函數(shù)的增減性曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三13.2 3.2 函數(shù)的增減性函數(shù)的增減性 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 第三章第三章 三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí) 二、二、 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn) 一、函數(shù)增減性一、函數(shù)增減性（Monotonicity of Function & Concavity and Convexity of Curve）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三2一、函數(shù)增減性一、函數(shù)增減性xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA圖圖1圖圖2返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目

2、錄目錄2022年6月22日星期三31. 利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性解解 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三4 解解 2arctan2( )e1xxxfxxarctan2(1)e1xxxx121, 0 xx 經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三5解：解：).,(:D)0(,32)(3 xxxf32xy 經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn):從例從例2、例、例3可以看到在討論函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)可以看到在討論函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間時(shí)，函數(shù)的駐點(diǎn)或函數(shù)有定義、但一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)間時(shí)，函數(shù)的駐點(diǎn)或函數(shù)有定義、但一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都可能成為單調(diào)區(qū)間的

3、分界點(diǎn)都可能成為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三6返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三7求單調(diào)區(qū)間的基本步驟：求單調(diào)區(qū)間的基本步驟：（1）確定定義區(qū)間；確定定義區(qū)間；（2）求函數(shù)求函數(shù)f ( x )的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；（3）找出駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)；找出駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)；（4）以以駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義區(qū)間分為分界點(diǎn)，把定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，并成若干個(gè)小區(qū)間，并討論在這些小區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)的符討論在這些小區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間。進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間。返回返回

4、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三82. 利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式1111( )22 12 1xfxxx所以所以111,(0)2xxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三9證明：證明： 令令( )ln(1),f xxx則則( ).1xfxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三10二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)（Inflection Point）1、曲線凹凸的定義、曲線凹凸的定義顯然，曲線顯然，曲線AB與與BC 都是單調(diào)增加的，都是單調(diào)增加的，xyoABC但它們單調(diào)但它們單調(diào)增加的變化方式卻有所不同。增加的

5、變化方式卻有所不同。 這說(shuō)明：這說(shuō)明：僅靠單調(diào)性來(lái)僅靠單調(diào)性來(lái)描述曲線的性態(tài)是不夠的。描述曲線的性態(tài)是不夠的。為此，我們有必要研究一下曲線的彎曲方向問(wèn)題。為此，我們有必要研究一下曲線的彎曲方向問(wèn)題。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三11yyx1( )f x1x2x121()2xx121( )( )2f xf x（ABC2()f x12()2xxfo1( )f x1x2x121()2xxAB121( )( )2f xf x（o12()2xxf121( )( )2f xf x（返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三12直接利用定義來(lái)判別曲線的凹凸性是比較

6、困難的，直接利用定義來(lái)判別曲線的凹凸性是比較困難的， 下面利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判別曲線的凹凸性下面利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判別曲線的凹凸性 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三132、曲線凹凸性的判定、曲線凹凸性的判定（證明略）（證明略）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三14解解 22222(1)xyx 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三15解解 3213yx 3229yx x 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三16解：解：),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得

7、x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0(拐點(diǎn)拐點(diǎn))2711,32(返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三171. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法（定理（定理1）內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)（1）會(huì)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性（2）會(huì)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明一些不等式利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明一些不等式（3）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明方程根的唯一性利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明方程根的唯一性2. 函數(shù)凹凸性的定義函數(shù)凹凸性的定義3. 函數(shù)凹凸性的判別定理（函數(shù)凹凸性的判別定理（定理定理2）（1）拐點(diǎn)的定義（會(huì)求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間）拐點(diǎn)

8、的定義（會(huì)求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間）（2）會(huì)利用凹凸性來(lái)證明一些不等式會(huì)利用凹凸性來(lái)證明一些不等式返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三18習(xí)題習(xí)題3-4 1；3（2）（）（4）；）；5（奇數(shù)題）；（奇數(shù)題）；6；8課后練習(xí)課后練習(xí)思考練習(xí)思考練習(xí)答案：答案：不能斷定不能斷定. . 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf例如，例如， )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年6月22日星期三19但但0,1cos21sin41)( xxxxxf )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增