概率的概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率概率(gil)的概念的概念第一頁，共55頁。).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并記并記發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率稱為事件稱為事件比值比值生的頻數(shù)生的頻數(shù)發(fā)發(fā)稱為事件稱為事件發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中在這在這次試驗(yàn)次試驗(yàn)進(jìn)行了進(jìn)行了在相同的條件下在相同的條件下定義(dngy) AnA(A)事事件件 出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)試試驗(yàn)驗(yàn)總總次次數(shù)數(shù)nnf 第1頁/共54頁第二頁，共55頁。試驗(yàn)序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.

2、21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例實(shí)例(shl) (shl) 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次, , 各做各做 7 7 遍遍, , 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率. .處波動(dòng)較大處波動(dòng)較大在在21波動(dòng)(bdng)最小隨n的增大(zn d), 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性處波動(dòng)較小處波動(dòng)較小在在21第2頁/共54頁第三頁，共55頁。實(shí)驗(yàn)者德 摩根蒲 豐nHnf皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 20481061

3、0.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005()f H的的增增大大n1.2第3頁/共54頁第四頁，共55頁。 Afn , 的頻率的頻率正面向上正面向上出現(xiàn)出現(xiàn)從上表中可以看出從上表中可以看出 , 次次但總的趨勢是隨著試驗(yàn)但總的趨勢是隨著試驗(yàn)的不同而變動(dòng)的不同而變動(dòng)雖然隨雖然隨 n . 5 . 0 這個(gè)數(shù)值上這個(gè)數(shù)值上數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在 可見，在大量重復(fù)的試驗(yàn)中，隨機(jī)事件出現(xiàn)可見，在大量重復(fù)的試驗(yàn)中，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性，即通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的頻率具有穩(wěn)定性，即通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. 我我們們(w men)

4、可以用大量試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值來描述可以用大量試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值來描述事件發(fā)生的可能性，得到概率的統(tǒng)計(jì)定義事件發(fā)生的可能性，得到概率的統(tǒng)計(jì)定義.第4頁/共54頁第五頁，共55頁。1. 概率概率(gil)的統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)定義計(jì)定義 在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，其中事件(shjin)發(fā)生了nA 次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，事件(shjin)的頻率nA /n將穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)p附近，則稱此常數(shù)p為事件(shjin)出現(xiàn)的概率，記作()P Ap 注：注：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，可以充分大時(shí)，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，可以用頻率近似的代替概率，即用頻率近似的代替概率，即( )AnP An 0(

5、 )1, ()0, ()1P APP 顯顯然然，第5頁/共54頁第六頁，共55頁。注意注意(zh y)：（1）理解頻率與概率的區(qū)別）理解頻率與概率的區(qū)別(qbi)與聯(lián)與聯(lián)系系 概率是事件的內(nèi)部一成不變的本質(zhì)屬性，頻率只是隨概率是事件的內(nèi)部一成不變的本質(zhì)屬性，頻率只是隨機(jī)性很大的表面現(xiàn)象。機(jī)性很大的表面現(xiàn)象。（2）頻率穩(wěn)定于概率，但并非以概率為極限）頻率穩(wěn)定于概率，但并非以概率為極限（3）統(tǒng)計(jì)定義的局限性）統(tǒng)計(jì)定義的局限性 試驗(yàn)試驗(yàn)n+1次所計(jì)算的頻率并不一定比次所計(jì)算的頻率并不一定比n次試驗(yàn)更加接次試驗(yàn)更加接近概率，更何況我們無法保證試驗(yàn)的條件不變以及完近概率，更何況我們無法保證試驗(yàn)的條件不變

6、以及完成大量的試驗(yàn)，更何況那些存在危險(xiǎn)的破壞性試驗(yàn)。成大量的試驗(yàn)，更何況那些存在危險(xiǎn)的破壞性試驗(yàn)。第6頁/共54頁第七頁，共55頁。 鑒于統(tǒng)計(jì)定義的局限性，針對特殊試驗(yàn)人們往往鑒于統(tǒng)計(jì)定義的局限性，針對特殊試驗(yàn)人們往往依照長期積累的關(guān)于依照長期積累的關(guān)于“對稱性對稱性”的實(shí)際的實(shí)際(shj)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)，提出模型直接計(jì)算概率。這類模型稱為等可能試驗(yàn)概提出模型直接計(jì)算概率。這類模型稱為等可能試驗(yàn)概型。型。古古典典概概型型樣樣本本空空間間有有限限集集等等可可能能試試驗(yàn)驗(yàn)概概型型幾幾何何概概型型樣樣本本空空間間無無限限集集第7頁/共54頁第八頁，共55頁。（1 1）古典）古典(gdin)(gdin)試

7、試驗(yàn)概型驗(yàn)概型 若隨機(jī)(su j)試驗(yàn)具有如下兩個(gè)特征： 中基本事件總數(shù)n有限有限性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同等可能性 12=,n 1()()ijPPn則稱該試驗(yàn)為古典型隨機(jī)試驗(yàn)。2. 概率的古典定義概率的古典定義第8頁/共54頁第九頁，共55頁。（2 2）古典）古典(gdin)(gdin)定定義義 設(shè)古典型試驗(yàn)E的樣本空間中所含基本事件數(shù)為n，A為任意(rny)一個(gè)事件，若設(shè)事件A包含的基本事件數(shù)為m，則A發(fā)生的概率為( )=事事件件包包含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)包包含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)AnmAP Ann 第9頁/共54頁第十頁，共55頁。1211 0( )1,()1,()0; ()( )(

8、 );( ()( )( ) ,()()A BABnnniiiiP APPABP ABP AP BnnnP ABP AP BnnA AAPAP A 古古典典定定義義滿滿足足：兩兩兩兩互互斥斥注：利用該定義計(jì)算注：利用該定義計(jì)算(j sun)時(shí)應(yīng)考察有限性和等可時(shí)應(yīng)考察有限性和等可能性這能性這兩個(gè)條件兩個(gè)條件第10頁/共54頁第十一頁，共55頁。例1 一付撲克牌54張，任取一張，求它是黑桃的概率(gil)。解: 以每一張撲克牌為基本(jbn)事件，所以設(shè)A表示“任取一張是黑桃”，注：注：若以花色為基本事件，共若以花色為基本事件，共5種花色，即種花色，即此種解法等可能性被破壞了，故結(jié)果是錯(cuò)誤的。此種

9、解法等可能性被破壞了，故結(jié)果是錯(cuò)誤的。54n 13An 13( )54AnP An黑黑，紅紅，梅梅，方方，王王 1設(shè)設(shè) 表表示示“黑黑桃桃”，則則AAn 1( )5AnP An第11頁/共54頁第十二頁，共55頁。 若題目條件改為：一付撲克牌無大小王共52張，從中任取一張，求它是黑桃的概率，則以張數(shù)或花色(hus)為基本事件數(shù)求解均正確。即以張數(shù)為基本(jbn)事件：以花色為基本事件：131( )524AnP An1( )4AnP An第12頁/共54頁第十三頁，共55頁。1、選擇適當(dāng)(shdng)的樣本空間滿足有限與等可能利用古典定義解題利用古典定義解題(ji t)(ji t)的基本步驟：的

10、基本步驟：2、計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)量，利用公式解題。第13頁/共54頁第十四頁，共55頁。3. 概率概率(gil)的幾的幾何定義何定義（1 1）幾何）幾何(j h)(j h)試驗(yàn)試驗(yàn)概型概型 若隨機(jī)試驗(yàn)具有如下兩個(gè)特征：中基本事件總數(shù)無限不可數(shù)無限性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同均勻性則稱該試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)。第14頁/共54頁第十五頁，共55頁。（2 2）幾何）幾何(j h)(j h)定義定義 設(shè)幾何型試驗(yàn)E的樣本(yngbn)空間可用一有界區(qū)域描述，其中部分區(qū)域可描述A事件所含樣本(yngbn)點(diǎn)數(shù)量，則A發(fā)生的概率為( )( )()事事件件對對應(yīng)應(yīng)子子集集的的幾幾何何度度量量整整個(gè)個(gè)空空間間的的

11、幾幾何何度度量量L AAP AL第15頁/共54頁第十六頁，共55頁。注：試驗(yàn)所有樣本點(diǎn)可視為等可能落入有界區(qū)域的隨機(jī)注：試驗(yàn)所有樣本點(diǎn)可視為等可能落入有界區(qū)域的隨機(jī)點(diǎn)。盡管樣本空間與事件均為無限集，但由于點(diǎn)。盡管樣本空間與事件均為無限集，但由于(yuy)等等可能性的保證，事件的發(fā)生可能性取決于二者無限集度可能性的保證，事件的發(fā)生可能性取決于二者無限集度量（長度、面積等）的比較，并且與區(qū)域位置形狀無關(guān)。量（長度、面積等）的比較，并且與區(qū)域位置形狀無關(guān)。1211 0( )1,()1,()0; ()( )( ); ,()()幾幾何何定定義義同同樣樣滿滿足足：兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiP APP

12、ABP ABP AP BA AAPAP A 第16頁/共54頁第十七頁，共55頁。三大定義三大定義(dngy)的的局限：局限：統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)(tngj)定義定義大量重復(fù)試驗(yàn)、破壞性試大量重復(fù)試驗(yàn)、破壞性試驗(yàn)驗(yàn)古典定義古典定義樣本空間有限等可能樣本空間有限等可能幾何定義幾何定義樣本空間無限等可能樣本空間無限等可能 鑒于此，數(shù)學(xué)家總結(jié)三者共性，提煉概率與事件間函數(shù)對應(yīng)的本質(zhì)以及諸多共同性質(zhì)，于1933年，由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.第17頁/共54頁第十八頁，共55頁。4. 概率概率(gil)的公理化定義的公理化定義 ,( ),0,1設(shè)設(shè)

13、試試驗(yàn)驗(yàn) 的的樣樣本本空空間間為為以以 中中所所有有隨隨機(jī)機(jī)事事件件的的集集合合為為定定義義域域, ,定定義義一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)對對于于任任意意的的事事件件總總能能與與內(nèi)內(nèi)確確定定常常數(shù)數(shù)對對應(yīng)應(yīng), ,且且滿滿足足：EEP AA 12110( )1,()1,()0,()()非非負(fù)負(fù)規(guī)規(guī)范范性性： 可可列列可可加加性性：兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiP APPA AAPAP A ( )P AA則則稱稱函函數(shù)數(shù)為為事事件件 的的概概率率。思考思考(sko)：函數(shù)的定義域與值域是什么？：函數(shù)的定義域與值域是什么？第18頁/共54頁第十九頁，共55頁。性質(zhì)(xngzh)1()0,()1PP 注意：不可能

14、事件注意：不可能事件(shjin)的概率為的概率為0，但概率，但概率為為0的事件的事件(shjin)不一定為不可能事件不一定為不可能事件(shjin)；必然事件；必然事件(shjin)的概率為的概率為1，但概，但概率為率為1的事件的事件(shjin)不一定是必然事件不一定是必然事件(shjin)。性質(zhì)212111211 ()( )( ); ,()(),()()兩兩兩兩互互斥斥兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiniiiiABP ABP AP BA AAPAP AA AAPAP A 第19頁/共54頁第二十頁，共55頁。性質(zhì)(xngzh)3,()( )().若若為為兩兩個(gè)個(gè)任任意意的的隨隨機(jī)機(jī)事事件件

15、，則則A BP ABP AP AB證明證明(zhngmng)(),()又又AABABABAB ( )()()()( )()P AP ABP ABP ABP AP AB性質(zhì)4,( )( ),()( )( ).若若為為兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件, ,則則A BABP AP BP BAP BP A ( )1( ).設(shè)設(shè)是是的的對對立立事事件件，則則AA P AP A性質(zhì)5第20頁/共54頁第二十一頁，共55頁。性質(zhì)(xngzh)6(),()( )( )().加加法法公公式式 對對于于任任意意兩兩事事件件有有A BP ABP AP BP AB證明證明(zhngmng)AB由圖可得由圖可得(),ABABA

16、B(),ABAB 且且()( )().故故 P ABP AP BAB又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ()( )( )().P ABP AP BP AB第21頁/共54頁第二十二頁，共55頁。推廣推廣 三個(gè)事件三個(gè)事件(shjin)和的情況和的情況123()P AAA).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個(gè)事件(shjin)和的情況12()nP AAA njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 第22頁/共54頁第二十三頁，共55頁。 例

17、例2 某工廠職工可以訂閱兩種讀物某工廠職工可以訂閱兩種讀物報(bào)紙和雜志報(bào)紙和雜志(zzh)，其中訂閱報(bào)紙的概率為，其中訂閱報(bào)紙的概率為0.7，訂閱雜志，訂閱雜志(zzh)的概率為的概率為0.2, 兩種都訂閱的概率為兩種都訂閱的概率為0.1. 求求解解 事件事件A , B分別表示分別表示“訂閱報(bào)紙訂閱報(bào)紙(bozh)和訂閱雜志和訂閱雜志”(1)()( )()0.70.10.6P ABP AP AB(1) 訂閱報(bào)紙而不訂閱雜志訂閱報(bào)紙而不訂閱雜志(zzh)的概率的概率; (2) 至少訂閱一種讀物的概率至少訂閱一種讀物的概率; (3) 兩種讀物都不訂閱的概率兩種讀物都不訂閱的概率.(2)()( )(

18、)()0.8P ABP AP BP AB (3)()()0.2P ABP AB 第23頁/共54頁第二十四頁，共55頁。()()()()( )()0.50.30.2P ABCP ABP ABCP ABP CABCC由由此此：例例3 ,()0.7,()0.4,()0.5()AC BC P AP ACP ABP ABC 設(shè)設(shè)，求求()( )()( )( )( )( )()0.70.40.3P ACP AP ACP AP CACCP CP AP AC解解：（）故故：第24頁/共54頁第二十五頁，共55頁。2( )0.5,()0.2,( )0.4(),(),(),()P AP ABP BP ABP A

19、BP ABP AB. . 求求：3. ( )0.4,( )0.3,()0.6,()P AP BP ABP AB求求1. 在在10到到99的所有兩位數(shù)中任取的所有兩位數(shù)中任取1個(gè)數(shù)字，求其能被個(gè)數(shù)字，求其能被2或者或者3整除整除(zhngch)的概率。的概率。2 1 2. 0.2,0.3,0.7,0.3 3. 0.33答答案案： . . 第25頁/共54頁第二十六頁，共55頁。 求解古典概型問題的關(guān)鍵是弄清樣本空間中的基本(jbn)事件總數(shù)和對所求概率事件有利的事件個(gè)數(shù)在考慮事件數(shù)的時(shí)候，必須分清研究的問題是組合問題還是排列問題，掌握以下關(guān)于排列組合的知識(shí)是有用的： (1) 加法原理加法原理(y

20、unl)：設(shè)完成一件事有：設(shè)完成一件事有k類方法，每類又分類方法，每類又分別有別有m1 , m2, mk種方法，而完成這件事只需其中一種方法，種方法，而完成這件事只需其中一種方法，則完成這件事共有則完成這件事共有m1 + m2,+mk種方法種方法 (2) 乘法原理： 設(shè)完成一件事有n個(gè)步驟第一步有m1種方法、第二步有m2種方法，第n步有mn 種方法，則完成這件事共有m1 m2 mn種方法.第26頁/共54頁第二十七頁，共55頁。(3) 不同元素不同元素(yun s)的選排列的選排列 從從n個(gè)不相同的元素中無放回取個(gè)不相同的元素中無放回取k個(gè)的排列個(gè)的排列(k n)，稱為從稱為從n個(gè)不同元素中取

21、個(gè)不同元素中取k個(gè)元素的選排列個(gè)元素的選排列,共有共有 種。種。當(dāng)當(dāng) n k 時(shí)，稱時(shí)，稱n個(gè)元素的全排列共有個(gè)元素的全排列共有n！種。種。knP 例如：從3個(gè)元素(yun s)取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種236P!()()()()!121knnpn nnnknk第27頁/共54頁第二十八頁，共55頁。(4) 不同不同(b tn)元素的重復(fù)排列元素的重復(fù)排列例如(lr)：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k =3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能(knng)取法kn nnn 從從n個(gè)不同的元索中，有放回地取個(gè)不同的元索中，有放回地取k個(gè)元素進(jìn)行的

22、排個(gè)元素進(jìn)行的排列，共有種（元素允許重復(fù)列，共有種（元素允許重復(fù) ）。）。kn1kn n第28頁/共54頁第二十九頁，共55頁。(5) 不全相異元素不全相異元素(yun s)的排列的排列在在n個(gè)元素個(gè)元素(yun s)中，有中，有m類不同元素類不同元素(yun s)、每類各有每類各有k1, k2 , km 個(gè)，將這個(gè)，將這n個(gè)元素個(gè)元素(yun s)作全排作全排列，共有如下種方式：列，共有如下種方式：12!mnkkkk1個(gè)元素k2個(gè)元素km個(gè)元素n個(gè)元素(yun s)因?yàn)?12112!mmkkknn kkmnCCCkkk第29頁/共54頁第三十頁，共55頁。(6) 環(huán)排列環(huán)排列(pili) 從

23、n個(gè)不同元素(yun s)中，選出m個(gè)不同的元素(yun s)排成一個(gè)圓圈的排列，共有：(1)(2)(1)(1)!mnn nnnmCmm(7) 組合組合(zh)從從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取m個(gè)而不考慮其次序的排列個(gè)而不考慮其次序的排列（組合），共有（組合），共有 種種.mnC4123412311242343每個(gè)排列重復(fù)了4次4!4排列數(shù)為第30頁/共54頁第三十一頁，共55頁。. . )2(; )1(古典概型古典概型驗(yàn)稱為等可能概型或驗(yàn)稱為等可能概型或具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試生的可能性相同生的可能性相同試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)有限個(gè)元素有限個(gè)元素試驗(yàn)的樣本

24、空間只包含試驗(yàn)的樣本空間只包含古典(gdin)概型中事件概率的計(jì)算公式( ).mAP An 所所包包含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)第31頁/共54頁第三十二頁，共55頁。 古典概型中主要介紹古典概型中主要介紹(jisho)(jisho)兩大典型例題：兩大典型例題：有有放放回回抽抽取取（一一）抽抽球球問問題題有有序序抽抽取取無無放放回回抽抽取取無無序序抽抽取?。ㄒ灰话寻炎プィ?（二二）質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)落落入入問問題題（生生日日、投投信信、分分房房問問題題）第32頁/共54頁第三十三頁，共55頁。（一）抽球（一）抽球(chu qi)(chu qi)問題（隨機(jī)抽取問題（隨機(jī)抽取問題）問

25、題）例4 袋中有4個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取2球，分析下列事件(shjin)概率：取取得得兩兩個(gè)個(gè)全全是是白白球球A 恰恰有有一一個(gè)個(gè)是是白白球球B 至至少少有有一一個(gè)個(gè)是是白白球球C 古典概型的等可能性決定了不能按照顏色劃分樣本空間，因此可將球編號，從而滿足要求。第33頁/共54頁第三十四頁，共55頁。1 1、有放回抽取、有放回抽取(chu q)(chu q) 抽取問題抽取問題(wnt)(wnt)中的有放回抽取自然區(qū)分順序，因中的有放回抽取自然區(qū)分順序，因此樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為：此樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為：116636nC C11441166164(1) ( )369C CP AC C1111

26、24421166(884(2) ( )369）C CC CP BC C 例4 袋中有4個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取2球1111112442441166(328(3) ( )369C CC CC CP CC C + +）8,( )( )( )9或或而而ABCABP CP AP B 1122116684( )1( )11369或或C CP CP CC C第34頁/共54頁第三十五頁，共55頁。2 2、無放回抽取、無放回抽取(chu q)(chu q) 無放回抽取分為有序與無序無放回抽取分為有序與無序(w x)(w x)兩種方式。兩種方式。有序即每次取一，不放回；無序有序即每次取一，不放回；無序(w x

27、)(w x)即指一次性即指一次性取夠，不放回。取夠，不放回。116530nC C11431165612(1) ( )3015C CP AC C111124421165(888(2) ( )3015）C CC CP BC C 例4 袋中有4個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取2球1111112442431165(2814(3) ( )3015+ +）C CC CC CP BC C 14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 11211165214( )1( )113015或或C CP CP CC C（有序抽取）（有序抽?。┑?5頁/共54頁第三十六頁，共55頁。2 2、無放回抽取、無放

28、回抽取(chu q)(chu q)2615nC2042266(1) ( )15C CP AC1142268(2) ( )15C CP BC例4 袋中有4個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取2球1120424226(14(3) ( )15+ +）C CC CP CC14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 2226114( )1( )111515或或CP CP CC（無序（無序(w x)抽?。┏槿。?我們發(fā)現(xiàn)不同方式下結(jié)果一致，但顯然無序抽取要比有序抽取計(jì)算簡單。第36頁/共54頁第三十七頁，共55頁。 重新整理無放回抽取的計(jì)算思路，并且發(fā)現(xiàn)，三個(gè)事件(shjin)均可轉(zhuǎn)化成“恰有”

29、類型的事件(shjin)或運(yùn)算，因此我們以第二個(gè)事件(shjin)“恰有一個(gè)白球”為例64白2紅1白1紅任取2球26C14C12C1142268( )15C CP BC傳說傳說(chunshu)中的中的“超幾超幾何概率何概率”模型模型第37頁/共54頁第三十八頁，共55頁。超幾何(j h)概率：NMN-Mkn-k任取nnNCkMCn kNMC kn kMNMnNC CPC 條件：無放回抽取。目的：簡化運(yùn)算條件：無放回抽取。目的：簡化運(yùn)算特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)：分子分母組合對應(yīng)項(xiàng)滿足和：分子分母組合對應(yīng)項(xiàng)滿足和運(yùn)算運(yùn)算NMNM 設(shè)設(shè)有有個(gè)個(gè)元元素素分分為為類類與與類類（數(shù)數(shù)量量分分類類）, ,Nn

30、現(xiàn)現(xiàn)從從個(gè)個(gè)元元素素中中任任取取 個(gè)個(gè)元元素素（不不放放回回）, ,nkM試試求求 個(gè)個(gè)元元素素中中恰恰好好有有 個(gè)個(gè)類類元元素素的的概概率率. .0,1,min( ,)klln M 第38頁/共54頁第三十九頁，共55頁。例5 一批產(chǎn)品有12件，其中4件次品，8件正品(zhngpn)，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件中含有次品的概率.解：設(shè)解：設(shè) 0,1,2,3iAii取取出出的的三三件件中中恰恰有有 件件次次品品 A 取取出出的的三三件件中中含含有有次次品品123,AAAA則則123( ) =()P AP AAA 另解另解( )1( )P AP A兩兩互斥，兩兩互斥，123,A A A且且 1

31、2213048484831241()=55C CC CC CC 123= ()()()P AP AP A034831241155C CC第39頁/共54頁第四十頁，共55頁。1 袋中有10個(gè)球，編號110，從中任取3球，不放回.求：最小號碼是5的概率； 最大號碼是7的概率。練習(xí)練習(xí)(linx)2 某油漆公司發(fā)出某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中桶油漆，其中10桶白漆，桶白漆，4桶黑桶黑 漆，漆，3桶紅漆，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽桶紅漆，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽(bioqin)脫落，交貨人隨意脫落，交貨人隨意將油漆發(fā)給顧客將油漆發(fā)給顧客. 問一個(gè)訂了問一個(gè)訂了4桶白漆桶白漆3桶黑漆桶黑漆2桶紅漆的顧桶紅漆的顧客，能

32、按所訂顏色如數(shù)得到所訂貨的概率客，能按所訂顏色如數(shù)得到所訂貨的概率.答案答案112521. ; 2. .1282431第40頁/共54頁第四十一頁，共55頁。（二）生日（二）生日(shng ri)(shng ri)問題（分房問題）問題（分房問題）特點(diǎn)(tdin)：（1）每個(gè)人的生日有 種可能；（2）任意一天可以容納很多人的生日。例6 房內(nèi)有500人，問至少一人生日是10月1日的概率。解：因每人生日都有365種可能，故設(shè)A：至少一人生日在10月1日，則P(A)=P(至少一人生日在10月1日)=1-P(大家生日都不在10月1日)500500500364364=1=10.746.3653655003

33、65n 第41頁/共54頁第四十二頁，共55頁。u分析分析(fnx)此問題可以用投球(tu qi)入盒模型來模擬500個(gè)人500個(gè)小球365天365個(gè)盒子相似地有分房問題與投信問題相似地有分房問題與投信問題 信件 郵筒人 房子u特點(diǎn)：特點(diǎn)：每一個(gè)元素面對多個(gè)選擇，一次只能主動(dòng)選擇一種；每一種選擇被動(dòng)的可以容納多個(gè)元素。u關(guān)鍵：關(guān)鍵：主主動(dòng)動(dòng)因因素素樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)量量的的確確定定：被被動(dòng)動(dòng)元元素素第42頁/共54頁第四十三頁，共55頁。解：每球都有N種放法，（1）當(dāng)n=N時(shí)，每盒恰有一球， n個(gè)球共 n! 種放法，設(shè)A表示(biosh)“每盒恰有一球”，則!( );nnP AN n個(gè)球共 種放

34、法，nN例7 設(shè)有n個(gè)球，隨機(jī)地放入N個(gè)盒子中，試求：（1）當(dāng)n=N時(shí)，每盒恰有一球的概率；（2）當(dāng)nN時(shí)，任意n個(gè)盒子中各有一球的概率。第43頁/共54頁第四十四頁，共55頁。例7 設(shè)有n個(gè)球，隨機(jī)(su j)地放入N個(gè)盒子中，試求：（1）當(dāng)n=N時(shí)，每盒恰有一球的概率(gil)；（2）當(dāng)nN時(shí)，任意n個(gè)盒子中各有一球的概率。解: （2）當(dāng)nN時(shí)，盒多球少，先從N個(gè)盒中任取n個(gè)，再在取出的n個(gè)盒中每盒放一個(gè)，共 n! 種放法，設(shè)B表示“任意n個(gè)盒中各有一球”，則!( ).nnNNnnC nPP BNN共有 種可能，nNC第44頁/共54頁第四十五頁，共55頁。例8 將3個(gè)球隨機(jī)(su j)放

35、入4個(gè)杯子中，求杯子中球數(shù)最多為1，2，3的概率各是多少？解：設(shè)A，B，C分別表示(biosh)杯中球數(shù)最多為1，2，3，于是放球過程所有可能結(jié)果為34n 3433!3( )48CP A 341( )416P C 9( )1( )( )16P BP AP C第45頁/共54頁第四十六頁，共55頁。例9 將 15 名新生（其中3名是優(yōu)秀生）隨機(jī)地分配到三個(gè)班級中, 其中一班4人，二班5人，三班6人.求 (1) 每一個(gè)(y )班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)(y )班級的概率是多少? 解：15名新生按要求(yoqi)分配到三個(gè)班級中的分法總數(shù):45615116

36、C C C15!=.4!5!6!(1) 每一個(gè)班級(bnj)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有34512953!(3! 12!) (3!4!5!).C C C種種第46頁/共54頁第四十七頁，共55頁。因此(ync)所求概率為13! 12!15!3!4!5!4!5!6!p 24.91 (2)2123()()()0.07473pP AP AP A31,2,3iAii表表示示 名名優(yōu)優(yōu)秀秀生生被被分分到到 班班 ， = =15645611211615116()P AC C CC C C 4264562128615116()P AC C CC C C 4534563128315116()P AC C CC C C 第47頁/共54頁第四十八頁，共55頁。練習(xí)練習(xí)1 1 假設(shè)每人的生日在一年假設(shè)每人的生日在一年 365 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , , 即都等于即都等于 1/