大學線代數(shù)試題學習教案

1、會計學1大學線代數(shù)大學線代數(shù)(dish)試題試題第一頁，共13頁。) ( )., 2 , 1(0,5) ( .,04) ( .,3)(2niaaAnAAxOAOAAniiijnn 則則正定正定階實對稱矩陣階實對稱矩陣若若組線性無關組線性無關的列向量的列向量則則只有零解只有零解若齊次線性方程組若齊次線性方程組則則滿足滿足階實對稱矩陣階實對稱矩陣若若二、填空題（每小題二、填空題（每小題3分，共分，共12分）分）:2123112131(,)242 .f xxxxx xx x二二次次型型的的秩秩為為則則且且階方陣階方陣為為設設, 2det,2 AnA1*1() 3AA 33(),det5,(2,34,

2、5),det .AAABB 設設 階階方方陣陣 按按列列分分塊塊為為，且且又又設設則則第1頁/共12頁第二頁，共13頁。*11004220,() .333AAA 設設的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為則則200100722020,31100 , .AxByxy已已知知矩矩陣陣與與相相似似則則22212312136 ,4222.tfxxxtx xx x 當當 取取值值為為時時 二二次次型型是是負負定定的的21235(0, ,)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1), k kkkkk 若若向向量量能能由由向向量量唯唯一一線線性性表表示示 則則 應應滿滿足足第2頁/共12頁第三頁，共13頁。三、三、:

3、階行列式階行列式計算計算 n 121121121121121nnnnnnnnnaaaaaaaaDaaanaaaaan 四、四、.,1500370000020024BBABAA求矩陣求矩陣且且設設 第3頁/共12頁第四頁，共13頁。五、五、組組取何實值時，線性方程取何實值時，線性方程 xxxxxxxx41433221.情況下求通解情況下求通解無解？在有無窮多解的無解？在有無窮多解的有唯一解，無窮多解，有唯一解，無窮多解，六、六、2 ,.AnAAAr 設設 是是 階階實實對對稱稱矩矩陣陣且且滿滿足足又又設設 的的秩秩為為.),2det(. 2; 01. 1階單位矩陣階單位矩陣是是其中其中求行列式求

4、行列式或或的特征值為的特征值為證明證明nEAEA 第4頁/共12頁第五頁，共13頁。七、七、.,1221AAn求求設設 八、八、用正交變換化二次型用正交變換化二次型),(321xxxf.,844552323121232221并寫出所用的正交變換并寫出所用的正交變換形形為標準為標準xxxxxxxxx 九、九、. det1,:.AAEA 設設 為為正正交交矩矩陣陣且且證證明明不不可可逆逆.11 ,: (1)0; (2).nAaaAa 設設階階可可逆逆矩矩陣陣 中中每每行行元元素素之之和和為為常常數(shù)數(shù)證證明明常常數(shù)數(shù)的的每每行行元元素素之之和和為為第5頁/共12頁第六頁，共13頁。1 600 1 2

5、; 2.; 3.100; 4. 1 31 30 21 21 21 2( 1)n 二二、 1 ( ); 2.( ); 3.(); 4.(); 5.().BB一一、對對對對對對5.03; 6.2; 7.0,2 kktxy 且且02002400 00130057 四四、1 !(1).nkknka 三三、第6頁/共12頁第七頁，共13頁。.,)1 , 1, 1 , 1()0 , 1 , 0 , 1(, 3)(,1)3( ;, 3, 4)(,1(2) ;,1(1) 任意任意通解為通解為多解多解有無窮有無窮時時當當無解無解時時當當有唯一解有唯一解時時當當五、五、kkxrankABArankrankABAr

6、ankTT 112233222123252 3 51 3154 3 52 3,05 3 52 310fyxyxxyyyy 八八、正正交交變變換換化化二二次次型型為為2111 2( 1)( 1)33( 1)( 1)33nnnnnnnnnA 七七、第7頁/共12頁第八頁，共13頁。六六. .證證明明：10,.00ssEPAPEs 其其中中是是 階階單單位位陣陣 11 2= 2= 22EAPEA PEPAPE從從而而2000020200rrrn rn rEEEEE.2rn 說明：此題也可轉化成求矩陣說明：此題也可轉化成求矩陣(j zhn)的所有特征值的所有特征值.22A 2AA 又又，AA設設 為為

7、矩矩陣陣 的的一一個個特特征征值值， 為為 的的屬屬于于特特征征值值的的一一個個特特征征向向量量，則則A ，2 則則 20 0 又又 為為特特征征向向量量，顯顯然然，20故故，10. 即即或或,AP又又 是是實實對對稱稱陣陣 故故存存在在可可逆逆陣陣使使得得,Arr 又又 的的秩秩為為 ，則則 的的秩秩也也為為sr 從從而而10,.00rrEPAPEr 即即其其中中是是 階階單單位位陣陣第8頁/共12頁第九頁，共13頁。九九. .證證明明：1.TAAAE 由由 為為正正交交矩矩陣陣，則則 TTTTTAE AAAAEAEA 又又 TTAE AEA兩兩邊邊同同時時取取行行列列式式得得 TTAE A

8、EA AEA 又又 TEAEA 0EA故故1112121222112.(1),nnmmmnaaaaaaAaaa 不不妨妨設設 11,2,nijjaain 則則依依題題意意有有第9頁/共12頁第十頁，共13頁。111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 則則111,111,111212,122,1211,1,11njjjnjnjjjnjnnn jnjn jnnjaaaaaaaaaaaaaaa 111,11,11212,12,121,1,1111jjnjjnnn jn jnnaaaaaaaaaaaaa 0AA 又又 可可逆逆, ,故故，0.a 從從而而第10頁/共12頁第十一頁，共13頁。111,11,11212,12,121,1,1111jjnjjnnn jn jnnaaaaaaaaAaaaaa 又又11211122221121(2)nnijijnnnnAAAAAAAAaAAAA ，其其中中為為的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式1Aj 故故的的第第 行行元元素素之之和和為為 121111,2,njjnjijiAAAAjnAA 1211,2