九年級(jí)上冊(cè)第四章銳角三角函數(shù)《復(fù)習(xí)與小結(jié)》(湘教版)

1、湘教版湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上九年級(jí)數(shù)學(xué)上小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 黃亭市鎮(zhèn)中學(xué)黃亭市鎮(zhèn)中學(xué) 陽(yáng)衛(wèi)民陽(yáng)衛(wèi)民 一一. .銳角三角函數(shù)的概念銳角三角函數(shù)的概念正弦：正弦：把銳角把銳角A A的對(duì)邊與斜邊的比叫做的對(duì)邊與斜邊的比叫做A A的正弦，記作的正弦，記作 caA sin余弦：余弦：把銳角把銳角A A的鄰邊與斜邊的比叫做的鄰邊與斜邊的比叫做A A的的余弦，記作余弦，記作 正切：正切：把銳角把銳角A A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A A的的正切，記作正切，記作 cbA cosbaA tanBCA對(duì)邊對(duì)邊a a鄰邊鄰邊b b斜邊斜邊c c銳角銳角A A的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫

2、做AA的銳角三角函數(shù)的銳角三角函數(shù). .對(duì)這些關(guān)系式對(duì)這些關(guān)系式要學(xué)會(huì)靈活變要學(xué)會(huì)靈活變式運(yùn)用式運(yùn)用同一銳角的正弦值和余弦值之間的關(guān)系同一銳角的正弦值和余弦值之間的關(guān)系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. .即即sinAsinAcoscos（9090一一 A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（9090一一A A）sinBsinB思考：同一個(gè)銳角的正弦值和余弦值之思考：同一個(gè)銳角的正弦值和余弦值之間有何關(guān)系？間有何關(guān)系？二二. .特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值212322212322331

3、3 銳角的銳角的三角函數(shù)值三角函數(shù)值有何變化規(guī)律呢？有何變化規(guī)律呢？三三. .解直角三角形解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形. .1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？2.2.直角三角形中的邊角關(guān)系：直角三角形中的邊角關(guān)系：222cbaA A十十B B9090 caA sincbA cosbaA tan歸納：歸納：只要知道其中的只要知道其中的2 2個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余就可以求出其余3 3個(gè)未知個(gè)未知元素元素.

4、. （1 1）三邊關(guān)系：）三邊關(guān)系：（勾股定理）（勾股定理）（2 2）兩銳角的關(guān)系：）兩銳角的關(guān)系：（3 3）邊角的關(guān)系：）邊角的關(guān)系：四四. .解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角仰角和俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角俯角. .鉛鉛直直線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角2.2.方向角方向角指南或北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于指南或北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于9090的角的角, ,叫做方向角叫做方向角. .如圖：點(diǎn)如

5、圖：點(diǎn)A A在在O O的北偏東的北偏東3030點(diǎn)點(diǎn)B B在點(diǎn)在點(diǎn)O O的南偏西的南偏西4545（西南方向）（西南方向）3045BOA東東西西北北南南坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的鉛坡面的鉛直高度直高度h h和水平距離和水平距離l l的的比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表示，則示，則3.3.坡度、坡角坡度、坡角坡角：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示表示. .tanhilhltanhil坡度通常寫成坡度通常寫成 的形式的形式. .解：原式解：原式=2=2 +1 +12121=1+=1+21例例1.1.計(jì)算計(jì)算2sin30 2sin30

6、+tan45 +tan45 cos60cos6021= =步驟：步驟：一一“代代”二二“算算”例例2.2.若若 ，則銳角，則銳角=01tan33030點(diǎn)撥：本題是由特殊角的三角函數(shù)值求角度，首先點(diǎn)撥：本題是由特殊角的三角函數(shù)值求角度，首先將原式變形為將原式變形為tan= tan= ，從而求得，從而求得的度數(shù)的度數(shù). .33例例3.3.在在Rt Rt ABC ABC中，中，C=90C=90， A=30 A=30，a=5a=5，求求b b、c c的大小的大小. .解解: : sinA=a/c,sinA=a/c, c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. c=a/sinA=5/sin

7、30=5/(1/2)=10.ABC530B=90B=90- - A=90 A=90-30-30=60=60，tanB=b/a,tanB=b/a,b=ab=atanB=5tanB=5tan60tan60= =35解直角三角形分為兩類解直角三角形分為兩類: :一是已知一邊一角解直角三一是已知一邊一角解直角三角形角形; ;二是已知兩邊解直角三角形二是已知兩邊解直角三角形. .例例4.4.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC邊上的高，邊上的高，若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC.（）（）ACAC與與BDBD相等嗎？說(shuō)明理由；相等嗎？說(shuō)明理由；DCBA故故BD=ACB

8、D=AC解：（）解：（）在在Rt Rt ABDABD和和ACDACD中，中，tanB=tanB=，BDADACAD因?yàn)橐驗(yàn)閠anB=cosDACtanB=cosDAC，所以，所以BDADACADcosDACcosDAC（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .1312例例4.4.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC邊上的高，邊上的高，若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC.（）（）ACAC與與BDBD相等嗎？說(shuō)明理由；相等嗎？說(shuō)明理由；DCBA（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .1

9、312（）（）設(shè)設(shè)AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k，在在Rt Rt ACDACD中，因?yàn)橹?，因?yàn)閟inCsinC1312所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故k=k=32所以所以AD=12AD=1232例例5.5.海中有一個(gè)小島海中有一個(gè)小島P P，它的周圍，它的周圍1818海里內(nèi)有暗礁，海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)A A測(cè)得小島測(cè)得小島P P在北在北偏東偏東6060方向上，航行方向上，航行1212海里到達(dá)海里到達(dá)B B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小點(diǎn)，這

10、時(shí)測(cè)得小島島P P在北偏東在北偏東4545方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由向東航行，有沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由D D分析：作分析：作PDBCPDBC，設(shè)，設(shè)PD=x,PD=x,則則BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根據(jù)根據(jù)AD= PD,AD= PD,得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再再比較比較PDPD與與1818的大小關(guān)系的大小關(guān)系. .33解：有觸礁危險(xiǎn)解：有觸礁危險(xiǎn). .理由：過(guò)點(diǎn)理由：過(guò)點(diǎn)P P作作PDACPDAC于于D.D.設(shè)設(shè)PDPD為為x x，在，在RtRtPBDPBD中，

11、中，PBD=90PBD=9045454545BDBDPDPDx,AD=12+x.x,AD=12+x.在在RtRtPADPAD中，中，PADPAD909060603030，,3PDAD 漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn) ,312xx .18) 13(61312xD D.30cos260tan45sin22) 1 ( 20002 6tan 303sin602cos45 .1.1.若若 ，則銳角，則銳角=02sin22.2.若若 ，則銳角，則銳角=0320tan(）3.3.計(jì)算：計(jì)算：45458080212214.4.如圖，在如圖，在RtRtABCABC中

12、，中，C=90C=90，b= ,c=4.b= ,c=4.則則a=a= ，B=B= ，A=A= . .32ABC2 260603030D D5.5.如果如果那么那么ABCABC是（是（ ） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形 C.C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形03tan321cosBA6.6.直角三角形紙片的兩直角邊分別直角三角形紙片的兩直角邊分別BCBC為為6 6，ACAC為為8,8,現(xiàn)將現(xiàn)將ABCABC，按如圖折疊，使點(diǎn)，按如圖折疊，使點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)B B重合，折痕為重合，折痕為DEDE，則，則tanCBEtanCBE的值的值是是 . .AB

13、C68ED方法點(diǎn)撥方法點(diǎn)撥: :設(shè)設(shè)CE=x,CE=x,則則AE=BE=8-x,AE=BE=8-x,利用勾股定理求出利用勾股定理求出x,x,再求再求tanCBEtanCBE的值的值. .247銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)1.1.銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義正弦正弦余弦余弦正切正切2.302.30、4545、6060特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值3.3.解直角三角形解直角三角形 定義定義解解直角三角形的依據(jù)直角三角形的依據(jù)三邊間關(guān)系三邊間關(guān)系銳角間關(guān)系銳角間關(guān)系邊角間關(guān)系邊角間關(guān)系解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中 的應(yīng)用的應(yīng)用2、在我國(guó)釣魚島海域內(nèi)，外國(guó)船只，除特許外，

14、不得、在我國(guó)釣魚島海域內(nèi)，外國(guó)船只，除特許外，不得進(jìn)入我國(guó)海洋進(jìn)入我國(guó)海洋100海里以內(nèi)的區(qū)域。如圖，設(shè)海里以內(nèi)的區(qū)域。如圖，設(shè)A、B是我是我們的觀察站，們的觀察站，A和和B之間的距離為之間的距離為160海里，海岸線是過(guò)海里，海岸線是過(guò)A、B的一條直線。一艘外國(guó)船只航行到的一條直線。一艘外國(guó)船只航行到P點(diǎn)，在點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)點(diǎn)測(cè)得得BAP=450，同時(shí)在，同時(shí)在B點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)測(cè)得ABP=600。問(wèn)此時(shí)是。問(wèn)此時(shí)是否要向外國(guó)船只發(fā)出警告，令其退出我國(guó)海域否要向外國(guó)船只發(fā)出警告，令其退出我國(guó)海域.ABP1604560ABP4560C分析：作分析：作PCAB于于C ，A = 45 APC=45 AC=PC

15、PCBCcotB = B = 60 33 BC = PCcot60 = PC AC + BC = AB = 160 33PC + PC = 160PC = )33(8033480101.44此時(shí)不要向外國(guó)船只發(fā)出警告，令其退出我國(guó)海域。此時(shí)不要向外國(guó)船只發(fā)出警告，令其退出我國(guó)海域。 1001如圖所示，邊長(zhǎng)為如圖所示，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為網(wǎng)格中，半徑為1的的 O的圓心的圓心O在格點(diǎn)在格點(diǎn)上，則上，則AED的正切值等于的正切值等于。DCBOEA122.A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B 的坐標(biāo)的坐標(biāo)是是( ).Acos60 -12,33 -32,33 -12,

16、-33 -12,32 ACDB3.如圖，已知如圖，已知RtRtABC中，斜邊中，斜邊BCBC上的高上的高AD AD = 4，則，則cosBcosB= ，ACAC=_=_。54ABCD54.如圖所示，在正方形如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的位置如圖所示，則sin的的值為（值為（ ） 。1035正切值和正弦值正切值和正弦值都隨著銳角度數(shù)的增大而都隨著銳角度數(shù)的增大而_；余弦值余弦值隨著銳角度數(shù)的增大而隨著銳角度數(shù)的增大而_._.增大增大減小減小思考：若思考：若A+A+B=90B=900 0，那么：，那么：sinAsinA cosAcosA cosBcosBsinBsinB(2

17、)2sin30(2)2sin30+3tan30+3tan30+tan45+tan45(3)cos(3)cos2 24545+ tan60+ tan60cos30cos30(1)tan45(1)tan45-sin60-sin60cos30cos30(4)2sin60(4)2sin60-3tan30-3tan30-(-(-cos30-cos30)+(-1)+(-1)20122012（1 1）已知）已知 sinA= sinA= ，求銳角，求銳角A .A .23（2 2）已知）已知2cosA - = 0 , 2cosA - = 0 , 求銳角求銳角A.A. 2（3 3）已知）已知 tan( tan(

18、A+20A+20)= )= ，求銳角，求銳角A .A .3（4 4）在）在ABCABC中，中， B B、 C C均為銳角，且均為銳角，且 ，求，求A的度數(shù)。的度數(shù)。023cos21sin2CB（1 1）sin250_sin430（2 2）cos70_cos80（3 3）sin400_cos600（4 4）tan480_tan4003 3. .我校教學(xué)樓后面靠近一座山坡，坡面上是一塊平地，如圖所我校教學(xué)樓后面靠近一座山坡，坡面上是一塊平地，如圖所示示BCADBCAD，斜坡，斜坡AB=40AB=40米，坡角米，坡角BAD=60BAD=60，為防夏季因瀑雨，為防夏季因瀑雨引發(fā)山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)山坡進(jìn)行改造經(jīng)地質(zhì)引發(fā)山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)山坡進(jìn)行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)4545時(shí)，可確保山體不滑坡，改造時(shí)時(shí)，可確保山體不滑坡，改造時(shí)保持坡腳保持坡腳A A不動(dòng)，從坡頂不動(dòng)，從坡頂B B沿沿BCBC削進(jìn)到削進(jìn)到E E處，問(wèn)處，問(wèn)BEBE至少是多少米至少是多少米（結(jié)果保留根號(hào)）？（結(jié)果保留根號(hào)）？G GF F試一試：試一試：如圖，在航線如圖，在航線l的兩側(cè)分別有