03極限的運算法則與性質(zhì)ppt課件

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第三節(jié)第三節(jié) 極限的運算法則與性極限的運算法則與性質(zhì)質(zhì)一、極限的運算法則一、極限的運算法則二、極限的性質(zhì)二、極限的性質(zhì)主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、極限運算法則 為簡化起見為簡化起見, 以以 表示自變量表示自變量 的下列任一種變化的下列任一種變化limx00,.xxxxxx 趨勢趨勢:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁法則法則1極限四則運算法則設(shè)極限四則運算法則設(shè)lim( ),lim ( ),f xAg xBlim( )( )lim( )lim ( );f xg xABf xg xlim( ) ( )lim( ) lim ( );f

2、 x g xABf xg x那么那么( )lim( )lim.( )lim ( )f xAf xg xBg x假設(shè)假設(shè) 則有則有0,B 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例1 求極限求極限22lim 243 .xxx解解 由運算法則得由運算法則得22lim 243xxx22222 lim4lim3lim1xxxxx2222lim2lim4lim3xxxxx22 24 23 113. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 由上例得到多項式函數(shù)在有限點的極限的一般公式由上例得到多項式函數(shù)在有限點的極限的一般公式:假設(shè)假設(shè)1011( ),nnnnf xa xa xaxa那么那么0lim( )xxf x010110lim(

3、).nnnnxxa xaxaxaf x上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例2 求極限求極限2121lim.3xxxx解解 因因所以由商的運算法則得所以由商的運算法則得12211lim 21213lim.35lim3xxxxxxxxx21lim350,xxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 更一般地有有理函數(shù)在有限點處的求極限法則更一般地有有理函數(shù)在有限點處的求極限法則: 假設(shè)假設(shè) 10111011( )( ),( )mmmmmnnnnna xa xaxaP xf xb xbxbxbP x且且 那么那么:0()0,nP x000( )lim( )lim().( )mxxxxnPxf xf xP x上頁下頁鈴結(jié)束返回

4、首頁例例3 求極限求極限22123lim.1xxxx解解 因因221323111xxxxxxx31xx約分約分所以所以2211233limlim2.11xxxxxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例4 求極限求極限32322321lim.323xxxxxxx32322321lim323xxxxxxx23231112322lim.1113323xxxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 得得 3,x上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例5 求極限求極限2321lim.221xxxxxx2321lim221xxxxxx解解 分子分母均除以分子分母均除以 , 得得 3x2323111lim0.111122xxx

5、xxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 對上面幾個例子的分析對上面幾個例子的分析, 得到有理函數(shù)得到有理函數(shù)10111011( )limlim( )mmmmmnnxxnnnP xa xa xaxaP xb xb xbxb00 anmb0 mn f xx時的極限公式時的極限公式:當當 基本方法基本方法: 除以最高次冪除以最高次冪.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁00lim ( )lim( ).xxuuf u xf uA法則法則2復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則 ） 設(shè)設(shè)0lim( ),uuf uA ( )f u x但在點但在點 的某去心領(lǐng)域內(nèi)的某去心領(lǐng)域內(nèi) 則復合函數(shù)則復合函數(shù)0( ),u xu0 x

6、又設(shè)函數(shù)又設(shè)函數(shù) 當當 時的極限存在且等于時的極限存在且等于 ( )ug x 0 xx0,u0 xx當當 時的極限存在時的極限存在, 且且0 xx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例6 求極限求極限 2lim23.xx解解 令令 則函數(shù)則函數(shù)23,( ),uxf uu( ),( )f u ug x滿足定理的條件滿足定理的條件, 由此得到由此得到27lim23lim7.xuxu上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例7 求求22lim.2xxx解解 22lim2xxx222lim2 2.2xxxx222lim22xxxxx上例給出了無理函數(shù)求極限的一般方法上例給出了無理函數(shù)求極限的一般方法: 有理化有理化.上頁下頁鈴結(jié)

7、束返回首頁例例8 求求2413lim.22xxx 解解 2413lim22xxx 242228lim.32413xxxxx 241341322lim2222413xxxxxxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、極限的性質(zhì) 1. 收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性定理定理 收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界.ax1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx()1a1a【】1M2M推論推論: 無界數(shù)列必發(fā)散無界數(shù)列必發(fā)散. 注意注意, 該定理不是充分必要條件該定理不是充分必要條件. 例如數(shù)列例如數(shù)列11nnx 是有界數(shù)列但是發(fā)散的是有界數(shù)列但是發(fā)散的.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 與數(shù)列的有界性定理平行的是與數(shù)列的有界性

8、定理平行的是:定理定理 （局部有界性如果極限（局部有界性如果極限0lim( )xxf x存在存在 , 那么那么0 x0 x0 x yf xxyO1A1AA 有界性的幾何意義有界性的幾何意義.局部范圍局部范圍上界與下界上界與下界在在 的某個去心鄰域內(nèi)的某個去心鄰域內(nèi), 函數(shù)函數(shù) 有界有界.0 x( )f x上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 2.有極限的函數(shù)的局部保號性有極限的函數(shù)的局部保號性定理定理 （極限的保號性）（極限的保號性） 假如假如0lim( )0,xxf xA 0.f x 則存在則存在0 x的某個去心鄰域內(nèi)的某個去心鄰域內(nèi), 使得在該鄰域中有使得在該鄰域中有: 保號性的幾何意義保號性的幾何意義.局部范圍局部范圍保持符號保持符號y0 x0 x0 x yf xx3 /2A/2AAO上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁小小 結(jié)結(jié)極限的運算法則極限的運算法則極限四則運算法則極限四則運算法則復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則