線代線性相關(guān)與線性無關(guān)

1、一、向量一、向量 向量組與矩陣向量組與矩陣二、線性表示的概念及判定二、線性表示的概念及判定三、線性相關(guān)性的概念及判定三、線性相關(guān)性的概念及判定四、線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論四、線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論4.2 4.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān) 若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組所組成的集合叫做向量組例如例如維列向量維列向量個(gè)個(gè)有有矩陣矩陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量組的列向量組稱為矩陣稱為矩陣向量組向量組Aa1a2an一、向量、向量組與

2、矩陣一、向量、向量組與矩陣a2ajana1a2ajan維行向量維行向量個(gè)個(gè)又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣成一個(gè)矩陣.12 n,nm n 個(gè)m維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣矩陣矩陣構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個(gè)個(gè)nmnmTmTT ,21 TmTTB 2

3、1 12 (,)nA 線性方程組線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb當(dāng)時(shí)，稱為齊次線性方程組當(dāng)不全為零時(shí)，稱為非齊次線性方程組021 mbbbmbbb,21b xaxaxann2211線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，組實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)，對(duì)于任何一，對(duì)于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義

4、., 21個(gè)線性組合的系數(shù)個(gè)線性組合的系數(shù)稱為這稱為這，mkkk，稱為向量組的一個(gè)稱為向量組的一個(gè)向量向量 2211mmkkk 線性組合線性組合二、線性表示的概念及判定二、線性表示的概念及判定121211221212.mmmmmmn 對(duì)于 維行（列）向量， ， ，如果存在一組數(shù) ， ， ，使得則稱向量是向量組， ，的一個(gè)線性組合，或稱向量 能由向量組， ，線性表示（線義性表出）定定2 21、如果 可以由 線性表示，則稱 與 成比例。1212122,(0,0,1,0,0),1,2, ;( ,),.ninnninnb bb 、已知 維單位向量其中任一 維向量能由線性表示維維基基本本向向量量n121

5、1223 .mmmxxxb、判斷 能否由向量組， ，線性表示 非齊次線性方程組 是否有解12121122 :, 0mmmmAkkkkkk不不全全 為為給給 定定 向向 量量 組組如如 果果 存存 在在使使零零 的的 數(shù)數(shù)注意注意1211122 1. ,0, 0.nnnn 若線性無關(guān) 則只有當(dāng)時(shí) 才有成立 2. ,.對(duì)于任一向量組 不是線性無關(guān)就是線性相關(guān)定義定義3 3三、線性相關(guān)性的概念及判定三、線性相關(guān)性的概念及判定則稱向量組則稱向量組 是是線性相關(guān)的，線性相關(guān)的，否則稱它否則稱它線性無關(guān)線性無關(guān)A., 0, 0, 3. 線線性性無無關(guān)關(guān)則則說說若若線線性性相相關(guān)關(guān)則則說說若若時(shí)時(shí)向向量量組

6、組只只包包含含一一個(gè)個(gè)向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 5.,.對(duì)兩個(gè)組線關(guān)條兩對(duì)應(yīng)于含有向量的向量它性相的充要件是向量的分量成比例.,. 621一一定定線線性性無無關(guān)關(guān)維維基基本本向向量量nn 123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6).判別向量組的線1：性相關(guān)性例1211220mmmxxx 判斷， ，是否線性相關(guān)僅有零解僅有零解線性無關(guān)有非零解線性相關(guān)123112223331123 , , .bbbb b b 已已知知向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)試試證證線線性性無無關(guān)關(guān) 例例2 20 ,332211321bxbxbxxxx使設(shè)

7、有, 0)()(133322211 xxx）（即即 , 0)()()332221131 xxxxxx （亦即亦即線線性性無無關(guān)關(guān)，故故有有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行. 線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解321321,0bbbxxx 定理定理1 1向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時(shí)）線性相關(guān)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向中至少有一個(gè)向量可由其余量可由其余 個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分

8、性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個(gè)向量（比如中有一個(gè)向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.m ,21m 即有即有112211 mmm 四、線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論四、線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論故故 01112211 mmm 因因 這這 個(gè)數(shù)不全為個(gè)數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個(gè)不為中至少有一個(gè)不為0，mkkk,21不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線

9、性表示.1 證畢證畢.定理定理 2 2向量組向量組 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量 必能由向量組必能由向量組 線性表示，且表示式是唯一的線性表示，且表示式是唯一的. .m ,21m ,21 ,21m 向量組中一部分向量構(gòu)成的向量組，稱為該向量組的子向量組子向量組.定理定理 3 3 中中，若若存存在在某某子子向向量量組組維維向向量量組組在在mn ,21反反之之，一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性相相關(guān)關(guān)，則則向向量量組組.,21m 子子向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，則則它它的的任任意意若若向向量量組組m ,21.都都線線性性無無關(guān)關(guān)定理定理 4 4 )(,2

10、1snsnnm 同同時(shí)時(shí)去去掉掉相相應(yīng)應(yīng)的的維維向向量量組組 ，其其中中維維數(shù)數(shù)向向量量組組個(gè)個(gè)分分量量后后得得ms ,21則則,2 , 1,2121mjaaaaaasjjjjnjjjj .,)2(2121也也一一定定線線性性無無關(guān)關(guān)線線性性無無關(guān)關(guān)，則則若若mm ;,)1(2121也也一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性相相關(guān)關(guān)，則則若若mm . 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用

11、；在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)重點(diǎn)）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，四個(gè)定理四個(gè)定理（難點(diǎn)難點(diǎn)）五、小結(jié)五、小結(jié)作業(yè)：作業(yè)：P113 1, 3（1）題型題型 向量組的線性相關(guān)性的判斷向量組的線性相關(guān)性的判斷方法一方法一 利用定義或結(jié)論判別利用定義或結(jié)論判別（1）兩向量線性相關(guān)的充要條件是其分量成比例）兩向量線性相關(guān)的充要條件是其分量成比例（2）單獨(dú)一個(gè)零向量組成的向量組線性相關(guān)；含）單獨(dú)一個(gè)零向量組成的向量組線性相關(guān)；含 有零向量的向量組必線性相關(guān)有零向量的向量組必線性相關(guān)（3）向量組線性無關(guān)，則該向量組的任何部分）向量組線性無關(guān)，則該向量組的任何部

12、分向量組必線性無關(guān)；向量組的部分向量組線性相向量組必線性無關(guān)；向量組的部分向量組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。（4）一向量組線性無關(guān)，則在相同位置增加相同個(gè)數(shù)的）一向量組線性無關(guān)，則在相同位置增加相同個(gè)數(shù)的分量所得的向量組必線性無關(guān)；一向量組線性相關(guān)，則在分量所得的向量組必線性無關(guān)；一向量組線性相關(guān)，則在相同位置上去掉相同個(gè)數(shù)的分量所得的向量組仍線性相關(guān)相同位置上去掉相同個(gè)數(shù)的分量所得的向量組仍線性相關(guān)。（5）任意）任意n+1個(gè)個(gè)n維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān)方法二方法二 1122121 111 2212 112 22211220(,),000mmiiim immmmnnn mmxxxaaaaxaxaxaxaxaxaxaxax設(shè)其 中得 到12m 若給方程組有非零解，則向量組， ，線性相關(guān)；若只有零解，則線性無關(guān)。題型題型 判斷向量能否由向量組線性表出判斷向量能否由向量組線性表出112212 ,tttxxxx xx 方法一先根據(jù)定義設(shè) =由向量相等的關(guān)系，寫出以為未知元的非齊次線性方程組。然后求解該方程組。如果有解就能線性表出，如果無解就