙，而此時(shí)又會看到另一組螺旋線；只有當(dāng)發(fā)散角等于黃金角時(shí)，花盤上才呈現(xiàn)彼此緊密鑲合的2組螺旋線。 所以，向日葵等植物在生長過程中，只有選擇這種數(shù)學(xué)模式，花盤上種子的分布才最為有效，花盤也變得最堅(jiān)固壯實(shí)，產(chǎn)生后代的幾率也最高。只有這樣的布局能使植物的生長疏密得當(dāng)、最充分地利用陽光和空氣，所以很多植物都在億萬年的進(jìn)化過程中演變成了如今的模樣。當(dāng)然受氣候或病蟲害的影響，真實(shí)的植物往往沒有完美的斐波那契螺旋。 另外，自然界中，互生葉序相鄰的一對葉子，與對生葉序的一對相對生的葉子的夾角也是約為137.5，這個(gè)黃金角值。 松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的

11、花瓣數(shù)：典型的有向日葵花瓣，茉莉花（3個(gè)花瓣），毛莨（5個(gè)花瓣），翠雀（8個(gè)花瓣），萬壽菊（13個(gè)花瓣），紫宛（21個(gè)花瓣），雛菊（34、55或89個(gè)花瓣）。蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數(shù)e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。 斐波那契螺旋線，也稱斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案。 由上述推導(dǎo)知， 越大，數(shù) 越接近 。這就是說，一個(gè)所有的項(xiàng)都是有理數(shù)的數(shù)列，卻與 這樣一個(gè)無理數(shù)有著密切的關(guān)系。這個(gè)數(shù)就是黃金分割黃金分割的值。n1nnxx5125123.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)例例例1 1 誰

12、跑的最快誰跑的最快 假定在某湖畔舉行越野賽，起點(diǎn)設(shè)在如圖3.2所示的 P點(diǎn)，終點(diǎn)在湖心的Q點(diǎn)。坐標(biāo)系中 X軸下方為湖，X 軸上方為陸地。P、Q 兩點(diǎn)的南北距離為5千米，東西距離為7千米，湖岸邊位于P點(diǎn)以南2千米。比賽中運(yùn)動員可自行選擇線路，但必須從P點(diǎn)出發(fā)跑步到岸邊，再從岸邊下水游泳到達(dá)終點(diǎn) Q。已知運(yùn)動員跑步的速度為18千米/小時(shí)，游泳的速度為6千米/小時(shí)，問他應(yīng)從岸邊的何處下水才能使比賽用時(shí)最少?解解 ： 考慮光的折射問題。假定一束光線由空氣中P點(diǎn)經(jīng)過水面折射后進(jìn)入水中Q點(diǎn)。已知光線總是以耗時(shí)最少的路線傳播。在平面直角坐標(biāo)系中，PQ的坐標(biāo)分別為 ，X軸為水面。光在空氣中的傳播速度為 ，光在

13、水中傳播速度為 ，試確定光線的傳播線路，找出入射角 和折射角 的關(guān)系. 由于光在同一介質(zhì)中按直線傳播耗時(shí)最少，所以，光從 P點(diǎn)出發(fā)到達(dá)R點(diǎn)所用時(shí)間為(0,p),(d,q)PQvv221| PR |xptvv光從R點(diǎn)出發(fā)在水中到達(dá)Q點(diǎn)所用的時(shí)間為 所以，光從P點(diǎn)出發(fā)到達(dá)Q點(diǎn)的總耗時(shí)為 求x，使 達(dá)到極小。為此求導(dǎo)數(shù)令 ，得( )Tx222()| R|dxqQtvv2222()( ),0,d,xpdxqT xxvv2222.()dTxdxdxvxpvdxq( )0T x 2222(3.6)xdxvxpvdxq（）從而得 式（3.7）就是光線的折射定律折射定律?，F(xiàn)在回到本例，越野賽問題完全可看成是光

14、比P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)R點(diǎn)折射到達(dá)Q點(diǎn)的用時(shí)問題，其中, 因此，由（3.6）式得解得駐點(diǎn) ，此駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)。sin.sin3 .7vv（）/ h,/8h,16vvkmkm2p m, q=3m, d=7m227,1846(7)9xxxx6x 所以由（3.5）式，得即選擇在距離原點(diǎn)6千米處下水，用時(shí)僅為0.8784小時(shí)。2222(7 6)3625 10(6)18618T0.（8784小時(shí)）,Matlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號: 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分

15、，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022dxyd應(yīng)表達(dá)為：D2y=0. 結(jié) 果：u = tan(t+c)3.5 微分方程的應(yīng)用實(shí)例解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin(5x)y =C1*exp(-2*x)*cos(5*x)+C2*exp(-2*x)*sin(5*x)若輸入: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,x)例例2 2 人會越來越多嗎？

16、人會越來越多嗎？（人口數(shù)量預(yù)測問題） 人類的繁殖長期以來是處于自發(fā)狀態(tài)的,但由于人口數(shù)量的急劇膨脹對生態(tài)環(huán)境的破壞越來越嚴(yán)重，近些年人們開始研究人類和自然的關(guān)系、以及如何進(jìn)行人口控制等問題. 試根據(jù)現(xiàn)有資料,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來預(yù)測某國家或地區(qū)的人口數(shù)量. 解解 模型一：指數(shù)增長模型。 英國人口學(xué)家馬爾薩斯調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料,得出了人口增長率（不是變化率）不變的假設(shè).設(shè)某地區(qū)時(shí)刻t的人口為 （ 是連續(xù)、可微的,人口增長率為常數(shù)r ,即單位時(shí)間內(nèi) 的增量等于 . 考慮 到 時(shí)間段內(nèi)人口的增量令 ，可得微分方程的初值問題( )x t( )x t( )x t( )rx ttt()( )

17、( ),x ttx trx tt 0t 0,( 0 ).d xr xd txxt 容易求得此問題的解為 . 當(dāng)常數(shù) 時(shí), 是按指數(shù)規(guī)律增長. 在指數(shù)增長模型中，人口數(shù)量越大,人口增長的速度就越快,這一直觀認(rèn)識和表3.1世界人口數(shù)量增長比較吻合. 表3.1 世界人口數(shù)量統(tǒng)計(jì)0( )rtx tx e0r ( )x t年年1625183019301960197419871999人口人口（億）（億）5102030405060 指數(shù)規(guī)律增長模型在描述美國1790到1860年的人口增長規(guī)律中也曾獲得較大成功,但進(jìn)入20世紀(jì)后,美國人口增長明顯放緩,此模型就有點(diǎn)不太切合實(shí)際了.事實(shí)上,人口增長必然受到生存環(huán)

18、境和資源供給等因素限制,這樣人口數(shù)量不可能超過環(huán)境和資源所能承受的最大數(shù)量 .mx模型二：阻滯增長模型。 阻滯增長模型也稱邏輯斯諦（Logistic)模型,是由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst(威爾霍斯特)在19世紀(jì)中葉提出的。利用變量分離法可以求得阻滯增長模型的解為下面根據(jù) 符號與x大小的關(guān)系來分析下阻滯增長模型的隱含意義.0(1),( 0 ).md xxr xd txxx0( ).1(1) emrtmxx txxd xd t 當(dāng)人口數(shù)量低于最大承受的量 時(shí), , 此時(shí) 將按變化率 增加,逐漸趨于 .當(dāng)意外情況出現(xiàn)導(dǎo)致人口數(shù)量大于最大承受的量 時(shí), , 此時(shí) 將遞減逐漸趨于合理值 .經(jīng)過這樣的

19、一個(gè)自然調(diào)節(jié)過程,人口數(shù)量就會維持在合理范圍之內(nèi)。mx0dxdt( )x t(1)mxrxxmxmx0dxdt( )x tmx論文選題：借助“人口模型”，研究生物群體的發(fā)展變化，如研究動物、植物的數(shù)量以及相關(guān)產(chǎn)品的產(chǎn)量變化問題。例如：具有年齡結(jié)構(gòu)的理論生態(tài)模型研究例如：具有年齡結(jié)構(gòu)的理論生態(tài)模型研究研究意義研究意義 從數(shù)學(xué)理論分析出發(fā)，考察具有從數(shù)學(xué)理論分析出發(fā)，考察具有年齡結(jié)構(gòu)年齡結(jié)構(gòu)的理論生態(tài)模的理論生態(tài)模型，揭示植被群落形成和演變的內(nèi)在本質(zhì)型，揭示植被群落形成和演變的內(nèi)在本質(zhì) ，從而，從而為改為改進(jìn)和研發(fā)全球植被動力學(xué)模式提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)進(jìn)和研發(fā)全球植被動力學(xué)模式提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

20、閉環(huán)控制對應(yīng)的初邊值問題0b( ,t)b( ,t)m( ,t)b( ,t),tb( ,0)b ( ),b(0,t)(t). （1）：個(gè)體密度函數(shù)。b( ,t)m( ,t)：死亡率函數(shù)。 實(shí)際上，實(shí)際上， 應(yīng)和應(yīng)和 時(shí)刻的個(gè)體數(shù)狀態(tài)特別是和成熟植被時(shí)刻的個(gè)體數(shù)狀態(tài)特別是和成熟植被的繁殖能力有密切關(guān)系，即有如下關(guān)系式的繁殖能力有密切關(guān)系，即有如下關(guān)系式其中其中 為平均有效萌發(fā)率，即：在為平均有效萌發(fā)率，即：在 時(shí)刻時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)平時(shí)刻時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)成熟植物貢獻(xiàn)的成活種子數(shù)；均每個(gè)成熟植物貢獻(xiàn)的成活種子數(shù)； 為生殖率，刻畫了為生殖率，刻畫了植物在不同年齡和時(shí)間的繁殖能力；植物在不同年齡和時(shí)間

21、的繁殖能力； 是植物具有繁殖能是植物具有繁殖能力的年齡區(qū)間。力的年齡區(qū)間。(t)t21(t)(t)h( ,t)b( ,t)d ,(t)th( ,t)12,常系數(shù)系統(tǒng)210b( ,t)b( ,t)m( )b( ,t),tb( ,0)b ( ),b(0,t)(t)h( )b( ,t)d . （2）：個(gè)體密度函數(shù)。b( ,t)m( )：死亡率函數(shù)。：生殖率函數(shù)。h( )：平均有效萌發(fā)率。函數(shù)的具體形式 51.5100,05,h( )0.01(5),5100.e204060801000.020.040.060.080.100.12（樹齡，年）（樹齡，年）生殖率生殖率h( )1.9818.25m( )(

22、1),0100.e0204060801000.0100.0150.0200.0250.0300.035死亡率死亡率m( )（樹齡，年）（樹齡，年）5 是自然增長率，滿足m00m()d0h( )ed1. 自然增長自然增長率率0萌發(fā)率萌發(fā)率0 B(t)const,00,B(t)解的穩(wěn)定性系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的（1）b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）60708090100100200300400500密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）個(gè)體數(shù)（株）個(gè)體數(shù)（株）t 時(shí)間（年）時(shí)間（年）t 時(shí)間（年）時(shí)間（年）系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的B(t)0,00,（2）B(t)b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）

23、密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）60708090100100150200250300350400t 時(shí)間（年）時(shí)間（年）個(gè)體數(shù)（株）個(gè)體數(shù)（株）t 時(shí)間（年）時(shí)間（年） 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定 B(t), 00,（3）B(t)b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）t 時(shí)間（年）時(shí)間（年）密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）個(gè)體數(shù)（株）個(gè)體數(shù)（株）t 時(shí)間（年）時(shí)間（年）60708090100200030004000500060007000例例3.39懸鏈線問題有一柔軟且質(zhì)量均勻的線，懸掛在兩固定點(diǎn)，在重力作用下處于平衡狀態(tài)，則該細(xì)線構(gòu)成的軌跡稱為懸鏈線。下面我們來求該懸鏈線的方程。解解 :設(shè) 為懸鏈線

24、單位長度所受到的重力。以 表示曲線在 處的張力，在曲線上任取一小弧段 ， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，由平衡條件在水平方向上有其中 為曲線切線與 軸正向的夾角。于是，在懸鏈線上任一點(diǎn)的水平張力為常數(shù)，設(shè)為H，即 在垂直方向的平衡條件為 在垂直方向的平衡條件為( )T x( , )P x yPQQxx( )cos( ( )()cos( () 3,7).4T xxT xxxx（）x( ) cos( )HT xxPQtan( ()tan( ( )3.)48,HxxHxs （）即令 ，得微分方程 這就是懸鏈線的微分方程。求解微分方程（3.49），令 ，則（3.49）式化為 （3.50）式為變量可分離的微分方程，其

25、通解為2()y( )1 (y( ),y xxxxxH0 x 2y1 (y) ,3.49H（）yp23.510,dppdxH（）1(x C )21e,Hpp于是，有 再次積分，得設(shè)懸鏈線最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為 ，則有初始條件 將此條件代入（3.52）式，得于是得懸鏈線方程為 1(xC ),3.51yshH（）12(x C )C .3.52HychH（）0 xh00(),()0,y xhyx102,HCxCh0(x)3.53HHychxhH（）實(shí)例：實(shí)例：設(shè)兩等高鐵塔間的距離為2l ，垂度為f ，建立直角坐標(biāo)系，則導(dǎo)線的方程為因?yàn)?，所以設(shè) ，則上式變?yōu)槔媒朴?jì)算方法可求出（3.55）的近

26、似解 。于是得高壓導(dǎo)線的水平張力為 。.HHychxH( )y lf,HHfchlHluH1,3 .5 5fch uul（）0u0lHu另外，當(dāng)X很小時(shí)，由泰勒公式得于是，懸鏈線方程近似為因此，懸鏈線在其頂點(diǎn)附近近似于拋物線，在工程上常用拋物線來近似代替懸鏈線。22211,2chxxHH 2.2yxH例例3.38 質(zhì)點(diǎn)滑落所用最短時(shí)間的最佳路線問題1696年，約翰 伯努利提出了一個(gè)開放性問題：確定一條從 點(diǎn)到 點(diǎn)的曲線（ 點(diǎn)在 點(diǎn)下方，但不在 點(diǎn)正下方），使得一顆珠子在重力作用下沿曲線從 點(diǎn)到達(dá) 點(diǎn)所用時(shí)間最短。這就是著名的最速下降問題。解解 : 假定有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從 點(diǎn)滑落到 點(diǎn)，求所用最短時(shí)間路線l 的方程。質(zhì)點(diǎn)受重力作用從P點(diǎn)出發(fā)沿曲線l滑落到 Q點(diǎn)。由能量守恒定律有所以，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度為 (0,0)P( , )Q a b21, 323.3mgymv（）2.vgy由于 ，其中s為從 出