大學微積分經濟管理類01701

1、會計學1大學微積分經濟管理類大學微積分經濟管理類01701 2 數學是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發(fā)現的數學是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發(fā)現的真理以生命；她喚起心神，澄凈智慧；她給我們的內心思想添輝；她滌盡真理以生命；她喚起心神，澄凈智慧；她給我們的內心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知我們有生以來的蒙昧與無知. . 普洛克拉斯普洛克拉斯（Proclus, 410485) 1.11.21.31.41.51.61.7 3 這本龐大的書（我指的是宇宙）中寫了（自然）哲學，它一直敞開在這本龐大的書（我指的是宇宙）中寫了（自然）哲學，它一直敞開在我們的眼前，

2、但不首先學會理解它的語言，并識別它書寫所用的字符，是我們的眼前，但不首先學會理解它的語言，并識別它書寫所用的字符，是不能讀懂它的，它是用數學的語言寫成的不能讀懂它的，它是用數學的語言寫成的 伽利略伽利略（Galilei, Galileo, 15641642)1.11.21.31.41.51.61.7 4 普洛克拉斯，古希臘柏拉圖派的領頭人物，哲學家和大評論家普洛克拉斯，古希臘柏拉圖派的領頭人物，哲學家和大評論家, ,喜愛數喜愛數學，并愛寫詩學，并愛寫詩伽利略，偉大的意大利物理學家和天文學家，科學革命的先驅伽利略，偉大的意大利物理學家和天文學家，科學革命的先驅, ,他開創(chuàng)他開創(chuàng)了以實驗事實為依據

3、，并具有嚴密邏輯體系的近代科學了以實驗事實為依據，并具有嚴密邏輯體系的近代科學, ,被稱為被稱為“近代近代科學之父科學之父”為證實和堅持傳播為證實和堅持傳播 N.N.哥白尼的哥白尼的“日心說日心說”，他晚年受到，他晚年受到教會的迫害，被終身監(jiān)禁教會的迫害，被終身監(jiān)禁 5 由于實踐和各門科學自身發(fā)展的需要，到了16世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題與之相適應，數學在經歷了兩千多年的發(fā)展之后進入了一個新的時代，即變量數學的時代.作為在運動中變化的量及它們之間的依賴關系的反映，數學中產生了變量和函數的概念 例如：伽利略發(fā)現自由落體下落的距離 s 與經歷的時間 t 的平方成正比，得到著名的公

4、式確定了變量 t 與 s 之間的依賴關系，即函數關系，這就是自由落體運動規(guī)律的數學表述221(9.81 m/s ),2sgtg 6 數學的一項重要任務，就是要找出反映各種實際問題中變量的變化規(guī)律，即其中所蘊含的變量之間的函數關系 函數是數學中最基本的概念之一，微積分研究函數的一些局部的和整體的性態(tài) 本章介紹函數的一般概念，幾種常用的表示方式，最基本的函數類初等函數，函數的性質，以及經濟學中幾種常用的函數 7 1.1.11.1.21.1.3集合及其運算集合及其運算絕對值及其基本性質絕對值及其基本性質區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域 8 1.1.1 1.1.1 集合及其運算集合及其運算 集合是數學中的一個基本

5、概念，例如：一個班的全體學生是一個集合，一個車間某天生產的全部產品也構成一個集合，全體整數則構成數的一個集合，等等由此可見，集合是日常生活中常會遇到的一個概念集合論是數學的基礎理論 一般地說，具有某種指定性質的事物的總體稱為一個集合. 組成這個集合的事物稱為這個集合的元素 集合通常用大寫的拉丁字母，如 A, B, S, 表示，其元素則用小寫的拉丁字母，如 a, b, s, 表示 若 S 是一個集合，s 是 S 中的一個元素，而 t 不在 S 中，則稱 s 屬于 S，記為 s S ，t 不屬于 S ， 記為 t S (或 t S ). 9 如果集合 S 只包含有限個元素，則稱 S 為有限集，否則

6、稱為無限集為方便計，數學中也將不含任何元素的 “集合” 稱為空集合，并用專門記號 “” 表示 說明一個集合通常有兩種方法 一種是列舉法，即將集合的所有元素列舉出來，例如：由元素 a1, a2, , an 組成的集合 A 可以表示成 A = a1, a2, , an . 另一種是描述法，即用刻畫集合中全體元素的性質來說明. 假設集合 S 是由具有某種性質 P 的元素的全體組成的，我們可以將 S 表示為 S = s | s 具有性質 P . 10 例如：由所有滿足條件 x 1 的實數 x 組成的集合 B，可以表示為B = x | x 0，則 | x | a 表示數軸上點 x 與原點 0 之間的距離

7、小于 a，即 a x a所以，| x | a a x a x a,0;|,0.xxxxx 18 例例 1 解下列絕對值不等式： 1) | x 1 | 3; 2) | x1 | 2 解 1) | x 1 | 3 即為3 x 1 3，因此2 x 4 2) | x1 | 2 即為x1 2 或 x1 2,從而 x 1 或 x 3 19 絕對值有下列性質：設設 x, y 是任意兩個實數，則是任意兩個實數，則 1 | x | 0; 2 |x | = | x |; 3| x | x | x |; 4 | xy | | x | | y |; 5 | | x | y | | | x y |; 6 | xy |

8、= | x | | y | 性質 13和性質 6由絕對值的定義不難理解 性質 4是因為：由性質 3，有| x | x | x |, | y | y | y |兩式相加，可得| x | y | x y | x | | y |，此即 | x y | | x | | y | 性質 5不難對 x, y 不同的情況直接驗證，其證從略 20 1.1.3 1.1.3 區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域 在微積分中，用得最多的數集是區(qū)間和鄰域 設 a, b R，a b，則數集 x | a x b 稱為以 a, b 為端點的開區(qū)間,記為 (a, b)，即 (a, b) = x | a x b，如圖 1-6 (a) 中的線段注

9、意，a (a, b), b (a, b) 以 a, b 為端點的閉區(qū)間a, b表示數集x | a x b，即 a, b= x | a x b,如圖 1-6 (b) 中的線段 圖圖 1-6 21 此外，還有以 a, b 為端點的兩個半開半閉區(qū)間(a, b= x | a x b 和 a, b) = x | a x b 以上的區(qū)間都是有限區(qū)間，ba 稱為這些區(qū)間的長度 除此以外，還有無限區(qū)間為了方便起見，引進兩個記號 “”（讀做正無窮大）和 “”（讀做負無窮大），并記(a, ) = x | a x, a, ) = x | a x, (, b) = x | x b, (, b= x | x b(a,)

10、 和 (, b在數軸上的表示依次為圖 1-7 (a) 和 (b) 中的射線 圖圖 1-7 22 如此，實數集 R 也可表示為R = (, ) = x | x 除了區(qū)間的概念外，為了闡述函數的局部性態(tài)，還常用到鄰域的概念，它是由某點附近的所有的點組成的集合 23 設 a 是任一實數，即數軸上的一點，包含 a 的任何一個開區(qū)間稱為點 a 的一個鄰域，記為U (a)將U (a)中去掉 a 所得的集合稱為 a 的去心鄰域，記為 特別，設是任一正數，則開區(qū)間 (a, a) 是 a 的一個鄰域（如圖 1-8 (a)），稱為點 a 的 鄰域，記為 U (a,)，a 稱為這個鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，所以

11、U (a,) = x | a x a = x | | xa | M 稱為 的 M 鄰域，記為 U (, M)所以U (, M) = x | | x | M = (, M)(M, )（如圖 1-9 (a)） 若不需特別說明 M，U (, M) 也可簡單地用 U () 表示. 同樣，開區(qū)間 (, M ) 和 ( M,) 依次稱為和的鄰域,可分別簡記為 U () 和 U ()，如圖 1-9 (b), (c) 圖圖 1-9 26 1.2.11.2.21.2.3函數的概念函數的概念函數的表示法函數的表示法函數的運算函數的運算 27 1.2.1 1.2.1 函數的概念函數的概念 函數，是微積分也是數學中最

12、基本的一個概念 先看以下各例 28 例例 1 (自由落體) 如圖 1-10，在 O 點的一個質點，起始時刻是靜止的，在重力的作用下開始下落設經過時間 t 后它落到 P 點，下落的距離 s = | OP |，顯然 s 由 t 唯一確定，且隨 t 變而變.經過兩個世紀左右的探索，到 16 世紀，伽利略先是猜測，后通過做小球在斜板上滾動的實驗，確認 s = c t2，其中 c 是一個常數，對在同一地點接近地球表面真空中下落的一切物體具有相同的值（在其他星球上 c 的值是不同的）經過精確的實驗，測得 ，其中 g 9.81 m/s2（稱為重力常數），g 表示重力作用下自由落體的加速度，所以 它給出了 s

13、 與 t 之間的函數關系12cg21,2sgt 圖圖 1-10 29 例例 2 在力學中，質量為 m、速度為 v 的物體運動時所具有的能量（稱為動能） 在電學中，電流強度為 I 的電流通過電阻為 R 的導線時，在單位時間內所產生的熱量 此外，在幾何中半徑為 r 的圓的面積21.2Emv21.2QRI2.Sr 30 這些例子雖然具體的背景不同，t, v, I, r 和 s, E, Q, S 各有其實際意義，但在數學上，這些變量之間的關系都有一個相同的抽象形式y = k x2，x 可以代表 t, v, I, r，而 y 相應地可以代表 s, E, Q, Sx 和 y 都是變量， y 的值隨 x 的

14、值定而定，隨 x 變而變上式反映了 y 對于 x 的一種依賴關系，即所謂函數關系如果將這個函數關系的性質研究清楚了，那么前面的那些實際變量之間的關系的性質也就清楚了 數學的一個特點是它的高度抽象性，隨之也就具有應用的廣泛性 31 下面給出函數的一般定義 定義 設數集 D R，D 若有 D 到 R 的一個映射（對應規(guī)則）f ，使得對于每個 xD，通過 f 可以確定唯一的數 y R 與之對應（如圖1-11），則稱 f 為定義在 D 上的一個函數，y 稱為 f 在 x 點處的函數值，記為 y = f (x) 圖圖 1-11 32 函數的這個定義是狄利克雷（函數的這個定義是狄利克雷（P.P. G.G.

15、 L.L. Dirichlet,Dirichlet, 18051859 18051859）于）于 1837 1837 年在他的一篇討論函數的文年在他的一篇討論函數的文 章中引進的章中引進的 33 函數概念的建立經歷了一個發(fā)展過程函數概念的建立經歷了一個發(fā)展過程, 在在17世紀世紀, 絕大部分函絕大部分函數是通過曲線引進和進行研究的數是通過曲線引進和進行研究的. 牛頓自牛頓自1665年開始研究微積年開始研究微積分后分后, 一直用一直用“流量流量”一詞表示變量或函數一詞表示變量或函數. 萊布尼茨在萊布尼茨在1673年的一篇手稿中用年的一篇手稿中用“函數函數”一詞表示任何一個隨著曲線上的點一詞表示任

16、何一個隨著曲線上的點變動而變動的量變動而變動的量. 他在他在1714年的著作年的著作歷史歷史中用中用“函數函數”表表示依賴于一個變量的量示依賴于一個變量的量. 作為變量作為變量 y 對變量對變量 x 的依賴關系的抽的依賴關系的抽象模型，記號象模型，記號f (x)是歐拉于是歐拉于1734年引進的，從此函數概念成為年引進的，從此函數概念成為微積分中的一個基本概念微積分中的一個基本概念. 1748年歐拉在他的年歐拉在他的無窮小分析引無窮小分析引論論中將中將 f (x)定義為一個變量與一些常量通過任何方式形成的定義為一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式解析表達式. 18世紀占統治地位的函數概

17、念仍然是：函數是由世紀占統治地位的函數概念仍然是：函數是由一個解析表達式一個解析表達式(有限的或無限的有限的或無限的(如級數如級數)所給出的隨著分所給出的隨著分析的發(fā)展，函數概念逐漸清晰，準確，概括而形成現在的形式析的發(fā)展，函數概念逐漸清晰，準確，概括而形成現在的形式. 34 函數 f 可以表示為f ：D R, x y通常簡單地表示為 y = f (x) ( x D ). x 稱為自變量, y 稱為因變量.y 與 x 的這種關系稱為函數關系. D 稱為函數 f 的定義域, 記為 D( f ) 或 Df 函數值的全體稱為 f 的值域，記為 R( f ) 或 Rf ，也可記為 f (D)，有時還用

18、 Z 表示，所以 R( f ) = f (D) = f (x) | xD 需要指出的是，嚴格地說，f 和 f (x) 的含義是不同的，f 表示從自變量 x 到因變量 y 的映射或對應規(guī)則，而 f (x) 則表示與自變量 x 對應的函數值，只是為了敘述的方便，常常用 f (x) (xD) 來表示函數為了減少記號，也常用 y = y(x) (xD) 表示函數，這時右邊的 y 表示對應規(guī)則，左邊的 y 表示與 x 對應的函數值 35 在數學中，通常用小寫或大寫的拉丁字母 f, g, h, , F, G, H, 和小寫或大寫的希臘字母, , 作為表示函數的記號 還須注意，在函數的定義中，對于每個 xD

19、( f )，對應的函數值 y = f (x) 是唯一的（因此，也稱為單值函數），而對于每個 yR( f )，以之作為函數值的自變量 x 不一定唯一 例如：y = x2 是定義在 R 上的一個函數，對于每個 x R，對應的函數值是 x2，它的值域是Z = y | y = x2, xR = y | y 0對于每個函數值 yZ, 對應的自變量有兩個, 即.xyxy 36 從定義可以看到，確定一個函數有兩個要素定義域和對應規(guī)則（即映射）如果有兩個函數 f 和 g，即 y = f (x) (xD1) 和 y = g(x) (xD2)，則 f 和 g 相同的充分必要條件是：它們的定義域 D1 和 D2 相

20、同，且對應于同一自變量 x 的函數值 f (x) 和 g(x) 相等，即f = g D( f ) = D(g)，且 f (x) = g(x) (xD( f ) 所以，y = f (x) (xD) 和 s = f (t) (tD) 是兩個相同的函數 又如：f (x) = 2 lg x, g(x) = lg x2（“l(fā)g” 表示以10為底的常用對數“l(fā)og10”). D( f ) = (0,), 而 D(g) = R0 = (,0)(0,),故 f g若僅限于在 (0,) 上討論，則 2 lg x = lg x2 (x 0), 即在 (0,) 上 f (x) = g(x) 37 在坐標平面上，函數

21、可以用一個圖形來表示 設有函數 y = f (x), xa, b對于每個 xa, b，可以確定 y 的一個值 f (x)，從而確定Oxy 平面上的一個點 P(x, f (x)，當 x 遍歷a, b中所有的值時, 點P 的軌跡 C = P(x, f (x) | xa,b稱為函數 y = f (x), xa,b的圖形（如圖 1-12） 對于一般的函數 y = f (x) (xD, D 不一定是一個區(qū)間)，其圖形為 C = P(x, f (x) | xD 圖圖 1-12 38 一般地說，一個函數確定一個圖形，反之，如果圖形上不同的點其橫坐標也不同（即任意兩點的連線不平行于y軸）, 則這個圖形也就確定

22、一個函數. 例例 3 設其圖形如圖 1-13 所示它確定了一個函數，稱為符號函數，其定義域為實數集 R，值域為1, 0, 1 1,0;sgn0,0;1,0.xyxxx 圖圖 1-13 39 例例 4 設對于每個 x 1, 1，它確定了一個值 與之相對應, 從而在1, 1上定義了一個函數，其值域為0, 1它的圖形是以原點 O 為中心、半徑為 1 的上半圓（如圖 1-14）21.yx21x 圖圖 1-14 40 函數的定義域是函數概念的一部分，給定了函數，自然也就給定了它的定義域但有兩種情況需作補充說明 如在例 1 中, 設質點落地的時刻為 T, 則 s 與 t 的函數關系是其定義域為0, T 又

23、如：圓面積 S 與其半徑 r 的函數關系是其定義域為 (0,+) 在實際問題中，有關函數的定義域由其自變量的實際允許變化范圍確定21,0, ,2sgttT2,(0,),Srr 41 另一種情況是，在數學中常常不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用某個具體算式表示的函數，這時認為它的定義域就是由所有使得算式有意義的實數組成的集合，它稱為該函數的自然定義域 例如：函數 的自然定義域是 R 1,1； y = loga(2x) 的自然定義域是 (, 2)； 的自然定義域是 x | | x | 2，即(,22,) 在給定了一個函數 f 的解析表示式后，若未說明其定義域 D( f )，則 D( f )就是

24、f 的自然定義域211yx24yx 42 1.2.2 1.2.2 函數的表示法函數的表示法 表示或確定函數的方法通常有三種: 圖像法, 表格法, 解析法. 1 1圖像法 例如：患者的心電圖顯示與其心臟有關的電流隨時間變動的函數，反映了患者的心率模式，醫(yī)生將患者的心電圖與健康人的正常心電圖作比較，可以了解其心臟的健康狀況這比用公式表示這個函數顯然方便實用在報刊上，也經常會看到用圖形顯示某種經濟指標隨年份變化的情況 這種表示法的優(yōu)點是：形象、鮮明、具體，給人以一目了然之感年份年份/ /年年198019811982198319841985人口人口/ /百萬百萬37.1839.0340.8042.57

25、44.3646.39 43 2表格法 例如：某國 19801985 年人口估計數字如下表：它反映了該國人口與年份的函數關系 這種表示法的優(yōu)點是：與自變量的取值所對應的函數值不需計算，只要查表即可得到 44 3解析法 如初等數學中的正弦函數 y = sin x (x R)，對數函數 y = logax (x 0) 等，都是用解析法表示函數的例子這種用解析表達式表示函數的方法是本課程中用得最多的函數表示形式. 在有些情況下一個函數不能用一個解析式表示. 如例 3 中的符號函數 sgn x, 要對自變量的3個取值范圍分別用 3 個不同的表示式表示. 又如絕對值函數 y = | x |, 它的定義域是

26、 (,), 但在(, 0) 和0,) 上需依次用不同的表示式 y = x 和 y = x 表示, 其圖形如圖 1-15這類函數稱為分段函數 圖圖 1-15 45 例例 5 稿酬所得稅 T 與稿酬收入 x 之間有如下關系：這是一個分段函數，其定義域為800, +) 又如郵資的計費辦法、個人所得稅的收取辦法等用的都是分段函數 (800) 20% (1 30%),800;( )(1 20%) 20% (1 30%),4 000.xxTT xxx 4 000 46 3) 求自變量，例如說為 x0 的函數值時，先要看 x0 屬于哪一個表示式的定義域，然后按此表示式計算 x0 所對應的函數值 對于分段函數

27、需要注意： 1) 雖然在自變量的不同變化范圍內計算函數值的算式不同,但定義的是一個函數； 2) 它的定義域是各個表示式的定義域的并集； 47 例例 6 設其定義域 D( f ) =2, 0)0(0, 3) =2, 3) 當 x = 1 時, 由于12, 0)，此時 f (x) = x1, 故 f (1) = 11 = 0 當 x = 2 時，由于 2(0, 3)，此時 f (x) = 3x，故 f (2) = 32 = 1 y = f (x) 的圖形如圖 1-161,2;( )0,0;3,03.xxf xxxx0 圖圖 1-16 48 1.2.3 1.2.3 函數的運算函數的運算 函數可以作四

28、則運算設函數 f, g 為 y = f (x), xD1 和 y = g(x), xD2，且 D = D1D2 ，則定義函數 f, g 的和 f g、差 f g、積 fg、商 為如下的函數：( f g)(x) = f (x)g(x), xD； ( fg)(x) = f (x)g(x), xD； 在實際應用中，常常不用抽象的函數記號，而直接依次表示為 y = f (x)g(x), xD; y = f (x)g(x), xD;fg( )( ), |,( )0.( )ff xxxx xDg xgg x( ), |,( )0.( )f xyxx xDg xg x 49 例例 7 設函數 y = f (

29、x) 的定義域為0, 3a(a 0)，求函數g(x) = f (xa) f (2x3a)的定義域 解 設 u = xa，v = 2x3a，則 f (xa) = f (u), f (2x3a) = f (v)，因 D( f ) =0, 3a，所以應有 1) 0 u 3a，即 0 xa 3a，從而 a x 2a； 2) 0 v 3a，即 0 2x3a 3a，從而由此，函數 f ( xa ) 的定義域為 D1 =a, 2a, f ( 2x3a ) 的定義域為 因此 g(x) 的定義域為1233( ),2 ,3,2.22D gDDaaaaaa II33 .2axa 23,32Daa 50 以后經常會用

30、到函數的下列基本性質：有界性，單調性，奇偶性，周期性 但要注意，并非所有函數都具有這些特性，具有某個特性的函數是一種特殊的函數類 51 1有界性 給定函數 y = f (x), xD設區(qū)間 I D如果 常數 M 0 使得| f (x) | M (xI )，則稱函數 f (x) 在區(qū)間 I 上有界 顯然，如果 f (x) 在 I 上有界，則使上述不等式成立的常數 M 不是唯一的，如 M1, 2M 等均可 有界性體現在常數 M 的存在性如果這樣的 M 不存在，則稱 f (x) 在 I 上無界；換言之，即對于任意一個正數 M（不論多么大），若總有 xI 使得 | f (x) | M，則 f (x)

31、在 I 上無界 52 函數的有界性還可以等價地表述為： 如果 常數 M1, M2 使得M1 f (x) M2 (xI )，則 f (x) 在 I 上有界，M1 稱為 f (x) 在 I 上的下界，M2 稱為上界. 同上，若 f (x) 在 I 上有界，則其上、下界不是唯一的 53 若函數 y = f (x)在a, b上有界，則其圖形 C：y = f (x) ( xa,b) 介于兩水平直線 y = M1，y = M2 之間（如圖 1-17） 無界函數可能有上界而無下界，也可能有下界而無上界，或既無上界又無下界函數 f (x) 的有界性與討論的區(qū)間 I 有關 圖圖 1-17 54 例例 1 函數

32、y = lg(x1) 在其上有界的區(qū)間是（ ） A(1, 2) B(2, 3) C(1,) D(2,) 解 函數 y = lg(x1) 的圖形如圖 1-18 所示 由于對數 lg N 當 N 無限增大時，也無限增大，而當 N 0 且無限趨近于 0 時, lg N 無限減小，即可以比任何負數都小，故 lg(x1) 在 (1, 2), (1,), (2,) 上都無界. 在(2, 3)上，因有 0 lg(x1) lg 2 (x(2, 3)，故 lg(x1) 在 (2, 3) 上有界，正確答案是 B 圖圖 1-18 55 2單調性 給定函數 y = f (x), xD，設區(qū)間 I D若有f (x1)

33、f (x2), x1, x2 I, x1 f (x2), x1, x2 I, x1 x2 ，則稱 f (x) 在 I 上單調減少（簡稱遞減），如圖 1-19 (b) 所示 圖圖 1-19 56 所以，在區(qū)間 I 上，若函數值 f (x) 隨 x 的增加而增大 (減小),則 f (x) 在 I 上是遞增（遞減）的，有時形象地用 ( ) 表示 單調增加函數和單調減少函數總稱為單調函數，函數的這種性質叫單調性. 57 例如：函數 y = x2 的圖形是拋物線 (如圖 1-20), 它在 (0,) 上單調增加，在 (, 0) 上單調減少，但在其定義域 R 上不單調又如函數 y = x3,其圖形稱為立方

34、拋物線（如圖 1-21），它在其定義域 R 上是單調增加的 圖圖 1-20 圖1-21 58 例 1 中的函數 y = lg(x1)，在其定義域 (1,) 上是單調增加的，由此可知，若 (a, b) (1,)，則有l(wèi)g(a1) lg(x1) lg(b1) (a x 0，使得f (xt) = f (x) (x R)，則稱 f (x) 為周期函數，t 是它的周期 通常所說周期函數的周期是指它的最小正周期 T，即 T = min t | f (xt) = f (x) (x R), t 0，且 T 0 如 sin x, cos x 都是周期為 2的周期函數, tan x 的周期是. 函數 |sin x

35、| 的周期為, 因為 | sin(x)| = |sin x | = | sin x |. 函數cos(3x5)的周期是 ，因為若 t 0，使得cos(3(xt)5) = cos(3x53t) = cos(3x5) (x R)，則最小的 t 應滿足3t = 2，即232.3t 63 周期函數 f (x) 的圖形具有周期性，若其周期為 T，則 f (x) 在區(qū)間a, aT ) 上的圖形應與在區(qū)間akT, a (k1)T ) (k Z) 上的圖形相同，所以只要將a, aT上的圖形向左、右無限復制，即可得到 f (x) 的整個圖形正弦曲線即是其例 注意，并非任意周期函數都有最小正周期 例例 5 狄利克

36、雷函數即當 x 為有理數時 D (x) = 1，當 x 是無理數時 D (x) = 0D (x) 是一個周期函數, 任何正有理數 r 都是它的周期，但 minr | r Q, r 0 不存在，故 D(x) 無最小正周期 1,;( )0,xD xxQRQ 64 本節(jié)介紹反函數的基本概念, 并討論什么情況下函數 y = f (x) (xDf ) 有反函數，以及反函數存在時如何計算等問題.1(,).ffffxyxDyR 65 設函數 y = f (x) 的定義域是 Df , 值域是 Rf , 即 f : x y = f (x)Rf (xDf ).將 f 的自變量和因變量的 “角色” 對調，即將 yR

37、f 作為自變量，如果對每個 yRf ，在 Df 中只有唯一的 x 使得 f (x) = y，則將 y 變成 x 的映射 就確定了一個新的函數，即：y x =(y)Df ( yRf )新函數 x =( y) ( yRf ) 稱為函數 y = f (x) (xDf ) 的反函數這時，原來的函數 y = f (x) (xDf ) 稱為直接函數 函數 由函數 f 完全確定，因此，通常將 寫成 f 1. 所以f 和 f 1 在數集 Df 和 Rf 之間建立了一 一對應關系 66 習慣上，總是將自變量用 x，因變量用 y 表示，所以 y = f (x) (xDf ) 的反函數通常寫成 y = f 1(x)

38、 (xRf ) 由反函數的定義可知：反函數 f 1(x) 的定義域 Df 1 是直接函數 f (x) 的值域 Rf ，反函數 f 1(x) 的值域 Rf 1 是直接函數 f (x) 的定義域 Df ，即Df 1 = Rf , Rf 1 = Df 這里，自然會提出一個問題：在什么條件下 y = f (x) (xDf ) 有反函數? 67 假若 y = f (x) 在其定義域 Df 上是單調的，則有f (x1) = f (x2) x1 = x2 (x1, x2Df )所以，對每個 yRf ，只能有一個 xDf 使得 y = f (x)，從而可以如上確定新函數 x =( y) 因此，單調函數必有反函

39、數但反之不然，即有反函數的函數不一定是單調的 一般地說，并非每個函數都可以唯一確定一個反函數 68 例例 1 設 y = x2 (x R).它在定義域 R 上不單調，對于給定的 y 0，有兩個 x 與之對應,即 所以不能確定一個反函數 但在 (, 0) 上 y = x2 單調減少，在 (0,) 上 y = x2 單調增加，它們分別表示拋物線 y = x2 的左、右半支，所以 y = x2 (x (, 0) 有反函數 (x (0,)； y = x2 (x (0,) 有反函數 (x (0,)xy yx yx 69 例例 2 求函數 (x R, a 0, a 1) 的反函數. 解 函數 (a 1)

40、的圖形如圖 1-24 所示 由函數式得 axax2y = 0,即 (ax)22yax1 = 0對 ax 配方，得 (axy)2 = 1 y2，由于 ax 0 (x R)，而 所以，所求的反函數為1()2xxyaa1()2xxyaa221,1.xxayyayy 所以即221,log (1).xaayyxyy故即210,yy2log (1) ().ayxxxR 圖圖 1-24 70 若 y = f (x) (xD) 的反函數是 y = f 1(x) (xRf )，則后者的圖形可由前者的圖形得到 事實上，設 C：y = f (x) (xD)， C1：x = f 1( y) ( yRf )， C2：y

41、 = f 1(x) (xRf )，由于 y = f (x), x = f 1(y)，故 (x, f (x) 與 ( f 1(y), y) 是同一個點，所以 C 與C1是同一個圖形而點 (x, y) 與點 ( y, x) 關于直線 y = x 對稱，故 C2 與 C1 關于 y = x 對稱，從而 C2 與 C 關于直線 y = x 對稱, 如圖 1-25 圖圖 1-25 71 例例 3 y = 2x (x R) 與 y = log2x (x 0) 互為反函數，其圖形如圖 1-26 所示 圖圖 1-26 72 例例 4 求函數 的反函數 解 求分段函數的反函數，只要分別求出各區(qū)間段上函數的值域及

42、其反函數即可 由 y = x (x 1) 可知其值域為 y 1，反函數為 x = y; 而 y = x2 (1 x 4) 的值域為 1 y 16, 反函數為 又 y = 2x (4 x) 的值域為 16 0)，此時y =(x) = (lg x)2 (x 0)可見復合函數 y =(x) 有意義 79 還可以考慮多個函數的復合 例例 4 設 y = u2, u = sin v, v = lg x，則這三個函數的復合為y = (sin v)2 = (sin lg x)2 例例 5 函數 可看成下列函數的復合，其中 u, v, w 是中間變量 例 5 中將一個復合函數 “拆成” (或 “分解成” )

43、多個簡單函數的復合，在第三章函數的導數計算中是十分重要的2lgsinyx2,lg ,sin ,yuuvvwwx 80 例例 6 設 解 引進中間變量 ，則 函數 可以看成兩個函數 f (t) 和 的復合 將 代入 sin x，即得再將代表自變量的文字 t 改成 x，即得 11sin ,( ).fxf xx 求11tx11xt11fx11tx11xt11( )1sinsin.1f tfxxt1( )sin.1f xx 81 1.6.11.6.2基本初等函數基本初等函數初等函數初等函數 82 初等數學中已經在不同程度上講過幾種基本的函數冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數，它們連同最簡

44、單的函數常數，總稱為基本初等函數，微積分中常見的函數都是由這些函數構成的為了便于以后運用，下面做簡要復習. 83 1.6.1 1.6.1 基本初等函數基本初等函數 1常數函數y = c（常數）, x R,即對任意實數 x，對應的函數值是一個定數 cy = c 的圖形是一條經過點 (0, c) 的水平直線 2冪函數y = x （ R，是一常數）,對于任意的方冪， x 在 (0, + ) 上都有定義；對不同的，x的定義域則有所不同x2 的定義域是 R， 的定義域是0, +)，而 的定義域則是 (0, +)12xx121xx 84 y = x3 , 的圖形如圖 1-28 (a). 的圖形如圖 1-2

45、8 (b). y = x2 ,的圖形如圖 1-28 (c) 在 (0, +)上, 對的不同情況，y = x的圖形大致如圖 1-28 (d).133yxx11yxx2323yxx 圖圖 1-28 85 3指數函數y = ax (a 0, a 1), x(, +),當 0 a 1 時，ax 是單調增加函數，y = ax 的圖形如圖 1-29 圖圖 1-29 86 4對數函數y = logax (a 0, a 1), x (0, +)，它是指數函數 y = ax 的反函數當 0 a 1 時, logax 是單調增加的，y = logax 的圖形如圖 1-30 以 10 為底的對數 log10 x 稱

46、為常用對數，通常記為 lg x，即 log10 x = lg x 圖圖 1-30 87 5三角函數 三角函數有 6 種，它們是 正弦函數 y = sin x, x R; 余弦函數 y = cos x, x R； 正切函數 y = tan x, 余切函數 y = cot x, x R n| n Z ； 正割函數 y = sec x, 余割函數 y = csc x, x R n| n Z .1;2xnnRZ1;2xnnRZ 88 y = sin x 和 y = cos x 的圖形如圖 1-31，y = tan x 和 y = cot x 的圖形如圖 1-32 在微積分中, 三角函數的自變量 x 表

47、示弧度而不是度. 1= 弧度 = 0.017 453 292 弧度, 1 弧度 = = 57.295 779 5 圖圖 1-31 圖圖 1-32 180180 89 6反三角函數 常用的反三角函數有： 反正弦函數 y = arcsin x, x1, 1； 反余弦函數 y = arccos x, x1, 1； 反正切函數 y = arctan x, x(, +)； 反余切函數 y = arccot x, x(, +) 它們依次是函數 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x 在某些區(qū)間上的反函數 這些三角函數在它們的定義域上均不單調， 為了使它們能夠確

48、定反函數，必須考慮它們的單調區(qū)間 90 y = sin x 在 上, y = cos x 在0,上, y = tan x 在 上，y = cot x 在 (0,) 上都是單調的，在這些區(qū)間上，它們的反函數完全確定 注意反函數的定義域（值域）是直接函數的值域（定義域），由此得到上述 4 個反三角函數的值域： y = arcsin x 的值域是 ； y = arccos x 的值域是0,； y = arctan x 的值域是 ； y = arccot x 的值域是 (0,) ,2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 2 這些值域通常稱為相應反三角函數的主值范圍15arcsin, arccos, arct

49、an1,26264arccot(3).6 91 例如： 反三角函數的圖形分別如圖 1-33 (a), (b) 所示 圖圖 1-33 92 對于上述基本初等函數，要熟悉它們的圖形，并從圖形認知它們的基本特征 如：y = x3 是奇函數，在0, 1上有界，在0, +）上無界，在其定義域上是單調增加的； y = logax 當 a 1 時是單調增加的，當 0 a 0，則函數 y = (f (x)g(x)也是一初等函數 因為若設 a 1 是任一正數，由 有 可以看成下列 4 個初等函數y = au, u = g(x)v, v = logaw, w = f (x)的復合，故 y = ( f (x)g(x

50、) 也是初等函數，它通常稱為冪指函數log( )( )log( )( )( )( ( )().aaf xg xf xg xg xyf xaalog( )( ),af xf xa( )log( )ag xf xya 95 1.7.11.7.2簡單函數關系的建立簡單函數關系的建立經濟學中幾種常見的函數經濟學中幾種常見的函數 96 數學的一項重要任務是要對討論的實際問題尋求其中蘊含的函數關系，亦即將問題中所關心的變量之間的依賴關系用數學公式表示出來，這就是所謂建立數學模型有了數學公式或模型，就可以用各種數學方法對它進行研究，獲得解決問題的途徑 尋求函數關系，是一個綜合性的課題，常常需要多方面的知識，

51、下面略舉數例示意 97 1.7.1 1.7.1 簡單函數關系的建立簡單函數關系的建立 例例 1 求橢圓 的任意內接長方形的面積 解 如圖 1-34, 設長方形在第一象限中的頂點為 P(x, y)，則長方形的面積為 A = (2x)(2y) = 4xy. 由于點 P 在橢圓上，其坐標應滿足橢圓方程 ，即 （因 y 0），所以22221xyab22221xyab22byaxa2244(0).bAxyx axxaa 圖圖 1-34 98 例例 2 求球的任意內接圓錐體的體積 解 這個立體圖形經過圓錐體對稱軸的一個截面如圖 1-35 所示，圓錐體的對稱軸經過球心 O，設球的半徑為 R，圓錐體的底半徑為

52、 r，高為 h，記 OC = x，則 OA = OB = R, AC = h = R x, BC = r,所以 R2 = r2 x2從而圓錐體的體積 圖圖 1-35 222131()()(0).3Vr hRxRxxR 99 例例 3 一密閉容器，其下部為圓柱形，上部呈半球形，容積 V 是一定數，求容器的表面積與圓柱半徑之間的關系 解 如圖 1-36，設圓柱的半徑為 r，高為 h，則容器的表面積為 S = 圓柱底面積圓柱側面積半球面積 = r22rh2r2 = 3r22rh而 所以 圖圖 1-36 232.3Vr hr 32122,33VrhVrrrr2222532(0).33VVSrrrrrr

53、 100 例例 4 一房地產公司有 100 套公寓房出租，當租金定為每套每月 800 元時，房屋可全部租出，當租金每套每月每提高 50 元時就有一套租不出去，而租出的每套房公司每月需付 20 元的維修費，試求房租與房地產公司的總收入之間的關系 解 設每套公寓房的月租金為 x 元，公司的總收入為 R 元，則公司出租公寓的套數為 ，從而公司的總收入80010050 x8005800(20) 100(20)50501(20)(5800)(205800).50 xxRxxxxx 101 1.7.2 1.7.2 經濟學中幾種常見的函數經濟學中幾種常見的函數 1需求函數和供給函數 一種商品的市場需求量和市

54、場供給量與產品價格有密切關系.一般地說，降價會使需求量上升，供給量下降；反之，提價會使需求量下降，供給量上升 設 P 表示商品價格, 市場需求量和供給量依次用 D 和 S 表示,若忽略市場其他因素的影響，則 D 和 S 均是 P 的函數，即有D = D(P) 和 S = S(P)D(P) 稱為需求函數, S(P) 稱為供給函數在一般情況下，D(P)是單調減少函數，S(P) 是單調增加函數有時也將 D(P) 的反函數 P = P(D) 稱為需求函數. 102 假若市場上某種商品的供給量與需求量相等，即該商品的供需達到平衡，則此時的商品價格稱為均衡價格，并用 P0 表示，如圖 1-37，縱軸 Q

55、為商品量，D = D(P) 表示需求曲線，S = S(P) 表示供給曲線，它們交點的橫坐標即為 P0 圖圖 1-37 103 最簡單的供給函數是如下的線性函數：S = aPb (a, b 0)，其反函數為 , 可見, 價格的最低限為 , 只有當時生產廠家才會提供該種商品 常用的另一種供給函數是此式表示，當 S = 0 時 ，即該商品的最低價格為 ，只有當 時廠家才會生產當 P 無限上升時，S 接近于 ，即該商品的飽和供給量為 .1bPSaababPa( , , ,0).aPbSa b c dcPdbPababPaacac 104 常用的需求函數有以下幾種形式：D = aebP (a, b 0，

56、e 是一常數，見 2.6節(jié) ) 不難求出它們的反函數作為另一種表示方式的需求函數 2( ,0),( ,0),( ,0),DabPa baPDa bbaPDa bb 105 2總成本函數、總收益函數和總利潤函數 在生產和經營活動中經營者最關心產品的成本、銷售收入（或收益）和利潤產品的總成本是指生產和經營產品的總投入,總收益是指產品出售后所得到的收入，總利潤則為總收益減去總成本和上繳稅金后的余額 通常以 C 表示成本，R 表示收益，L 表示利潤，它們都稱為經濟變量. 若以 x 表示產量或銷售量，在不計市場其他因素影響的情況下，C, R, L 都可簡單地看成 x 的函數，C(x) 稱總成本函數，R(x)稱總收益函數，L(x) 稱總利潤函數以下總假定產銷是平衡的為了簡單起見，若無特別說明，在計算總利潤函數時不計上繳稅金 106 一般地，總成本 C 由固定成本 C0 和可變成本 C1 兩部分構成，C0 是一個常數，與 x 無關，C1 是 x 的函數，所以C(x) = C0C1(x)，它是 x 的單調增加函數C1(0) = 0，即 C0 = C(0) 若產品的銷售單價為 P，則 R(x