10Stokes公式ppt課件

1、Stokes Stokes 公式公式一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式 前面所介紹的前面所介紹的 Gauss 公式是公式是 Green 公式的推廣公式的推廣下面我們下面我們 從另一個角度來推廣從另一個角度來推廣Green 公式。公式。 Green 公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系， stokes公式則是把曲面上的曲面積分與沿曲面的邊界公式則是把曲面上的曲面積分與沿曲面的邊界曲線曲線上的曲線積分聯(lián)系起來上的曲線積分聯(lián)系起來定定理理 設(shè)設(shè) 為為分分段段光光滑滑的的空空

2、間間有有向向閉閉曲曲線線, , 是是以以 為為邊邊界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面, , 的的正正向向與與 的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則, , 函函數(shù)數(shù)),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在在包包含含曲曲面面 在在內(nèi)內(nèi)的的一一個個空空間間區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則有有公公式式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdxn 右手法則右手法則 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 證明證明如圖如圖設(shè)設(shè)與與平平行行于于z軸軸的的直直線線相相交交不不多多于于一一點點, , 并并取取上上

3、側(cè)側(cè), ,有有向向曲曲線線 C C 為為的的正正向向邊邊界界曲曲線線 在在xoy的的投投影影. .且且所所圍圍區(qū)區(qū)域域xyD. .xyzo),(:yxfz xyD Cn思路思路曲面積分曲面積分1二重積分二重積分2曲線積分曲線積分dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代代入入上上式式得得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即yfzPyPyxfyxPy ),(,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD 1根椐格林公式根椐格林公式 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxP

4、yxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向曲線空間有向曲線同理可證同理可證,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ ,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立.便于記憶形式便于記憶形式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz另一種形式另一種形式 RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscoscos,cos,cos n其中其中StokesStok

5、es公式的實質(zhì)公式的實質(zhì): : 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系.( (當(dāng)是當(dāng)是xoy面的平面閉區(qū)域時面的平面閉區(qū)域時) )斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形二、簡單的應(yīng)用二、簡單的應(yīng)用例例 1 1 計計算算曲曲線線積積分分ydzxdyzdx , , 其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整個個邊邊界界, ,它它的的正正向向與與這這個個三三角角形形上上側(cè)側(cè)的的法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則. . 解解0 xyDxyzn111

6、按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz弦都為正，弦都為正，的法向量的三個方向余的法向量的三個方向余由于由于 再由對稱性知：再由對稱性知： dxdydzdxdydz xyDd3如圖如圖xyDxyo11xyDdzyxdyzdx 23 例例2 計算計算 dzyxdyxzdxzy)()()(1,222 bzaxayx為為橢橢圓圓其其中中 從從 x 軸正向看去，橢圓取逆時針方向軸正向看去，橢圓取逆時針方向解一解一用用 Stokes 公式公式 RdzQdyPdx RQPzyxdxdydzdxdydzxyzo dxdydzdxdydz)11()11()11( d

7、xdydzdxdydz2坐坐標(biāo)標(biāo)面面垂垂直直與與 zox 0dzdx面面的的投投影影為為一一橢橢圓圓在在 yoz 1222bzaxayx消去消去 x 得得1)(2222 aybbz yzDabdydzdydz（橢圓面積）（橢圓面積）222ayxxoy ：面面的的投投影影在在 xyDadxdydxdy2（圓面積）（圓面積） )(2baaRdzQdyPdx解二解二化為參變量的定積分計算化為參變量的定積分計算 tytxsincos令令)cos1()1(tbaxbz 則則 20)sin)(cos1(sintatbtaI tbtatatatatbsinsincoscoscos)cos1( )(2baa

8、解三解三 投影方法投影方法 1:222bzaxayx 將將投影到投影到 xoy 面得投影曲線面得投影曲線222:ayxC （逆時針方向）（逆時針方向）記記 C 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為 D RdzQdyPdxI Cdyxaxbdxaxby)1()1()1()(axbdyx Cdyxabbdxbyab)1()1( Ddxdyab)1(2Green公式公式)(2baa 三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 前面我們利用前面我們利用Green公式得到了平面曲線積分公式得到了平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，完全類似地，利用與路徑無關(guān)的條件，完全類似地，利用Stokes 公式公式可

9、推得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件可推得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 空間一維單連域：假設(shè)空間一維單連域：假設(shè) G 內(nèi)任一閉曲線總可內(nèi)任一閉曲線總可以張一張完全屬于以張一張完全屬于 G 的曲面，則稱的曲面，則稱 G 為空間一為空間一維單連域，或稱維單連域，或稱 G 為按曲面是單連通區(qū)域為按曲面是單連通區(qū)域內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在）的的充充要要條條件件是是為為任任一一閉閉曲曲線線的的曲曲線線積積分分內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)（或或沿沿在在間間曲曲線線積積分分一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則空空內(nèi)內(nèi)具具有有在在是是空空間間一一維維單單連連域域，設(shè)設(shè)定定理理GzPxRyRzQxQyPGGRdzQdyP

10、dxGRQPG ,0, 應(yīng)用上述定理，并仿照以前的證明方法可得到應(yīng)用上述定理，并仿照以前的證明方法可得到內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在的的全全微微分分的的充充要要條條件件內(nèi)內(nèi)是是某某一一函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則內(nèi)內(nèi)具具有有在在是是空空間間一一維維單單連連域域，設(shè)設(shè)定定理理GzPxRyRzQxQyPzyxuGRdzQdyPdxGRQPG ,),(,oxyzM0MM1M2 ),(),(000),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu xxyydyzyxQdxzyxPzyxu00),(),(),(000 zzdzzyxR0),(四、物理意義四、物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度1.

11、 1. 環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義: :.),(),(),(),(按所取方向的環(huán)流量按所取方向的環(huán)流量沿曲線沿曲線稱為向量場稱為向量場上的曲線積分上的曲線積分中某一封閉的有向曲線中某一封閉的有向曲線則沿場則沿場設(shè)向量場設(shè)向量場CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 利用利用stokesstokes公式公式, , 有有sdRQPzyxkjisdAC 環(huán)流量環(huán)流量2. 2. 旋度的定義旋度的定義: :. )(ArotRQPzyxkji為為向向量量場場的的旋旋度度稱稱向向量量 RQPzyxkjiArot 旋度旋度.)()()(kyPxQjxRzPizQyR 斯托克斯

12、公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( dsRQP)coscoscos( 其中其中,coscoscoskjin 的單位法向量為的單位法向量為kjit coscoscos 的的單單位位切切向向量量為為斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn coscoscosRQPnAAt dsAsdArott環(huán)流量環(huán)流量Stokes公式的物理解釋公式的物理解釋:向向量量場場A沿沿有有向向閉閉曲曲線線 的的環(huán)環(huán)流流量量等等于于向向量量場場

13、A的的旋旋度度場場通通過過 所所張張的的曲曲面面的的通通量量. .( ( 的的正正向向與與 的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手法法則則) )例例4 設(shè)一剛體繞過原點的某個軸設(shè)一剛體繞過原點的某個軸轉(zhuǎn)動，其角速度為轉(zhuǎn)動，其角速度為 321, 剛體在每一點的線速度構(gòu)成一線剛體在每一點的線速度構(gòu)成一線速場，則向量速場，則向量 zyxOMr, 在點在點 M 處的線速度場的旋度處的線速度場的旋度等于角速度的等于角速度的 2 倍倍Mv Lo解解由力學(xué)知道點由力學(xué)知道點 的線速度為的線速度為M rv zyxkji321 觀察旋度觀察旋度vrot .22,2,2321 由此可看出速由此可看出速度場的旋度與度場的旋度與旋

14、轉(zhuǎn)角速度的旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系關(guān)系.五、向量微分算子五、向量微分算子kzjyix -Hamilton 算子算子graduu graduuu 2)()(kzujyuixukzjyix uzuyuxu 222222-Laplace算子算子kRjQiPA divAzRyQxPA rotARQPzyxkjiA 假設(shè)假設(shè) P，Q , R 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)， 即得即得0)( rotAdiv-即旋度場是無源場即旋度場是無源場0)( gradurot-即梯度場是無旋場即梯度場是無旋場六、小結(jié)六、小結(jié)斯托克斯公式斯托克斯公式 dsRQPzyxcoscoscos RdzQdyPdxRQPzy

15、xdxdydzdxdydz dstAdSnArot斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 計 算計 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圓 周是 圓 周2,222 zzyx若從若從z軸正向看去軸正向看去, ,這圓周是這圓周是逆時針方向逆時針方向 . . 二、二、 計 算計 算 dzxdyzdxy222, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和園柱面和園柱面axyx 22的交線的交線)0,0( za, ,從從x軸正向看去軸正向看去, ,曲線為逆時針方曲線為逆時針方向向 . . 三、三、 求向量場求向量場jyxziyzA)cos()sin( 的旋度的旋度 . . 四四、利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式把把曲曲面面積積分分 dsnArot化化成成曲曲 線線積積分分, ,并并計計算算積積分分值值, ,其其中中A, , 及及n分分別別如如下下: : kxzjxyiyA 2, , 為為上上半半個個球球面面 221yxz 的的上上側(cè)側(cè), ,