多元函數(shù)微分學(xué)的MATLAB求解

1、第12章 多元函數(shù)微分學(xué)的MATLAB求解編者 Outlinen12.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念n12.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)n12.3 全微分全微分n12.4 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用n12.5 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度n12.6 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值n12.7 多元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的泰勒公式n12.8 最小二乘法及其最小二乘法及其MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)12.1 多元函數(shù)的基本概念1.1.平面點(diǎn)集與平面點(diǎn)集與n元空間元空間 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì) P 的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記作 我們用 表示 n 元有序?qū)崝?shù)組 的全體所構(gòu)成的集合，為了在集合

2、 中的元素之間建立聯(lián)系，在 中定義線性運(yùn)算如下：設(shè) 為 中任意兩個(gè)元素， ，規(guī)定這樣定義了線性運(yùn)算的集合 稱為 n 維空間。2.2.多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義設(shè) D D 是 的一個(gè)非空子集,稱映射 為定義在 D D 上的二元函數(shù)，通常記為 ，或其中點(diǎn)集 D D 稱為該函數(shù)的定義域，x，y 稱為自變量，z 稱為因變量。一般地，將上述定義中的平面點(diǎn)集 D D 換成 n 維空間 內(nèi)的點(diǎn)集 D D ，映射 就稱為定義在 D D 上的 n 元函數(shù)，通常記為或簡(jiǎn)記為 3.3.多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義（ 可以除外），如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在一個(gè)正數(shù) ，使當(dāng)

3、時(shí)，恒有 成立，則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 以常數(shù) A 為極限，記作 或 為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們將二元函數(shù)的極限叫做二重極限。4.4.多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù) 滿足以下條件：在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義；極限 存在；則稱函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)。如果函數(shù) 在其定義域 D 的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就成函數(shù) 在 D 上連續(xù)，或者稱 是 D 上的連續(xù)函數(shù)。二元連續(xù)函數(shù)在圖形上表現(xiàn)為一個(gè)無(wú)空隙、無(wú)裂縫的曲面。與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)具有如下性質(zhì)。有界性與最大最小值定理有界性與最大最小值定理 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在 上有界，且能取得它的最大值和最小

4、值。介值定理介值定理 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。12.2 偏導(dǎo)數(shù)1.1.偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng) 固定在 而 在 處有增量 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量如果 存在，則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 或 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 以二元函數(shù) 為例，其在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)有下屬幾何意義。設(shè) 為曲面 上的一點(diǎn)，過(guò) 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ，則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì) x 軸的斜率如圖所示。 圖 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3.3.偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的MATLABM

5、ATLAB符號(hào)求解符號(hào)求解在MATLAB中，求解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然采用diff函數(shù)。例：例：設(shè) ，求 及 。 如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。4.4. 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， 則方程 在點(diǎn) 的某一領(lǐng)域內(nèi)能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條件 ，并且類似地，擴(kuò)展到 n 元隱函數(shù) ，則可以通過(guò)隱函數(shù)求出自變量之間的偏導(dǎo)數(shù)。具體可以用下面的公式求出 ：12.3 全微分1.1. 全微分的定義全微分的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn) , 的全增量 可表示為

6、其中 不依賴于 而僅與 有關(guān)， ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可微分，而 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分，記作 ，即 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)各點(diǎn)處都可微，那么稱這函數(shù)在 內(nèi)可微分。下面討論函數(shù) ， 在點(diǎn) 可微分的必要條件和充分條件。必要條件必要條件 如果函數(shù) 在點(diǎn) 可微分，則該函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 必存在，且函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分為充分條件充分條件 如果函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。2.2.全微分的應(yīng)用全微分的應(yīng)用 由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在的充分條件可知，當(dāng)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，并且 都較小時(shí)，就有近似等式上式也可以寫(xiě)成12.4 全微分1.1.空間曲線的切線與法平面空間

7、曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 這里假定上述方程的三個(gè)函數(shù)都在 上可導(dǎo)，且三個(gè)導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零?，F(xiàn)在要求曲線 在其上一點(diǎn) 處的切線及法平面方程。設(shè)與點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 ，記 ，則向量 就是曲線 在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量，從而曲線 在點(diǎn) ， 處的切線方程為 通過(guò)點(diǎn) 且與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) 的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) 且以 為法向量的平面，因此法平面方程為 2.2.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程 的情形。設(shè)曲面 由上述隱式方程給出， 是該曲面 上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。在該曲面 上，通過(guò)點(diǎn) M任意引一條曲線 。曲線上通過(guò)點(diǎn) M

8、 的一切曲線在點(diǎn) M 的切線都在同一個(gè)平面上，這個(gè)平面稱為曲面 在點(diǎn) M 的切平面。通過(guò)點(diǎn) M 且垂直于上述切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。切平面方程：法線方程 ： 12.5 方向?qū)?shù)與梯度1.1.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 設(shè) 是 平面上以 為始點(diǎn)的一條射線， 是與 同方向的單位向量，射線 的參數(shù)方程為設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 為 上另一點(diǎn)，且 P 在該鄰域內(nèi)。如果函數(shù)增量： 與 P 到 的距離 的比值 當(dāng) P 沿著 趨向于 時(shí)極限存在，則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向 的方向?qū)?shù)，記作 則：2.2.梯度梯度 與方向?qū)?shù)有關(guān)聯(lián)的一個(gè)概念是函數(shù)的梯度，在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù) ： 在平面區(qū)域

9、D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn) ，都可定義出一個(gè)向量 這向量稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的梯度記作 或 即12.6 多元函數(shù)的極值1.1.多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?D ， 為 D內(nèi)一點(diǎn)，若存在 的某個(gè)鄰域 ，使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 的任何點(diǎn) ，都有則稱函數(shù) 在點(diǎn) 有極大（?。┲?，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的極大（?。┲迭c(diǎn)。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值的求法：第一步 解方程 求得一切實(shí)數(shù)解，即求得一切駐點(diǎn)；第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 ；第三步 定出 的符號(hào)，按照函數(shù)取得極值的充分條件判定 是不是極值，是極大值還是極小值。2.2.條件極值條件極值 對(duì)于對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對(duì)于有些條件極值，我們可以通過(guò)代入手段將其化為無(wú)條件極值，但很大一部分是不能轉(zhuǎn)化的，此時(shí)我們可以采用拉格朗日乘數(shù)法求解。要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)，可以先作拉格朗日函數(shù) 其中 為參數(shù)，求其對(duì) 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與 聯(lián)立起來(lái)： 由該方程組解出 及 ，這樣得到的 就是函數(shù) 在附加條件 的可能極值點(diǎn)12.7 多元函數(shù)的泰勒公式設(shè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 為該鄰域內(nèi)任一點(diǎn), 則有其中