復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)61768學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)求偏導(dǎo)函數(shù)求偏導(dǎo)61768第一頁，共29頁。一、復(fù)合(fh)函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 設(shè)z=f(u,v)是變量(binling)u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，即 ，如果能構(gòu)成z是x ,y的二元復(fù)合函數(shù)如何求出函數(shù)(hnsh)z對自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？第1頁/共28頁第二頁，共29頁。定理8.5 設(shè)函數(shù) 在點(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，則復(fù)合函數(shù) 在點(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)(do sh) 存在，且有下面的鏈?zhǔn)椒▌t：),(),(yxvyxu復(fù)合(fh)函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是第2頁/共28頁第三頁，共29

2、頁。公式(gngsh)(1)給出z對x的偏導(dǎo)數(shù)是 公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項組成的，每項又是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即xz (1)公式(*)的項數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量x到達(dá)z路徑的個數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達(dá)z的路徑有兩條.第一條是 ，第二條是 ，所以公式(*)由兩項組成.zvxzux 第3頁/共28頁第四頁，共29頁。 (2)公式(*)每項偏導(dǎo)數(shù)乘積(chngj)因子的個數(shù),等于該條路徑中函數(shù)及中間變量的個數(shù).如第一條路徑 ,有一個函數(shù)z和一個中間變量u，因此，第一項就是兩個偏導(dǎo)數(shù) 與 的乘積(chngj). 復(fù)合函數(shù)

3、結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運用上面的法則，可以直接(zhji)寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.第4頁/共28頁第五頁，共29頁。下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t定出偏導(dǎo)數(shù)(do sh)公式.1、設(shè)z=f(u,v,w)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .第5頁/共28頁第六頁，共29頁。 由結(jié)構(gòu)圖看出自變量x到達(dá)z的路徑有三條，因此 由三項組成.而每條路徑上都有一個函數(shù)和一個中間變量，所以每項是函數(shù)對中間變量及中間變量對其相應(yīng)(xingyng)自變量的偏導(dǎo)數(shù)乘積，即同理可得到，(3

4、) .ywwzyvvzyuuzyz第6頁/共28頁第七頁，共29頁。2.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh) .第7頁/共28頁第八頁，共29頁。借助于結(jié)構(gòu)圖，可得第8頁/共28頁第九頁，共29頁。3.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量x的函數(shù)，求z對x的導(dǎo)數(shù)(do sh) .可得(5) .ddddddxvvzxuuzxz第9頁/共28頁第十頁，共29頁。 在這里，函數(shù)z是通過二元函數(shù)z=f(u,v)而成為(chngwi)x的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對x的導(dǎo)數(shù) 又稱為z對x的

5、全導(dǎo)數(shù).對公式(5)應(yīng)注意，由于z，u，v這三個函數(shù)都是x的一元函數(shù)，故對x的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫成 ，而不能寫成 .xzdd 公式(5)是公式(2)的特殊情形，兩個函數(shù)u,v的自變量都縮減為一個，即公式(2)就變成 (5).更特殊地，如果函數(shù)z不含v，只是u的函數(shù)，于是公式(5)變成.dddddd xuuzxz這正是一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.第10頁/共28頁第十一頁，共29頁。4.設(shè)函數(shù)(hnsh)z=f(x,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)(hnsh) 的偏導(dǎo)數(shù) . 自變量x到達(dá)z的路徑有二條，第一路徑上只有一個函數(shù)，即z是x的函數(shù).第二路徑上有兩個函數(shù)z和v.自變量y到達(dá)z的路徑只有一條，于

6、是 的偏導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)是：yzxz, (6) . yvvfyzxvvfxfxz，第11頁/共28頁第十二頁，共29頁。 注意： 這里(zhl)的 與 是代表不同的意義.其中 是將函數(shù) 中的y看作常量而對自變量x求偏導(dǎo)數(shù)，而 是將函數(shù)f(x,v)中的v看常量而對第一個位置變量x求偏導(dǎo)數(shù)，所以兩者的含意不同，為了避免混淆，將公式(6)右端第一項寫 ，而不寫為 .xfxz 第12頁/共28頁第十三頁，共29頁。., yzxz例1 設(shè) 求,sineyxvxyuvzu解法(ji f)1 得第13頁/共28頁第十四頁，共29頁。解法2 對于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間(zhngjin)變量u，v，用x，y代入

7、，則得到 ，z 是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得)sin(eyxzxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy第14頁/共28頁第十五頁，共29頁。例2 設(shè) ，其中(qzhng)f(u,v)為可微函數(shù)，求解 令 ，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中 不能再具體計算了，這是因為外層函數(shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號，沒有具體給出函數(shù)表達(dá)式.vzuz,第15頁/共28頁第十六頁，共29頁。例3 設(shè) ，其中(qzhng)f(u,v,w)為可微函數(shù)，求解 令 可得.,2xyztxyvxu第16頁/共28頁第十七頁，共29頁

8、。例4 設(shè) 求解 可得在該例中，我們清楚看出 與 含意是不同的.xfxz 顯然不等于 .xz 第17頁/共28頁第十八頁，共29頁。例5 設(shè) 求tyyztxxztzdddddd解 得第18頁/共28頁第十九頁，共29頁。例6 設(shè)z=f(x,xcosy)，其中(qzhng)f(u,v)為可微函數(shù)，求解 令v=xcosy，得 求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，不需要新的方法(fngf)和新的公式，只需把一階偏導(dǎo)數(shù)看作一個新的函數(shù)，應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t對它再求偏導(dǎo)數(shù)即可.第19頁/共28頁第二十頁，共29頁。222,1zyxuuw例7 設(shè) ，求證：證22221dd zyxxuxuuwxw第20頁/共28頁第二十一頁，

9、共29頁。由于x，y，z在函數(shù)中的地位(dwi)是相同的，所以同樣有. 033 )(33 3352223222222uuuzyxuzwywxw因此有第21頁/共28頁第二十二頁，共29頁。二、全微分形式不變性 與一元函數(shù)的微分形式不變性類似，多元函數(shù)全微分也有形式不變性.也就是說不論(bln)u，v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即這個性質(zhì)稱為(chn wi)全微分的形式不變性. 事實上，設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)u，v是自變量時，顯然(7)式成立.第22頁/共28頁第二十三頁，共29頁。 如果u，v是中間(zhngjin)變量，即 ，且這

10、兩個函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxvyxu的全微分為,dddyyzxxzz其中. , yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyzxz, 將 代入上式，得第23頁/共28頁第二十四頁，共29頁。即，當(dāng)u，v是中間變量(binling)時，(7)式也成立.這就證明了全微分形式不變性.第24頁/共28頁第二十五頁，共29頁。例如，.ddd)(d)()(dvuuvvvuvuuuvvu利用全微分形式不變性及全微分的四則運算公式(gngsh)，求函數(shù)的全微分會更簡便些.利用全微分形式不變性，比較容易(rngy)地得出全微分的四則運算公式，第25頁/共28頁第二十六頁，共29頁。例8 求 的全微分(wi fn)及偏導(dǎo)數(shù).解222222222)(dd)(dzyxzyxxxzyxu第26頁/共28頁第二十七頁，共29頁。例9 設(shè) ，其中f(u,v)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，求 及解 設(shè)xvxyxu22sin, 第27頁/共28頁第二十八頁，共29頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會