第十章第二節(jié)典型一階微分方程

1、 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程微分方程. . 微分方程中未知函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程中未知函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分微分方程的階。方程的階。、微分方程、微分方程、 微分方程的階微分方程的階2 2、線性微分方程與非線性微分方程、線性微分方程與非線性微分方程如果微分方程中所含的未知函數(shù)及未知函數(shù)的如果微分方程中所含的未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是各階導(dǎo)數(shù)都是一次一次的，稱為的，稱為線性微分方程線性微分方程。不是線性方程的微分方程，稱為不是線性方程的微分方程，稱為非線性微分方程非線性微分方程。一、

2、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念復(fù)習(xí)3 3、微分方程的解、通解、特解、微分方程的解、通解、特解如果把一個函數(shù)代入微分方程后，如果把一個函數(shù)代入微分方程后，使微分使微分方程成為恒等式，方程成為恒等式， 則稱此函數(shù)為則稱此函數(shù)為微分方程的解微分方程的解. . 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有獨立獨立的任意常數(shù)的任意常數(shù), ,通解通解: :且任意常數(shù)的且任意常數(shù)的個數(shù)個數(shù)與微分方程的與微分方程的階數(shù)相同，階數(shù)相同， 則稱這樣則稱這樣的解為微分方程的通解。的解為微分方程的通解?；虼_定了通解中任意常數(shù)以后的解或確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .特解特解: :把微分方程中不含任意常數(shù)的解，

3、把微分方程中不含任意常數(shù)的解， 稱為微分稱為微分方程的特解。方程的特解。復(fù)習(xí)解解: : 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 根據(jù)微分方程本身的特點，一階微分方程可分為以根據(jù)微分方程本身的特點，一階微分方程可分為以下幾種下幾種基本類型基本類型：1. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2. 齊次微分方程齊次微分方程4. 一階線性微分方程一階線性微分方程5. 貝努利微分方程貝努利微分方程 一階微分方程的基本類型要熟練掌握，一階微分方程的基本類型要熟練掌握，其它其它類型的類型的一階方程往往可以一階方程往往可以通過變量代換通過變量代換或或交換交換x、y的位置的位置化為化為基本類型解決?；绢愋?/p>

4、解決。主主要要研研究究 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 3. 可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程6. 全微分方程全微分方程一階微分方程的一階微分方程的初值問題初值問題為為 000),(yyyyxFxx一階微分方程的基本形式為一階微分方程的基本形式為 0)( x,y,yF ),(yxfy 或或 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 )()( dxxNdyyM 或或微分方程的初等解法微分方程的初等解法: :求解微分方程求積分(通解可用通解可用初等函數(shù)初等函數(shù)或或積分積分表示表示) )初等積分法 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 dxxfdyyg)()( 例例dxxdyy254

5、2 1、定義：、定義：形如形如的一階微分方程，的一階微分方程， 稱為稱為已分離變量的微分方程已分離變量的微分方程. .形如形如)()(ygxfy 的一階微分方程，的一階微分方程， 稱為稱為可可分離變量的微分方程分離變量的微分方程. .（1）（2）5422yxdxdy 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程 )( )(dd ygxfxy 或或 方程的主要特征：方程的主要特征：可分解成可分解成變量變量 x 的函數(shù)與變量的函數(shù)與變量 y 的函數(shù)之積的函數(shù)之積.等式左端為一階導(dǎo)數(shù)，等式左端為一階導(dǎo)數(shù)，等式右端等式右端 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 2、解法、解法 dxxfdyyg)

6、()(1CxFyG )()(則則為微分方程（為微分方程（2 2）的通解）的通解分離變量分離變量（分離變量法）（分離變量法）, 0)( yg且且)()(ygxfdxdy 方方程程對對于于可可分分離離變變量量的的微微分分（2）則由（則由（2 2）可得，）可得，dxxfdyyg)()(1 兩端積分得，兩端積分得，,0)(0 yg若若.)2(0)(0的的解解也也是是方方程程的的根根則則yyyg ,)()(1的的原原函函數(shù)數(shù)和和xfyg(隱式通解隱式通解）.一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程分分離離變變量量法法兩邊積分兩邊積分分離變量分離變量 )( )(dd ygxfxy dxxfdyyg

7、)()(1 dxxfdyyg)()(1積分得通解積分得通解CxFyG )()(一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程.2dd的的通通解解求求微微分分方方程程xyxy 兩兩端端同同時時積積分分，得得12|ln Cxy 原原方方程程分分離離變變量量得得解解,ee 21xCy 即即2e xCy 則則有有通通解解1eCC 若記若記，xxyyd2d ， xxyyd2d，即即2112eee| xCCxy 在上述求解過程中，為了書寫方便，在上述求解過程中，為了書寫方便，,|ln12中中Cxy 可以忽略絕對值，可以忽略絕對值，用用并并且且將將1C 在在等等式式代替。代替。Cxylnln2 Cxyln

8、2e .0 的的討討論論有有時時也也可可忽忽略略對對 y可通過擴(kuò)大任意可通過擴(kuò)大任意,C 的的取取值值范范圍圍常常數(shù)數(shù)則失去的解仍包含通解中。則失去的解仍包含通解中。（C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）.Cln例例1一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程得得的的各各項項及及先先合合并并,dydxdxydyxy)1()1(2 dxxdyyy1112 12ln)1ln()1ln(21Cxy 則原方程的通解為則原方程的通解為解解分離變量得分離變量得于是于是2212)1(1 xCy,21CC 記記22) 1(1 xCy兩端積分兩端積分dxxdyyy 1112.2通通解解的的求求方方程程ydydxyx

9、ydydx （C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）.例例2一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程 .0d)1(d)1( 22的的通通解解求求微微分分方方程程 yyxxyx例例3xxxyyyd1d122 解解兩兩端端積積分分， 積積分分后后得得 化化簡簡得得將方程變形分離變量得將方程變形分離變量得，有有 xxxyyyd1d1 22，Cxyln21)1ln(21)1ln(21 22 )1(122xCy （C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）.一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程例例4 求解微分方程求解微分方程 .3122yyxy dxxdyyy22311 Solution: 分離變量得分離變量得

10、兩邊積分兩邊積分 dxxdyyy22311從而從而Cxy 3112).C( 是任意常數(shù)是任意常數(shù).60dcos)1(dsin2 12的的特特解解初初值值條條件件滿滿足足求求微微分分方方程程 xyyyxxyx例例5一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程.60dcos)1(dsin2 12的的特特解解初初值值條條件件滿滿足足求求微微分分方方程程 xyyyxxyx例例5 由由原原方方程程分分離離變變量量得得解解兩兩端端積積分分， 積積分分得得 方程的通解為方程的通解為,61代代入入通通解解中中把把初初值值條條件件 xy. 1sin)1( 2 yx，xxxyyyd12dsincos 2 xx

11、xyyyd12dsincos 2有有) 0( ln) 1ln(sinln2 CCxy).( sin)1(2是任意常數(shù)是任意常數(shù)CCyx ，得得1 C 為為于于是是，所所求求方方程程的的特特解解一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程由題設(shè)條件由題設(shè)條件ddMtM dd ,MtM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律,dMdt衰變速度衰變速度),0(衰變系數(shù)衰變系數(shù) M,dtdM解解一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程二、齊次微分方程二、齊次微分方程形如形如 xyfdxdy微分方程的右端為齊次函數(shù)微分方程的

12、右端為齊次函數(shù). .若若 這里這里t為任意為任意),(),(yxFttytxFn 則稱則稱 為齊次函數(shù)）為齊次函數(shù)） ),(yxF例例 下列方程為齊次微分方程下列方程為齊次微分方程.,22xxyydxdy ,tan3xyxydxdy 定義定義稱為稱為齊次微分方程齊次微分方程. .實數(shù)，實數(shù)，（齊次函數(shù)齊次函數(shù)是指：是指：齊次微分方程的齊次微分方程的特點特點：)(yxy 或或的的微分方程，微分方程， . 03)(233 dyxydxyx 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 ),(ufdxduxu xuufdxdu )(可分離變量的方程可分離變量的方程(化為化為可分離變量的微分方程可分離變量的

13、微分方程)（4）齊次微分方程的解法對齊次微分方程對齊次微分方程,xyu ,xuy 即即作變量代作變量代換換, xyfdxdy兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得dxduxudxdy 將其代入原方程，將其代入原方程，得得(變量替換法),)( xdxuufdu積積分分得得,回回代代再再將將xyu ,)(xdxuufdu 則則求出積分后，求出積分后，即得原方程的解。即得原方程的解。分離變量得分離變量得它的通解為它的通解為 Cxuufduln)(二、齊次方程二、齊次方程1 1、可分離變量的微分方程、可分離變量的微分方程: :小結(jié)分離變量法分離變量法作業(yè)作業(yè) P384 1(1)(4) ，4（1）)()(ygxfdxdy

14、 微分方程的解、微分方程的解、 通解、通解、 特解特解一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一階微分方程的求解二、一階微分方程的求解變量替換法變量替換法2 2、齊次方程、齊次方程: : xyfdxdy第二節(jié) 一階微分方程1. 1. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2. 2. 齊次微分方程齊次微分方程3. 3. 一階線性微分方程一階線性微分方程1 1、可分離變量的微分方程、可分離變量的微分方程: :復(fù)習(xí)分離變量法分離變量法)()(ygxfdxdy 一階微分方程的求解一階微分方程的求解變量替換法變量替換法2 2、齊次方程、齊次方程: : xyfdxdy,xyu )(yxy 或或第

15、二節(jié) 一階微分方程1. 1. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2. 2. 齊次微分方程齊次微分方程3. 3. 一階線性微分方程一階線性微分方程例例1 1 求微分方程求微分方程 的通解的通解xyxydxdytan3 作變量代換作變量代換,xyu ,tan3uuudxdux ,tan3xudxdu 即即分離變量取積分，得分離變量取積分，得 ,3tan xdxudu求不定積分，得求不定積分，得 ,lnln3sinlnCxu 即即,sin3Cxu 將將 回代，回代，xyu .sin3Cxxy 解解,xuy 即即則則得到原方程的通解為得到原方程的通解為二、齊次方程二、齊次方程例例2 2 求微分方

16、程求微分方程 的通解的通解. .解解即即分離變量取積分，得分離變量取積分，得 求不定積分，得求不定積分，得 即即將將 回代，回代，xyu 22xxyydxdy ,12 uuudxdux,)1( uxudxdu,1 xdxduuu,lnln1Cxuu , 1uCuCeexu .xyCey ,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即則則得到原方程的通解為得到原方程的通解為 原方程可寫為原方程可寫為dxdy12 xyxy二、齊次方程二、齊次方程.)(222的的通通解解求求微微分分方方程程dxxxyydyx 解解 原方程可改寫成原方程可改寫成dxdy122 xyxy有有設(shè)設(shè),xyu ,uxy dxd

17、uxudxdy 代入原方程得代入原方程得dxduxu , 12 uudxdux即即, 122 uu分離變量得分離變量得xdxudu 2)1(兩邊積分得兩邊積分得cxuln11 ,回回代代將將xyu 則原方程的通解為則原方程的通解為.lncxyxx 例例3二、齊次方程二、齊次方程例例4 4 求解微分方程求解微分方程(cos)dcosd0.yyxyxxyxx ，令令xyu (cos )dcos ( dd )0,xuxuxxu u xx u dcos d,xu ux ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的通解為微分方程的通解為解解，則則xduudxdy 二、齊次方程二、齊次方程例例5.

18、)yx(2edx )2e(1yxyx的的特特解解滿滿足足條條件件求求1 10 01 10 0 xydySolution. 分分離離變變量量并并積積分分得得：原原方方程程可可化化為為齊齊次次方方程程yxyxeeyxdydx/21)1/(2 ，令令yxu ,uyx 則則dyduyudydx 且且原原方方程程變變?yōu)闉閡ueeudyduyu21) 1( 2 uueeudyduy212 即即：C)2e(u u y即即：Cylnln2eulnu 二、齊次方程二、齊次方程：代代入入，得得所所求求通通解解將將 yxu , 1 10 0 yx時時又又當(dāng)當(dāng)：所所求求特特解解為為 .2ye2 2 yxxC)2e(u

19、 u y即即：.2yeCxyx 二、齊次方程二、齊次方程例例5.10)yx1(2edx )2e(10yxyx的的特特解解滿滿足足條條件件求求 xydy. 2 2 C則則得得三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程形如形如一階線性微分方程一階線性微分方程. 的微分方程的微分方程, 0)( yxPy方方程程)()(xQyxPy 也稱為與方程也稱為與方程相對應(yīng)相對應(yīng)的一階齊次線性微分方程。的一階齊次線性微分方程。定義定義或稱齊次線性方程或稱齊次線性方程為非齊次線性方程的為非齊次線性方程的特殊情況特殊情況。稱為稱為, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為一階一階齊次線性方程齊次線性方程.上方程稱為上方

20、程稱為一階一階非齊次線性方程非齊次線性方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)特點特點“一階一階”：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一階未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一階.“線性線性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.)()(xQyxPy 例例,ydxdy ,sin txdtdx , 12 yy一階一階齊次齊次線性方程線性方程一階一階非齊次非齊次線性方程線性方程非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程齊齊次次線線性性微微分分方方程程 0)( yxPy)()(xQyxPy , 1sincos xyxy三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程（一）一階（一）一階齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解齊齊次次線線性性微微

21、分分方方程程 0)( yxPy（一）一階一）一階齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解求齊次線性方程求齊次線性方程 的通解的通解. 0)( yxPyyxPy)( xxPyyd)(d ，CxxPylnd)(ln xxPCyd)(e（C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）( (使用分離變量法使用分離變量法) )（通解公式通解公式）三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程.0的的通通解解求求解解微微分分方方程程 yyx解解2將方程兩邊同除以將方程兩邊同除以x x，得，得01 yxy這是一個齊次線性方程，這是一個齊次線性方程，,1)(xxP 其其中中代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( dxxC

22、e1xCeln 例例1.xC （用分離變量法）（用分離變量法）解解1（公式法）（公式法） xxPCyd)(e（通解公式）（通解公式） 0)( yxPy.02dd的的通通解解求求微微分分方方程程 xyxy例例2三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程.02dd的的通通解解求求微微分分方方程程 xyxy例例2解解,2)(xxP 其其中中這是一個齊次線性方程，這是一個齊次線性方程，代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( xdxCe2.e2xC 三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例3（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方

23、程的求解線性微分方程的求解求非齊次線性方程求非齊次線性方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解由于齊次線性方程由于齊次線性方程)()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy是非齊次線性是非齊次線性方程方程的的特殊情況特殊情況，我們可設(shè)想將齊次我們可設(shè)想將齊次,)(后后xu線性方程通解線性方程通解 式中的常數(shù)式中的常數(shù)C換成待定函數(shù)換成待定函數(shù) dxxPCey)(有可能是非齊次線性方程有可能是非齊次線性方程即即 dxxPexuy)()(的解。的解。 下面我們研究這種方法的下面我們研究這種方法的可行性可行性。三、一階

24、線性微分方程三、一階線性微分方程將上式變形為將上式變形為,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為若若記記 ,)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即為非齊次方程通解形式為非齊次方程通解形式與齊次線性方程通解相與齊次線性方程通解相比比: :)(xuC dxxPCey)( dxxPexu)()(求非齊次線性方程求非齊次線性方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy 則則 由此，引入求解一階非齊次線性方程的由此，引入求解一階非齊次線性方程的常數(shù)變易法。（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線

25、性微分方程的求解求非齊次線性方程求非齊次線性方程 的通解的通解. )()(xQyxPy 設(shè)設(shè) e )()d( xxPxuy將其對將其對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得是非齊次方程的解是非齊次方程的解, xxPxuy)d(e )(代代入入非非齊齊次次方方程程中中，得得與與將將yy xxPxQxud)(e )()(將上式積分，得將上式積分，得.de )()(d)(CxxQxuxxP 其中其中u(x)為為待定待定.， xxPxuxP)d(e )()( dxxPdxxPexPxuexu)()()()()( dxxPexuxP)()()()(xQ 化簡，得化簡，得（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解

26、線性微分方程的求解 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 上式即為非齊次線性微分方程的上式即為非齊次線性微分方程的通解通解.(通解公式通解公式) e )()d( xxPxuyCxxQxuxxP de )()(d)(（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解得非齊次線性方程得非齊次線性方程 的通解的通解 )()(xQyxPdxdy 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次線性方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次線性方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .一階一階非齊次非齊次線性微分方程的通解可寫為線性微分方程的通解可寫為: :ydxexQeCedxxPdxxPd

27、xxP )()()()(對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程通解通解非齊次方程非齊次方程特解特解結(jié)論結(jié)論： 一階非齊次線性方程的通解是對應(yīng)的齊次一階非齊次線性方程的通解是對應(yīng)的齊次線性方程的線性方程的通解通解與其自身的一個與其自身的一個特解特解之和之和。以后還會以后還會看到看到，這個結(jié)論對于這個結(jié)論對于高階非齊次線性方程高階非齊次線性方程亦成立亦成立。 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解一階非齊次一階非齊次線性線性微分方程的兩種求解方法微分方程的兩種求解方法方法一：常數(shù)變

28、易法方法一：常數(shù)變易法（1）求齊次方程）求齊次方程 的通解的通解 0)( yxPy.ed)( xxPCy（2）將齊次方程通解中的常數(shù)變易為函數(shù)）將齊次方程通解中的常數(shù)變易為函數(shù) xxPxuyd)(e)(（3）變易后的函數(shù)代入非齊次方程中確定）變易后的函數(shù)代入非齊次方程中確定)(xu（*）（4）函數(shù)）函數(shù) 代入（代入（*）式得非齊次通解）式得非齊次通解)(xu ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 求非齊次線性方程求非齊次線性方程 的通解的通解. )()(xQyxPy 方法二：公式法方法二：公式法（1）將給定方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程形式）將給定方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程形式 )()(xQyxPy （

29、2）確定方程中的）確定方程中的. )()(xQxP與與（3）將）將 代入方程的通解公式中代入方程的通解公式中 )()(xQxP與與 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP （4）積分得非齊次線性微分方程通解）積分得非齊次線性微分方程通解.一階非齊次一階非齊次線性線性微分方程的兩種求解方法微分方程的兩種求解方法注意注意:類似地，對于以類似地，對于以x為函數(shù)的一階非齊次線性方程為函數(shù)的一階非齊次線性方程)()(yqxypdydx 有有通通解解公公式式同時也有同時也有常數(shù)變易法常數(shù)變易法. .（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解 Cdyeyqexdyypd

30、yyp)()()( ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(xQyxPdxdy 解解例例1 1，01 yxyddyxyx Cxylnlnln 第一步，求相應(yīng)的齊次線性方程的通解第一步，求相應(yīng)的齊次線性方程的通解.cxy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解 ，令令xxuy xuxxuy 則則解解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解 ，令令xxuy xuxxu

31、y 則則代入方程得代入方程得 xxuxxxu 即即2 cxxu 22.23cxxy 所所求求通通解解為為例例1 1.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2分分方方程程為為原原方方程程所所對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次微微解法解法1 1 （常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法），Cxylnln2 所以所以.e 2xCy 即即，由由常常數(shù)數(shù)變變易易法法得得2 2xxuy e )( 2 2xxuy e )( 則則 ,dd 0 02 2 xyxy，2 22 2xxxu e )(（二）

32、一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解，即即xxyydd 2 2 代代入入原原方方程程得得及及將將yy ，化化簡簡得得xxu2 2 )( xxxud)( 2 2積分得積分得2 22 2xCxy e )(故得原線性非齊次微分方程的通解為故得原線性非齊次微分方程的通解為2 22 22 2xxxxuxu e )(e )( 2 22 2xxxu e )( ，2e2xx )( ,2為任意常數(shù)為任意常數(shù)CCx （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2，2 2xxuy e )(2 2xxuy

33、 e )( ，2 22 2xxxu e )().( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)C解法解法2 2 公式法公式法知知由由一一階階線線性性微微分分方方程程2e22ddxxxyxy ，2e2)( ,2)(xxxQxxP 將其代入公式通解公式，得通解將其代入公式通解公式，得通解 xxyd2edee2e222Cxxxxx Cxxx d2e2dee2d22Cxxxxx . )(e22Cxx .edd的通解的通解求微分方程求微分方程xxyxyx 例例3 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP .edd的通解的通解求微分方程求微分方程xxyxyx 例例3xyxxyxe1dd 0 時，把原方程改寫為時，把原

34、方程改寫為當(dāng)當(dāng)解解xxQxxPe)(,1)( 代入通解公式，代入通解公式， Cxyxxxxxdeeed1d1 Cxxxx de1 Cxxxx deeeln1ln0 ),ee(1 xCxxxx得通解得通解（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解.dd3的的通通解解求求微微分分方方程程yxyxy 例例4則方程可改寫為則方程可改寫為解解 即即 ,1dd 2yxyyx 對于未知函數(shù)對于未知函數(shù)x(y為自變量為自變量)來說，來說， )()(ddyQxyPyx 其通解公式為其通解公式為 de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP yyxyx3dd 性非齊次方程性非齊次方程上

35、式方程為一階線上式方程為一階線 ,的的函函數(shù)數(shù)看看成成如如果果將將xy由方程變?yōu)橛煞匠套優(yōu)? 0dd3 yxyxy則顯然不是線性微分方程則顯然不是線性微分方程. ,的的函函數(shù)數(shù)看看成成如如果果將將yx 12，yxy （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解2)( ,1)( yyQyyP 這里這里將其代入通解公式，將其代入通解公式，deed12d1Cyyxyyyy Cyyyy deeln2ln Cyyyy d12得所求方程的通解為得所求方程的通解為.22 Cyy de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP )()(ddyQxyPyx ,1dd 2yxyyx 例例5

36、 5).(yxx故先求故先求方程，方程，及其導(dǎo)數(shù)而言，是一次及其導(dǎo)數(shù)而言，是一次相對應(yīng)于相對應(yīng)于解解方程化為方程化為d3d2xyxyy ,3)(yyP ,2)(yyQ 其中其中.02)6(2的通解的通解求方程求方程 ydxdyxy（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解( )d( )d( )dP yyP yyxeQ yeyC 3ln3lnd2yyyeeyC .213為所求通解為所求通解 Cyy113d3d()d2yyyyyeeyC 所以所以（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解,3)(yyP ,2)(yyQ .0)0(1sincos 的

37、的特特解解滿滿足足初初值值條條件件求求微微分分方方程程 yxyxy例例6，把原方程改寫為把原方程改寫為xxyysectan 解解xxQxxPsec)(tan)( ，代入通解公式得代入通解公式得將將deseced)tan(d)tan(Cxxyxxxx desececoslncoslnCxxxx )(cos1Cxx 代代入入通通解解中中，0)0( y.cos xxy Cxxxx dcosseccos1, 0 C得得故故特特解解為為（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解0)ln(ln dxxyxdyx求求方方程程1 exy滿滿足足條條件件,1ln1xyxxy Cdxex

38、eyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1 Cxx2ln21ln1, 1 exy,21 C.ln1ln21 xxy 將方程標(biāo)準(zhǔn)化為將方程標(biāo)準(zhǔn)化為于是于是由初始條件由初始條件故所求特解為故所求特解為得得例例7解解的特解的特解. xCxln1ln21（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解例例8 8 如圖所示，平行于如圖所示，平行于 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf30( )d( )xf x xxf

39、x 30dxy xxy 兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 即即（二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解dd23dxxyex exC , 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy （二）一階非（二）一階非齊次齊次線性微分方程的求解線性微分方程的求解四、利用變量代換求微分方程的解四、利用變量代換求微分方程的解解解,uyx 令令dd1ddyuxx代入原方程代入原方程2d1duux ,arctanCxu 解得解得得得代代回回, yxu ,)ar

40、ctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy .)(2的通解的通解求求例例9 9yxdxdy 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程例例1010 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :221.22xyyxyxe 解解,2112 yxexyyx,2) 1(1yyz 令令2d2,dxzxzxex 22 d2 ddx xx xxzexeexC 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 貝努利方程貝努利方程,2dxdyydxdz 則則第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程2d12.dsin ()yyxxxyx；解解,xyz 令令22d11(),d

41、sin ()sinzyyxxxxyxz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代代回回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy ,dxdyxydxdz 則則第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方一階微分方程程d13.;dyxxy 解解,uyx 令令代入原式代入原式d11,duxu分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解（一階線性微分方程）（一階線性微分方程）, 1 dxdudxdy則則. yxdydx 方程變形為方程變形為第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程（1）分離變量）分

42、離變量; （2）兩端積分）兩端積分-隱式通解隱式通解.1 1、可分離變量的微分方程、可分離變量的微分方程: :2 2、齊次方程、齊次方程,xyu 令令)(xyfdxdy 分離變量法分離變量法替換替換分離分離法法)()(ygxfdxdy xuufdxdu )(小結(jié)典型的一階微分方程求解方法典型的一階微分方程求解方法,回回代代再再將將xyu 即得原方程的解。即得原方程的解。求出它的通解后求出它的通解后, , （初等積分法）（初等積分法） dxxPCey)(3 3、一階線性微分方程、一階線性微分方程（通解公式）（通解公式）公式法公式法分離變量法分離變量法 )()(xQyxPy 求非齊次線性方程求非齊

43、次線性方程 的通解的通解. . )()(xQyxPdxdy 齊次線性方程的齊次線性方程的0)( yxPy的通解的通解. .公式法公式法)de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP （通解公式）（通解公式）常數(shù)變易法常數(shù)變易法作業(yè)作業(yè) P384 2(3,5),3(1,3,6);4(5),7(3,5),3(1,3,6);4(5),7典型的一階微分方程求解方法典型的一階微分方程求解方法（初等積分法）（初等積分法）思考題思考題1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx2.方程方程2202 ( )( ) d( )xy ttyttxy x 是否為齊次方程是否為齊次方程?yxyyyysin2sincoscos 3.3.求微分方程求微分方程 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程思考題解答思考題解答d2sinsin0,d22yxyx dsind ,22sin2yxxy 2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx0 02 22 2 yxyxdxdycoscos解解:解解:方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導(dǎo)