數(shù)學模型其他模型學習教案

1、數(shù)學模型其他數(shù)學模型其他(qt)模型模型第一頁，共61頁。13.1 廢水廢水(fishu)的的生物處理生物處理 廢水處理廢水處理 (去掉有害的有機物去掉有害的有機物) 通常有生通常有生物化學物化學(shn w hu xu)與物理化學與物理化學兩種方法兩種方法.背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 生物處理生物處理 利用微生物利用微生物(主要是細菌主要是細菌)的生命活動過程的生命活動過程, 把廢水中的有機物轉(zhuǎn)化為簡單的無機物把廢水中的有機物轉(zhuǎn)化為簡單的無機物. 已知廢水中有害物質(zhì)濃度為已知廢水中有害物質(zhì)濃度為10-310-2g/m3, 要將濃度降至要將濃度降至510-4g/m3以下以

2、下, 需建立廢水與微生物混合的處理池需建立廢水與微生物混合的處理池. 設(shè)廢水將以設(shè)廢水將以10m3/h的流量進入處理池的流量進入處理池, 確定處理池的容積確定處理池的容積, 使排出廢水中使排出廢水中有害物質(zhì)的濃度達到規(guī)定的標準有害物質(zhì)的濃度達到規(guī)定的標準.第1頁/共61頁第二頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)假設(shè)假設(shè) 生物化學提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生物化學提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)(xinggun)參數(shù)參數(shù)2. 微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖(zngzh)的的速率與有害物質(zhì)濃度

3、成正比，比例系數(shù)速率與有害物質(zhì)濃度成正比，比例系數(shù)r2=1.26m3/g . h4. 處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時候都均勻混合處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時候都均勻混合,排排出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同.3. 微生物的自然死亡率為常數(shù)微生物的自然死亡率為常數(shù) d=10-5/h1. 有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生物濃有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生物濃度成正比，比例系數(shù)度成正比，比例系數(shù)r1=0.1m3/g . hc(t) 時刻時刻 t 有害物質(zhì)的濃度有害物質(zhì)的濃度b(t) 時刻時刻 t 微生物的濃度微生物的濃度第2

4、頁/共61頁第三頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)假設(shè)假設(shè) 生物化學提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生生物化學提供了有機物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律物增殖、衰亡的規(guī)律(gul)及相關(guān)參數(shù)及相關(guān)參數(shù)6. 進入進入(jnr)處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為c0, c01c0c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可可以改變以改變, 最壞情況是最壞情況是c0由由c01突然增加到突然增加到c027. 環(huán)境保護法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為環(huán)境保護法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為c*=510-4 g/m3, 它是長期穩(wěn)定排放的標準它是長期

5、穩(wěn)定排放的標準, 如果是短期排放并超標不如果是短期排放并超標不大大, 可以用處罰等方法解決可以用處罰等方法解決.5. 忽略蒸發(fā)等因素忽略蒸發(fā)等因素, 廢水進入處理池和排出處理池的流廢水進入處理池和排出處理池的流量均為常數(shù)量均為常數(shù)Q=10m3/h; 廢水滿池廢水滿池, 池的容積為池的容積為V第3頁/共61頁第四頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)建立建立(jinl)一個處理池一個處理池 (t, t+t) 內(nèi)池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡內(nèi)池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡(pnghng)改變量改變量 = 進入量進入量 排出量排出量 分解轉(zhuǎn)化量分解轉(zhuǎn)化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1

6、c(t) 有害物質(zhì)濃有害物質(zhì)濃度度b(t) 微生物的濃度微生物的濃度V池的容積池的容積bcrccVQdtdc10)(t, t+ t) 內(nèi)內(nèi)池內(nèi)微生物的平衡池內(nèi)微生物的平衡)()(tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量流量非線性方程組無解析解非線性方程組無解析解第4頁/共61頁第五頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況平衡點平衡點用微分方程穩(wěn)定性理論用微分方程穩(wěn)定性理論(lln)可以可以驗證驗證:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQ

7、dcr/02微生物的增殖率大于死亡微生物的增殖率大于死亡(swng)和和排除率排除率dcrQVcc020當當 時時P1穩(wěn)定穩(wěn)定, P2不穩(wěn)不穩(wěn)定定第5頁/共61頁第六頁，共61頁。單池模型單池模型(mxng)的穩(wěn)的穩(wěn)態(tài)狀況態(tài)狀況c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/hc0=c01= 10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡點平衡點P1穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件為使穩(wěn)定狀況下有害物質(zhì)濃度為使穩(wěn)定狀況下有害物質(zhì)濃度(nngd)達到達到規(guī)定標準規(guī)定標準c*, 處理池的容積至少需要達到處理池的容積至少

8、需要達到1.6104 m3.一個一個(y )長寬各長寬各100 m, 深深1.6m的的池子池子!第6頁/共61頁第七頁，共61頁?？疾炜疾?koch)最壞情況最壞情況取穩(wěn)定取穩(wěn)定(wndng)平衡點平衡點P1為初值為初值, 即即單池模型單池模型(mxng)的的動態(tài)過程動態(tài)過程當當c0=c01時池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài)時池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài), c0突然增加到突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2設(shè)設(shè)V=1.6104 m3 和和 3104 m3, 用數(shù)值方法解微分方程組用數(shù)值方法解微分方程組:第7頁/共61頁第八頁

9、，共61頁。有害物質(zhì)濃度有害物質(zhì)濃度(nngd)將有將有約約1300小時超過小時超過2c*, 最高達最高達到到5c*單池模型單池模型(mxng)的動的動態(tài)過程態(tài)過程01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)有害物質(zhì)濃度將有約有害物質(zhì)濃度將有約900小小時時(xiosh)超過超過2c*, 最高最高達到達到3c*13002c*要達到規(guī)定的標準需要太大的池子要達到規(guī)定的標準需要太

10、大的池子!長寬各長寬各100 m, 深深3m的的池子池子第8頁/共61頁第九頁，共61頁。兩個兩個(lin )串接的池子串接的池子雙池模型雙池模型(mxng)V1, c1, b1Q, c0V2, c2, b2Q, c1, b1池池池池1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb與單池模型與單池模型(mxng)相同相同(只是加只是加上下標上下標1)增加從池增加從池的流入量的流入量第9頁/共61頁第十頁，共61頁。池池方程方程(fngchng)的平衡的平衡點點雙池模型雙池模型(mxng

11、)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101當當 時時P1穩(wěn)定穩(wěn)定c0=c01, V18103 m3池池方程方程(fngchng)的平的平衡點衡點)(4)(21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2)()(cbrdcrccccQVcc要求穩(wěn)態(tài)下要求穩(wěn)態(tài)下第10頁/共61頁第十一頁，共61頁。雙池模型雙池模型(mxng)的的穩(wěn)態(tài)狀況穩(wěn)態(tài)狀況*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在在c0=c01, V18103 m3下取值計算下

12、取值計算(j sun)c1, b1, V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc應(yīng)選擇應(yīng)選擇(xunz)較大的較大的V1和較小的和較小的V2相配合的相配合的方案方案第11頁/共61頁第十二頁，共61頁。雙池模型雙池模型(mxng)的動的動態(tài)過程態(tài)過程仍考察仍考察(koch)c0由由c01突然增加到突然增加到c02的最壞情況的最壞情況0100020003000

13、4000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x 10-3c*c2 (10-3g/m3)V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3有害物質(zhì)濃度有害物質(zhì)濃度(nngd)約約1200小時超過小時超過c*, 很短很短時間超過時間超過2c*要使有害物質(zhì)濃度要使有害物質(zhì)濃度完全完全不超過不超過c*, 需要需要V2太大太大第12頁/共61頁第十三頁，共61頁。雙池模型雙池模型(mxng)與單池模與單池模型型(mxng)的比較的比較有害物質(zhì)濃度有害物質(zhì)濃度(nngd)約

14、約1200小時超過小時超過c*, 很短時間很短時間超過超過2c*有害物質(zhì)濃度有害物質(zhì)濃度(nngd)約約900小時超過小時超過2c*, 最最高達到高達到3c*雙池總?cè)莘e比單池減少近雙池總?cè)莘e比單池減少近1/3, 處理效果好得多處理效果好得多雖然有超標雖然有超標, 但這是最壞情況但這是最壞情況, 可按處罰等方法解決可按處罰等方法解決01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)雙池雙池01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3

15、g/m3)t(h)單池單池V1+V2=2.1104m3第13頁/共61頁第十四頁，共61頁。13.2 紅綠燈下的交通流紅綠燈下的交通流背景背景(bijng)(bijng)與對象與對象 公路上行駛公路上行駛(xngsh)的一輛接一輛的的一輛接一輛的汽車隊伍汽車隊伍.將車隊類比作連續(xù)的流體將車隊類比作連續(xù)的流體(lit), 稱為交通流稱為交通流(車流車流).描述、分析每一時刻通過公路上每一點的交通流的描述、分析每一時刻通過公路上每一點的交通流的流量、流量、速度、密度速度、密度之間的關(guān)系之間的關(guān)系.研究出現(xiàn)紅綠燈改變（可以看作交通事故的發(fā)生和排除）研究出現(xiàn)紅綠燈改變（可以看作交通事故的發(fā)生和排除）時

16、交通流的變化過程時交通流的變化過程.第14頁/共61頁第十五頁，共61頁。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函數(shù)函數(shù) 對象對象 無窮長公路上單向行駛的一條車流，不許超車無窮長公路上單向行駛的一條車流，不許超車, 公公路上沒有岔路路上沒有岔路(汽車不會汽車不會(b hu)從其他道路進入或駛出從其他道路進入或駛出).xo0車流方向車流方向流量流量q(x,t) 時刻時刻 t 單位單位(dnwi)時間內(nèi)通過點時間內(nèi)通過點 x 的的車輛數(shù)車輛數(shù).密度密度 (x,t) 時刻時刻 t 點點 x 處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)處單位長度內(nèi)的車輛數(shù).速度速度u(x,t) 時刻時刻 t 通過點通過點 x 的車流速

17、度的車流速度.基本關(guān)系：基本關(guān)系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于車流速度單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于車流速度(單位時間行駛的單位時間行駛的距離距離)乘以單位長度內(nèi)的車輛數(shù)乘以單位長度內(nèi)的車輛數(shù).第15頁/共61頁第十六頁，共61頁。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函數(shù)函數(shù) 基本基本(jbn)關(guān)系：關(guān)系：q(x,t)= u(x,t)(x,t) 流量流量(liling)q(x,t)密度密度 (x,t)速度速度u(x,t)qmq0 * m 速度速度u隨著密度隨著密度 的增加而減少的增加而減少, 設(shè)設(shè)u是是 的線性函數(shù)的線性函數(shù), )/1 (mmuu)/

18、1 (mmuq平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)(所有車輛速度相同所有車輛速度相同, 公路各處密度相同公路各處密度相同)下下u, 和和 q 的關(guān)系的關(guān)系. = *= m/2 , q=qm (最大值最大值) =0, u= um(最大值最大值); = m(最大值最大值), u= 0.第16頁/共61頁第十七頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程流量流量(liling)q(x,t)密度密度(md)(x,t)速度速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x (x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbab

19、a),(),(badxxqt0)(0 xqt區(qū)間區(qū)間a,b的任意性的任意性關(guān)于關(guān)于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的連續(xù)、可微、解析性假的連續(xù)、可微、解析性假設(shè)設(shè)積分形式積分形式微分形式微分形式第17頁/共61頁第十八頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交交通流方程通流方程0 xqt流量流量(liling)q(x,t)密度密度(md)(x,t)速度速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知已知q=q( )xxfx),()0 ,(已知初始密度已知初始密度 f(x)一階擬線性偏微分方程一階擬線性偏微分方程用特征方程和首次積分法求解用特征方程和首次積分法求解)0(,)()(),

20、(),(0000 xxxtxftxxfttx0txx0斜率斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一族直線是一族直線 特征線特征線特征線的斜率隨特征線的斜率隨x0變化變化沿每條特征線沿每條特征線x(t), (x,t)是常數(shù)是常數(shù)f(x0)第18頁/共61頁第十九頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程討論討論(toln)q(), f(x)給定后解給定后解(x,t)的性質(zhì)的性質(zhì)ddqxt)(,0)(xxfx),()0 ,()/1 (mmuq)/21 (/)(mmuddq m * 0 1 2 * = m/2 , ( * )=0, k00)()(xtxftxt(x)的斜率的斜率

21、(xil)k=1/ (f(x0)特征線特征線 10, k0 2 * , ( 2 )0, k0按初始密度按初始密度f(x)是是x的的減函數(shù)或增減函數(shù)或增函數(shù)函數(shù)討論討論解解 (x,t)的性質(zhì)的性質(zhì)) 0()(),(00 xxxfttx第19頁/共61頁第二十頁，共61頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)交通流方程交通流方程f(x)增函數(shù)增函數(shù)xf(x)x*x1x20 * 1 2xf(x)減函數(shù)減函數(shù)f(x)x*x1x20 * 1 2 10 2 *, k0 = *,k前面車流密度小前面車流密度小(速度速度大大), 后面密度大后面密度大(速度速度小小), 行駛行駛(xngsh)正正常常.前面前面(q

22、in mian)車流密度大車流密度大(速度小速度小), 后面密度小后面密度小(速度大速度大), 造成堵塞造成堵塞, (x,t), q(x,t)出現(xiàn)出現(xiàn)間斷間斷.) 0 ()(),(00 xxxfttxxx*x1x20t00)()(xtxftxxx*x1 x1x20tP(x,t)00)()(xtxftx在在P(x,t)點點, (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1 ) ?第20頁/共61頁第二十一頁，共61頁。間斷間斷(jindun)(jindun)交通流方程交通流方程設(shè)一連串間斷點設(shè)一連串間斷點(x,t)形成形成(xngchng)孤立、連續(xù)的間孤立、連續(xù)的間斷線斷線x=xs(t)badx

23、txdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程的積分交通流方程的積分(jfn)(jfn)形式形式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(),(),(),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()(),(),(推導間斷線推導間斷線xs(t)的方程的方程對任意對任意t , x=xs(t)孤立孤立, 取取a xs(t) 0處的車輛繼續(xù)行駛處的車輛繼續(xù)行駛, x0處的車輛出現(xiàn)堵塞處的車輛出現(xiàn)堵塞. t= 時交通燈變綠時交通燈變綠, 堵塞的車輛快速行駛堵塞的車輛快速行駛. 用車流密度用車流密度 (x,t)描述紅綠燈轉(zhuǎn)換下交通流的變化描述紅綠燈轉(zhuǎn)換下交

24、通流的變化. 綠燈后堵塞的車輛多長時間才能追上遠離的車隊綠燈后堵塞的車輛多長時間才能追上遠離的車隊? 需要多長時間堵塞狀態(tài)才會消失需要多長時間堵塞狀態(tài)才會消失, 交通恢復正常交通恢復正常?對對象象第23頁/共61頁第二十四頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx討論密度討論密度(md) (x,t) 的的變化變化連續(xù)連續(xù)(linx)點點間斷線間斷線qdtdxs1. t=0, (x,0)=f(x)= 0(常數(shù)常數(shù))設(shè)設(shè) 0 *= m/2 初始密度小于流量達到最大的密度初始密度小于流量達到最大的密度, 稱為稱為稀疏流稀疏

25、流.x m 00t=0依時間為序分依時間為序分9步討論步討論第24頁/共61頁第二十五頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)x m 000t xsrxxl2. 0t, 紅燈紅燈(hn dn)亮亮x0處車輛堵塞處車輛堵塞, 導致導致(dozh)最大密度最大密度=m = m與與 = 0形成形成左間斷線左間斷線 x=xsl(t) 堵塞車輛尾部的移動堵塞車輛尾部的移動.mmmmmuqqq/ )()()(,0000qdtdxsltutxmmsl0)(x=xsl(t)向左向左移動速度移動速度usl=um 0 / m 0 *= m/2 0)0(,0slmmxu第25頁/共61頁第二十六頁

26、，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)2. 0t0處車輛繼續(xù)行駛處車輛繼續(xù)行駛, 出現(xiàn)空閑路段出現(xiàn)空閑路段 =0 x m 000tusl=um 0 / m 0 , 綠燈亮綠燈亮x m 00t xsrxxlx1x2x1(t)堵塞車隊最前車輛的位置堵塞車隊最前車輛的位置x2(t)堵塞車隊最后車輛的位置堵塞車隊最后車輛的位置初始密度初始密度(設(shè)設(shè)t = t- =0)srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0確定確定x1(t), x2(t)第27頁/共61頁第二十八頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)4. t, 綠燈綠燈(ldng)亮亮x m 0

27、0t xsrxxlx1x2srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0初始初始(ch sh)密度密度0 x0 xsr)/21 ()(mmuf(x0)=0, (f(x0)=um特征線特征線x=um t +x0, (x, t )= f(x0)=0, x00+, x1=um t =um (t- )xslx00f(x0)= m, (f(x0)=-um ,x2=-um t =-um (t- )x2xx1)(21 ()(tutxmm)(1 2),(tuxtxmm第28頁/共61頁第二十九頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)5. t=td,堵塞堵塞(ds)消失消失xsl(

28、t)向左移動向左移動(ydng)速速度度um 0 / mxsr(t)向右向右移動速度移動速度um ( m - 0 )/ mx2(t)向左向左移動速度移動速度um 0 *= m/2 x1(t)向右向右移動速度移動速度umx2(t)首先追上首先追上xsl(t), 此時此時堵塞消失堵塞消失tutxmmsl0)(x2(t) =-um (t- )t =td0mmdtx m 00t=tdxsrxxlx1=x2=第29頁/共61頁第三十頁，共61頁。紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)6. t=tu,追上車隊追上車隊(ch du)xsl(t)向左移動向左移動(ydng)速速度度um 0 / mx2(

29、t)向左向左移動速度移動速度um 0tu , xsl(t), xsr(t)繼續(xù)移動繼續(xù)移動紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng)qdtdxsl,)(1 2),(tuxtxmm,)(1 2tuxmslm)()(),21 (2)( 20dmdslmmxlsltutxutxdtdx02/110)()(21 ()(tBtutxmmsl0)(1 (22/10001mmmuB2/ 110)(2)21 (tBudtdxmmsl0 (t充分充分(chngfn)大大)xsl由向左變由向左變?yōu)橄蛴乙苿訛橄蛴乙苿?m 00ttuxsrxxlx第31頁/共61頁第三十二頁，共61頁。8. t=t* , x=0處

30、交通處交通(jiotng)恢復恢復紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng) 0=0t=t*xsrxxlx 2/110)()(21 ()(tBtutxmmsl當當xsl移動移動(ydng)至至x=0時時, x=0處處交通恢復交通恢復20*)/21 ()(0mttt 越小越小, 0/ m越小越小, 則則t*越小越小, x=0處交通恢復越快處交通恢復越快.2/ 10001)(1 (2mmmuB設(shè)設(shè) =5min, 0/ m=3/8, 則則t*=80min5分鐘的堵塞分鐘的堵塞, 過過75分鐘后分鐘后x=0處交通才能恢復處交通才能恢復.第32頁/共61頁第三十三頁，共61頁。9. tt* , xsl

31、(t), xsr(t)繼續(xù)繼續(xù)(jx)向右移動向右移動紅綠燈模型紅綠燈模型(mxng)(mxng) 00tt*xsrxxlx xsl, xsr處處 的跳躍的跳躍(tioyu)值越來越小值越來越小.理論上理論上, t全線交通才能恢全線交通才能恢復到初始狀態(tài)復到初始狀態(tài) = 0以上假定初始密度以上假定初始密度 0 *= m/2 擁擠流擁擠流, 得到的結(jié)得到的結(jié)果與稀疏流不同果與稀疏流不同, 但分析方法一樣但分析方法一樣(習題習題3).第33頁/共61頁第三十四頁，共61頁。紅綠燈下的交通流紅綠燈下的交通流 將離散車流類比作連續(xù)流體將離散車流類比作連續(xù)流體 類比是建模的基本類比是建模的基本(jbn)

32、方法之一方法之一. 引入流量引入流量(liling)、密度、速度函數(shù)、密度、速度函數(shù), 并按照守恒關(guān)系建并按照守恒關(guān)系建立交通流模型立交通流模型(積分形式和微分形式積分形式和微分形式). 用特征線法解連續(xù)用特征線法解連續(xù)(linx)交通流模型交通流模型. 利用跳躍值研究間斷線發(fā)展過程利用跳躍值研究間斷線發(fā)展過程, 研究紅綠燈模型研究紅綠燈模型.第34頁/共61頁第三十五頁，共61頁。13.3 鮭魚數(shù)量鮭魚數(shù)量(shling)的周期變化的周期變化背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 海洋中魚的數(shù)量海洋中魚的數(shù)量(shling)按繁殖期呈周按繁殖期呈周期變化期變化.鮭魚生長、繁殖過程：

33、鮭魚生長、繁殖過程：成年魚產(chǎn)卵成年魚產(chǎn)卵產(chǎn)卵前鮭魚的數(shù)量按一定規(guī)律呈周期變化產(chǎn)卵前鮭魚的數(shù)量按一定規(guī)律呈周期變化既在離散的時間點上描述成年鮭魚數(shù)量的周期變化，又在既在離散的時間點上描述成年鮭魚數(shù)量的周期變化，又在連續(xù)的繁殖期內(nèi)描述從卵、幼魚到成年魚的演變過程連續(xù)的繁殖期內(nèi)描述從卵、幼魚到成年魚的演變過程.將描述連續(xù)變化的將描述連續(xù)變化的微分方程微分方程嵌入描述離散變化的嵌入描述離散變化的差分方程差分方程.卵變成幼魚卵變成幼魚幼魚長大幼魚長大產(chǎn)卵后死去產(chǎn)卵后死去被成年魚吃掉、被環(huán)境淘汰被成年魚吃掉、被環(huán)境淘汰第35頁/共61頁第三十六頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)假設(shè)假設(shè) xn第

34、第n繁殖期繁殖期(周期周期(zhuq)初成年鮭魚的數(shù)量初成年鮭魚的數(shù)量( n =0,1,2, )y(t)每個周期內(nèi)每個周期內(nèi)t時刻時刻(shk)幼魚的數(shù)幼魚的數(shù)量量tb.ta.n.n+1.1. y(ta) 與與xn 成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù) 為一條魚的為一條魚的產(chǎn)卵量產(chǎn)卵量.3. 單位時間內(nèi)單位時間內(nèi)y(t) 減少的比例與減少的比例與xn 成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù) 反反映映鮭魚吞食幼魚鮭魚吞食幼魚的的能力能力.2. xn+1 與與y(tb)成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù) 表示表示繁殖期末幼魚成繁殖期末幼魚成長為成年魚長為成年魚的的比例比例.允許數(shù)量出現(xiàn)突變允許數(shù)量出現(xiàn)突變t.

35、第36頁/共61頁第三十七頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)建立建立 y(ta) 與與xn 成正成正比比單位單位(dnwi)時間時間內(nèi)內(nèi)y(t) 減少的比例減少的比例與與xn 成正比成正比xn+1 與與y(tb)成正比成正比naxty)(t.tb.ta.n.n+1.)()()(anttxaetytynabxttnnexx)(12 , 1 , 0,1neaxxnbxnn)(,abttba)(1bntyxbantttxyy,/t.無解析解無解析解, 尋求尋求(xnqi)數(shù)值解數(shù)值解第37頁/共61頁第三十八頁，共61頁。模型模型(mxn(mxng)g)建立建立 ,1nbxnneaxx)

36、(,(abttba 一條一條(y tio)魚的產(chǎn)卵量魚的產(chǎn)卵量, 設(shè)設(shè) =105 繁殖期末繁殖期末(q m)幼魚成長為成年魚的比幼魚成長為成年魚的比例例, 設(shè)設(shè) =0.5, 1.1, 1.5 ( 10-4)()()(anttxaetytya= = 5, 11, 15設(shè)設(shè)x0=1(數(shù)量單位數(shù)量單位), 且吞食且吞食90%的幼魚的幼魚, 即即y(tb)/ y(ta)=0.13 . 210ln)(abtt1 . 0)(abtteb=2.3a的大小反映鮭魚從一個周期到下一周期的增長的大小反映鮭魚從一個周期到下一周期的增長第38頁/共61頁第三十九頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)建立建立

37、,1nbxnneaxxa=5, 11, 15,b=2.3na=5a=11a=15na=5a=11a=15011110.50001.10001.5000270.69901.72601.973020.79060.96110.7115280.69900.35680.314730.64021.15602.0740290.69901.72602.287040.73290.88760.2625300.69900.35690.1771170.69891.72402.2720370.69901.72602.1860180.69900.35810.1821380.69900.35680.2137190.6989

38、1.72701.7960390.69901.72601.9600200.69900.35620.4308400.69900.35680.3225a=5, xn0.6990,a=11, xn1.7260, 0.3568,a=15, xn?第39頁/共61頁第四十頁，共61頁。平衡點與穩(wěn)定性平衡點與穩(wěn)定性 nbxnneaxx1研究研究(ynji)a的大小對鮭魚數(shù)量的大小對鮭魚數(shù)量xn變化規(guī)律變化規(guī)律的影響的影響平衡點平衡點 x*:*)(bxeaxxfxbaxln*平衡點平衡點 x*穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)條件條件:1ln1)(*axf389. 72 ea1ln1a當當 時時x*穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)

39、數(shù)值解中數(shù)值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699穩(wěn)定穩(wěn)定數(shù)值解中數(shù)值解中 a=11, 15 (e2), x*不穩(wěn)定不穩(wěn)定考察倍周期收斂條件考察倍周期收斂條件第40頁/共61頁第四十一頁，共61頁。平衡點與穩(wěn)定性平衡點與穩(wěn)定性 nbxnneaxx1變量代換變量代換(di hun)(無量綱化無量綱化)abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz 2, z*=1不穩(wěn)定不穩(wěn)定(wndng)平衡點平衡點 x*=lna/b z*=1,穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)條件條件 ae2 2, 討論倍周期收斂討論倍周期收斂aezznznnln)1(1平衡點平衡點 :

40、z1*, z2* (及及z*=1)1 (*1*2)1 (*2*1*1*2,zzezzezz2*2*1 zzz1*, z2* 是方程是方程 的兩個的兩個根根2)1 (zzezz1*=0.3427z2*=1.6573第41頁/共61頁第四十二頁，共61頁。平衡點與穩(wěn)定性平衡點與穩(wěn)定性 abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz平衡點平衡點 z1*=0.3427, z2*=1.6573 穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)的條件的條件:1) )(*,)2(21zzzzg5265. 22aln51.12389. 7 ax1*=0.3569x2*=1.7259a=11,b=2.3*2,

41、 1*2, 1lnzbax)51.12(5265. 2a研究研究zn的的2k倍周期倍周期(zhuq)收收斂斂 (k=2,3)77.14(6924. 2azn的變化趨勢出現(xiàn)的變化趨勢出現(xiàn)(chxin)混混沌現(xiàn)象沌現(xiàn)象第42頁/共61頁第四十三頁，共61頁。鮭魚數(shù)量鮭魚數(shù)量(shling)的周的周期變化期變化首先將各個短周期內(nèi)性質(zhì)相同的連續(xù)變化規(guī)律用同一微分方首先將各個短周期內(nèi)性質(zhì)相同的連續(xù)變化規(guī)律用同一微分方程描述；然后將微分方程嵌入到長期的、描述離散變化規(guī)律程描述；然后將微分方程嵌入到長期的、描述離散變化規(guī)律的差分的差分(ch fn)方程中方程中 嵌入式模型嵌入式模型.嵌入式模型嵌入式模型(m

42、xng)的應(yīng)用的應(yīng)用 生物的周期性繁殖生物的周期性繁殖 再生資源的周期性收獲再生資源的周期性收獲 人體對周期性注入藥物的反應(yīng)人體對周期性注入藥物的反應(yīng)周期性排污的環(huán)境變化周期性排污的環(huán)境變化平衡點的平衡點的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析倍周期收斂和混沌現(xiàn)象倍周期收斂和混沌現(xiàn)象第43頁/共61頁第四十四頁，共61頁。13.4 價格指數(shù)價格指數(shù)問問題題(wnt)價格價格(jig)指數(shù)是消費品價格指數(shù)是消費品價格(jig)變化的度量變化的度量.幾百年來，經(jīng)濟學家們提出幾百年來，經(jīng)濟學家們提出(t ch)了許多種價格指數(shù)了許多種價格指數(shù).如何評價這些價格指數(shù)的合理性？如何評價這些價格指數(shù)的合理性？從種、種商品的

43、價格指數(shù)談起從種、種商品的價格指數(shù)談起對一種給定商品，原價對一種給定商品，原價p0, 現(xiàn)價現(xiàn)價p, 價格變化價格變化 I=p/p0對兩種給定商品，原價對兩種給定商品，原價p01, p02, 現(xiàn)價現(xiàn)價p1, p2, 價格變化價格變化022011ppppI020121ppppI020121ppppI 不合理不合理: 人們對大米漲價比鋼琴降價更為關(guān)切人們對大米漲價比鋼琴降價更為關(guān)切加權(quán)加權(quán)!第44頁/共61頁第四十五頁，共61頁。問題的一般問題的一般(ybn)提法提法基年基年(基準基準(jzhn)年年)現(xiàn)年現(xiàn)年(考察年考察年) 各種各種( zhn)價格指數(shù)價格指數(shù) I(p,q|p0,q0)哪個更合理

44、？哪個更合理？價格權(quán)重價格權(quán)重n 種代表性消費品種代表性消費品Tnpppp),.,(002010Tnqqqq),.,(002010Tnpppp),.,(21Tnqqqq),.,(210001.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iiiqq,niiiippI106,1, 0ii第45頁/共61頁第四十六頁，共61頁。1. 價格單調(diào)性：一種商品價格單調(diào)性：一種商品(shngpn)漲價，其他不降，則漲價，其他不降，則I應(yīng)上升應(yīng)上升價格指數(shù)的公理化價格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I

45、(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 權(quán)重權(quán)重(qun zhn)不變性：所有商品價格不變，則不變性：所有商品價格不變，則I應(yīng)不變應(yīng)不變1),|,(000qpqpI3. 價格齊次性：所有商品漲價價格齊次性：所有商品漲價(zhn ji)k倍，則倍，則I應(yīng)上升應(yīng)上升k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. I應(yīng)位于單種商品價格比值的最小、最大值之間應(yīng)位于單種商品價格比值的最小、最大值之間0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp第46頁/共61頁第四十七頁，共61頁。5. 貨幣單位貨幣單位(dnwi)獨立性：獨立

46、性：I應(yīng)與貨幣單位應(yīng)與貨幣單位(dnwi)的選取無關(guān)的選取無關(guān)價格指數(shù)的公理化價格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)00),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 計量單位獨立性：計量單位獨立性： I應(yīng)與商品應(yīng)與商品(shngpn)計量單位計量單位的選取無關(guān)的選取無關(guān)為非負對角陣),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI7. 兩年的價格指數(shù)之比與基年選取兩年的價格指數(shù)之比與基年選取(xunq)無關(guān)無關(guān)),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 價格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義價格指數(shù)不

47、因某種商品被淘汰失去意義iqpqpIip, 0),|,(lim000第47頁/共61頁第四十八頁，共61頁。I1, I2, I5不滿足不滿足(mnz)公理公理7該定理沒有涉及該定理沒有涉及(shj)公理公理1,4,5, 為什么為什么?Eichhorn 證明證明了了定理定理: 不存在同時滿足公理不存在同時滿足公理2,3,6,7,8的價格指數(shù)的價格指數(shù).I6, I7, I8不滿足不滿足(mnz)公理公理8I3不滿足公理不滿足公理2I4不滿足公理不滿足公理6I滿足公理滿足公理1,2,3 I滿足公理滿足公理4 I滿足公理滿足公理2,3,7 I滿足公理滿足公理5目前常用的價格指數(shù)目前常用的價格指數(shù): I

48、1, I2I1, I2滿足除公理滿足除公理7外的所有公理，且計算簡單外的所有公理，且計算簡單.價格指數(shù)的公理化價格指數(shù)的公理化第48頁/共61頁第四十九頁，共61頁。定理不存在同時滿足定理不存在同時滿足(mnz)公理公理2,3,6,7,8的價格指的價格指數(shù)數(shù)證明證明(zhngmng)思路思路: 滿足滿足2,3,6,7,8的價格指數(shù)的價格指數(shù)I必必不滿足公理不滿足公理8記記e=(1,1,1)T, C=Diagc1,c2,cn, ci0 D=Diagd1,d2,dn, di0),|,(),|,(),|,(),|,(111111eeeCCeIeeeCCeIeeeDCCDeIeeeDCCDeI(*)證

49、明證明(zhngmng),|,(),|,(),|,(1111117eeeCCeIeCCeeCCeIeCCeeDCCDeI公理),|,(),|,(1162eeeCCeIeeeDDeI，公理第49頁/共61頁第五十頁，共61頁。證證明明(zhngmng)記記i=Diag1,1 (第第i位置位置(wi zhi)元素元素 0，其余，其余為為1),|,(),|,(),|,(),|,(11eeppIeeppIeeepIeeepI(*)為單位陣）EEnii(1(*)定理不存在同時滿足定理不存在同時滿足(mnz)公理公理2,3,6,7,8的價的價格指數(shù)格指數(shù)),|,(),|,(),|,(),|,(12117e

50、eppIeeppIepppIepepI公理公理第50頁/共61頁第五十一頁，共61頁。與公理與公理(gngl)矛盾！矛盾！),|,(1niieeeeIs令),|,(11(*)niiieeeeI),|,111(*)niniiieeeeIeeeeI,|,1*)*(*213,|,公理公理eeeeI當當 0 0時時, ,s0 0存在存在(cnzi)某個某個i, 當當0時時0),|,(lim0eeeeIi證畢證畢證證明明(zhngmng)定理定理不存在同時滿足公理不存在同時滿足公理2,3,6,7,8的價格指數(shù)的價格指數(shù)第51頁/共61頁第五十二頁，共61頁。13.5 設(shè)備檢查設(shè)備檢查(jinch)方案方

51、案背景背景(b(bijijng) ng) 與與問題問題 設(shè)備檢查的目的設(shè)備檢查的目的: 及時發(fā)現(xiàn)和排除故障及時發(fā)現(xiàn)和排除故障, 保保證證(bozhng)生產(chǎn)的順利進行生產(chǎn)的順利進行. 確定設(shè)備檢查方案確定設(shè)備檢查方案-檢查周期檢查周期 (接連兩次接連兩次檢查的時間間隔檢查的時間間隔). 一旦出現(xiàn)故障一旦出現(xiàn)故障, 設(shè)備將帶故障運行到下次檢查時設(shè)備將帶故障運行到下次檢查時 才能才能發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn), 給生產(chǎn)造成損失給生產(chǎn)造成損失. 檢查周期越長檢查周期越長, 故障造成的損失費用越大故障造成的損失費用越大. 檢查周期越短檢查周期越短, 用于設(shè)備檢查的費用越大用于設(shè)備檢查的費用越大.存在最佳檢查周期使總費用

52、存在最佳檢查周期使總費用(損失費、檢查費損失費、檢查費)最小最小.第52頁/共61頁第五十三頁，共61頁。背景背景(bijng)(bijng)與問題與問題 設(shè)備出現(xiàn)故障的時刻是隨機設(shè)備出現(xiàn)故障的時刻是隨機(su j)的，的， 服從一定的服從一定的連續(xù)型概率分布連續(xù)型概率分布. 檢查檢查(jinch)周期不一定是常數(shù)，故障概率大時周周期不一定是常數(shù)，故障概率大時周期短，故障概率小時周期長期短，故障概率小時周期長. 將檢查周期表示為時刻將檢查周期表示為時刻t的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)s(t) 單位時間內(nèi)的檢查次數(shù)表示為單位時間內(nèi)的檢查次數(shù)表示為 n(t)=1/s(t) 與設(shè)備正常運行時間相比，與設(shè)備正常

53、運行時間相比，s(t)很小，很小，n(t)很大，于是很大，于是n(t)可視為可視為t的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù).第53頁/共61頁第五十四頁，共61頁。模型模型(mxng)(mxng)假設(shè)假設(shè) 1. 設(shè)備故障時刻的概率分布函數(shù)設(shè)備故障時刻的概率分布函數(shù)(hnsh)是是F(t)，概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)(hnsh)是是f(t)，設(shè)備使用，設(shè)備使用期限是期限是T，F(xiàn)(T)=1.2. 設(shè)備帶故障運行到下次檢查設(shè)備帶故障運行到下次檢查(jinch)時為止的損失時為止的損失費與這段允許時間長度成正比，單位時間損失費費與這段允許時間長度成正比，單位時間損失費c1 .3. 相鄰兩次檢查之間出現(xiàn)故障的時刻是均勻分布的，帶相鄰兩次檢查之間出現(xiàn)故障的時刻是均勻分布的，帶故障運行的時間取該分布的均值故障運行的時間取該分布的均值.4. 每次檢查費每次檢查費c2，到時刻，到時刻t為止的檢查次數(shù)表示為為止的檢查次數(shù)表示為tdn0)(第54頁/共61頁第五十五頁，