等腰三角形中輔助線的作法

1、等腰三角形中輔助線的作法等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的平分線互相重等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的平分線互相重合，我們將等腰三角形這一性質(zhì)稱之為合，我們將等腰三角形這一性質(zhì)稱之為“三線合一三線合一”，“三線合一三線合一”適用于等腰三角形問(wèn)題，用其可以解決同一三角形內(nèi)部的邊角問(wèn)題適用于等腰三角形問(wèn)題，用其可以解決同一三角形內(nèi)部的邊角問(wèn)題. .類型一：類型一：利用利用“三線合一三線合一”作輔助線作輔助線一、已知等腰作一、已知等腰作垂線垂線(或或中線、中線、角平分線角平分線)又又CDAD，AEBCACD和和ABE均為均為直角三角形直角三角形在在RtACD和和RtABE中中B

2、E=CDAB=AC RtACDRtABE(HL)ACDB 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求證：，求證：ABBDCD二二、構(gòu)造構(gòu)造等腰三角形等腰三角形 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求證：，求證：ABBDCD證明：在證明：在DC上截取上截取DEDBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，ABDAEDB2CAED2C又又AEDCEACCEACAECEABBDAEDECEDECD. 在在中中如果條件如果條件B2C與結(jié)論與結(jié)論ABBDCD互換，仍然成立嗎？試說(shuō)互換，仍然成立嗎？試說(shuō)明理由明理由.解：仍然成立，理由如下：解：仍然成立，理由如下：在在DC上截取上截取DE

3、DBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，BAEDABBDCDAEDECD而而CEDECDAECEEACC而而AEDEACCAED2CB2C在等腰三角形中，如遇等邊或等角，可以考慮作底邊上的高線，運(yùn)在等腰三角形中，如遇等邊或等角，可以考慮作底邊上的高線，運(yùn)用用“三線合一三線合一”性質(zhì)解題；如遇垂直平分，可以考慮構(gòu)造等腰三角形性質(zhì)解題；如遇垂直平分，可以考慮構(gòu)造等腰三角形解題解題. .等腰三角形中輔助線的作法等腰直角三角形和等邊三角形是特殊的等腰三角形，它們除具有等腰直角三角形和等邊三角形是特殊的等腰三角形，它們除具有等腰三角形的所有性質(zhì)外，還有自身獨(dú)特的性質(zhì)，因而在解

4、題中，可等腰三角形的所有性質(zhì)外，還有自身獨(dú)特的性質(zhì)，因而在解題中，可以充分利用它們獨(dú)特性質(zhì)構(gòu)造全等的三角形，以突破解題的難點(diǎn)以充分利用它們獨(dú)特性質(zhì)構(gòu)造全等的三角形，以突破解題的難點(diǎn). .類型二：巧用等腰直角三角形構(gòu)造全類型二：巧用等腰直角三角形構(gòu)造全等等如圖如圖1，OA=2，OB=4，以，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角為腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)點(diǎn)求點(diǎn)求C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)如圖如圖2，P為為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂為頂點(diǎn)，點(diǎn)，PA為腰作等腰直角為腰作等腰直角APD，過(guò)，過(guò)D作

5、作DEx軸于軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)，求OPDE的值的值.圖圖2圖圖1如圖如圖1，OA=2，OB=4，以，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角為腰在第三象限作等腰直角ABC. (1)點(diǎn)求點(diǎn)求C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；解解:(1)如圖如圖1，過(guò)，過(guò)C作作CMx軸于軸于M點(diǎn)，點(diǎn)，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，則則MAC=OBA，又又CMA=AOB=90，AC=AB,MACOBA(AAS),CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6,點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-6，-2).圖圖1解解:(2)如圖如圖2，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作作DQOP于于Q點(diǎn)，點(diǎn)，則則DE=OQ,OP-DE=OP

6、-OQ=PQ,APO+QPD=90， APO+OAP=90，QPD=OAP,又又AOP=PQD=90，AP=PD， AOPPQD(AAS),PQ=OA=2.即即OP-DE=2.(2)如圖如圖2，P為為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)沿點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰直角為腰作等腰直角APD，過(guò)，過(guò)D作作DEx軸于軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)，求OP-DE的值的值.圖圖2類型類型三三：等腰等腰( (邊邊) )三角形三角形中截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等中截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等或等邊三角形或等邊三角形如圖，如圖，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是頂角是頂角BD

7、C120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)60的角，角的兩邊分別交的角，角的兩邊分別交AB、AC于于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)，連結(jié)MN，求，求證：證：MNBMCN.如圖，如圖，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是頂角是頂角BDC120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)60的角，角的兩邊分別交的角，角的兩邊分別交AB、AC于于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)，連結(jié)MN，求，求證：證：MNBMCN證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)MB至點(diǎn)至點(diǎn)E使使BECNBDC120，DBDC2330ABC是正三角形是正三角形160,ABD90同理同理ACD90DBEDCN90由得由得DCNDBEDNDE，36460，BDC1205360MDE5660MDE4DMDM由得由得MEDMNDMNMEMBEBMBCN遇等腰直角三角形時(shí)，通常結(jié)合腰相等和銳角互余來(lái)添加輔助線、構(gòu)遇等腰直角三角形時(shí)，