數(shù)學直線與平面垂直判定與性質(zhì)實用教案

1、 【高考鏈接】 1以選擇題、填空題的形式考查垂直關(guān)系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結(jié)合 2以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間(kngjin)想象能力、邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用能力 3能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，運用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間(kngjin)中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理的簡單命題第1頁/共32頁第一頁，共32頁。 【要點】 1垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€解答題出現(xiàn)，是高考(o ko)的熱點，是復(fù)習的重點縱觀歷年來的高考(o ko)題，立體幾何中沒有難度過大的題，復(fù)習要抓好三基：基礎(chǔ)知識，基本方法，基本能力 2

2、要重視和研究數(shù)學思想、數(shù)學方法在本講中“化歸”思想尤為重要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口第2頁/共32頁第二頁，共32頁。 1直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 定義法 利用判定定理：如果(rgu)一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直 推論：如果(rgu)在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面 (2)直線和平面垂直的性質(zhì) 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線 垂直于同一個平面的兩條直線平行 垂直于同一直線的兩平面平行知識(zh shi)梳理第3頁/共32頁第三頁，共32頁。

3、 2斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角 3平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 定義法 利用判定定理：如果一個(y )平面過另一個(y )平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩平面互相垂直，那么在一個(y )平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(y )平面第4頁/共32頁第四頁，共32頁。 三類證法 (1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90；平面幾 何中證明線線垂直的方法； 線面垂直的性質(zhì)(xngzh)：a，bab；線面垂直的性質(zhì)(xngzh)：a，bab. (2)證明線面垂直的方法 線面垂直的定

4、義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；判定定理1：l； 判定定理2：ab，ab；面面平行的性質(zhì)(xngzh)：，aa； 面面垂直的性質(zhì)(xngzh)：，l，a，ala. (3)證明面面垂直的方法 利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.第5頁/共32頁第五頁，共32頁。題型一 直線與平面(pngmin)(pngmin)垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示, ,已知PAPA矩形ABCDABCD所在平面(pngmin),(pngmin), M M，N N分別是ABAB，PCPC的中點. . (1) (1)求證：MNCDMNCD； (2) (2)若PDA=45PDA=45. . 求證：MNMN

5、平面(pngmin)PCD.(pngmin)PCD. (1) (1)因M M為ABAB中點, ,只要證ANB ANB 為等 腰三角形, ,則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB.MNAB. (2) (2)已知MNCDMNCD，只需再證MNPC,MNPC,易看出 PMCPMC為等腰三角形，利用N N為PCPC的中點，可 得MNPC.MNPC.題型分類題型分類(fn li) (fn li) 深度深度剖析剖析第6頁/共32頁第六頁，共32頁。證明證明 （1 1）連接）連接ACAC，ANAN，BNBN，PAPA平面平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，PAACPAAC，在在RtRtPACP

6、AC中，中，N N為為PCPC中點，中點，PAPA平面平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，PABCPABC，又，又BCABBCAB，PAAB=APAAB=A，BCBC平面平面(pngmin)PAB(pngmin)PAB，BCPBBCPB，從而在從而在RtRtPBCPBC中，中，BNBN為斜邊為斜邊PCPC上的中線，上的中線， AN=BN AN=BN，ABNABN為等腰三角形，為等腰三角形，又又M M為底邊為底邊ABAB的中點，的中點，MNABMNAB，又又ABCDABCD，MNCD.MNCD.21PCAN .21PCBN 第7頁/共32頁第七頁，共32頁。(2)(2)連接PM

7、PM、CM,PDA=45CM,PDA=45,PAAD,PAAD,AP=AD.AP=AD.四邊形ABCDABCD為矩形，AD=BCAD=BC，PA=BC.PA=BC.又MM為ABAB的中點，AM=BM.AM=BM.而PAM=CBM=90PAM=CBM=90,PM=CM.,PM=CM.又N N為PCPC的中點，MNPC.MNPC.由（1 1）知，MNCDMNCD，PCCD=C,PCCD=C,MNMN平面PCD.PCD. 垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往(wngwng)(wngwng)需

8、要將分析與綜合的思路結(jié)合起來. .第8頁/共32頁第八頁，共32頁。知能遷移1 Rt1 RtABCABC所在平面外一點(y din)S,(y din)S,且SA=SB=SA=SB= SC SC，D D為斜邊ACAC中點. . （1 1）求證：SDSD面ABCABC； （2 2）若AB=BCAB=BC，求證：BDBD面SAC.SAC. 證明 （1 1）如圖所示，取ABAB中點E E， 連結(jié)SESE，DEDE， 在RtRtABCABC中，D D、E E分別為ACAC、 AB AB的中點，故DEBCDEBC，且DEAB,DEAB, SA=SB SA=SB， SABSAB為等腰三角形，SEAB.SEA

9、B. SEAB SEAB，DEABDEAB，SEDE=ESEDE=E， AB AB面SDE.SDE.而SDSD面SDESDE，ABSD.ABSD.第9頁/共32頁第九頁，共32頁。在SACSAC中，SA=SCSA=SC，D D為ACAC中點(zhn din)(zhn din)，SDAC.SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SDSDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC.ABC.（2 2）若AB=BCAB=BC，則BDACBDAC，由（1 1）可知，SDSD面ABCABC，而BDBD面ABCABC，SDBDSDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BDSDBD,BDAC,SDAC=

10、D,BD面SAC.SAC.第10頁/共32頁第十頁，共32頁。題型二 面面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示，在四棱錐PABCDPABCD 中，平面PADPAD平面ABCDABCD，ABDCABDC， PADPAD是等邊三角形, ,已知BD=2AD=8BD=2AD=8， AB=2DC=4 . AB=2DC=4 . (1) (1)設(shè)M M是PCPC上的一點， 證明：平面MBDMBD平面PADPAD； (2) (2)求四棱錐PABCDPABCD的體積. . (1) (1)因為兩平面垂直與M M點位置(wi zhi)(wi zhi)無 關(guān)，所以在平面MBDMBD內(nèi)一定有一條直線垂直于 平面PADPAD，考慮

11、證明BDBD平面PAD.PAD. (2) (2)四棱錐底面為一梯形, ,高為P P到面ABCDABCD的距離. .5第11頁/共32頁第十一頁，共32頁。(1)(1)證明(zhngmng) (zhngmng) 在ABDABD中,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD2+BD2=AB2.ADBD.AD2+BD2=AB2.ADBD.又面PADPAD面ABCDABCD，面PADPAD面ABCD=ADABCD=AD，BDBD面ABCDABCD，BDBD面PAD.PAD.又BDBD面BDMBDM，面MBDMBD面PAD.PAD.(2)(2)解 過P P作POADPOAD，面

12、PADPAD面ABCDABCD，POPO面ABCDABCD，即POPO為四棱錐PABCDPABCD的高. .又PADPAD是邊長為4 4的等邊三角形，PO=PO=. 325第12頁/共32頁第十二頁，共32頁。在底面四邊形ABCDABCD中，ABDCABDC，AB=2DCAB=2DC，四邊形ABCDABCD為梯形. .在RtRtADBADB中，斜邊ABAB邊上(bin shn)(bin shn)的高為此即為梯形的高. . 當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線. .把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直，構(gòu)造二面角的平面角或得到點到面的距離等. .,5585484.

13、 316322431.2455825452ABCDPABCDVS四邊形第13頁/共32頁第十三頁，共32頁。知能遷移(qiny)2 (qiny)2 在斜三棱柱A1B1C1ABCA1B1C1ABC中，底面是等腰 三角形，AB=ACAB=AC，側(cè)面BB1C1CBB1C1C底面ABC.ABC. (1) (1)若D D是BCBC的中點，求證：ADCC1ADCC1； (2) (2)過側(cè)面BB1C1CBB1C1C的對角線BC1BC1的平面交側(cè)棱于 M, M,若AM=MA1,AM=MA1,求證：截面MBC1MBC1側(cè)面BB1C1C.BB1C1C. 證明 (1)AB=AC,D (1)AB=AC,D是BCBC的

14、中點,ADBC.,ADBC. 底面ABCABC平面BB1C1CBB1C1C， 面ABCABC面BB1C1C=BCBB1C1C=BC， AD AD側(cè)面BB1C1C.BB1C1C. CC1 CC1面BB1C1CBB1C1C，ADCC1.ADCC1.第14頁/共32頁第十四頁，共32頁。（2 2）延長(ynchng)B1A1(ynchng)B1A1與BMBM交于N N，連結(jié)C1N.C1N.AM=MA1AM=MA1，NA1=A1B1.NA1=A1B1.A1B1=A1C1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.C1NC1B1.截面NB1C1NB1C1側(cè)

15、面BB1C1CBB1C1C，面NB1C1NB1C1面BB1C1C=C1B1BB1C1C=C1B1，C1NC1N側(cè)面BB1C1C.C1NBB1C1C.C1N面C1NBC1NB，截面C1NBC1NB側(cè)面BB1C1C.BB1C1C.即截面MBC1MBC1側(cè)面BB1C1C.BB1C1C.第15頁/共32頁第十五頁，共32頁。題型三 線面角的求法 （1212分）如圖所示，在四棱錐(lngzhu)P(lngzhu)P ABCD ABCD中，底面為直角梯形，ADBCADBC， BAD=90 BAD=90，PAPA底面ABCD,ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M PA=AD=AB=2BC,M、N N分

16、別為PCPC、PBPB的中點. . （1 1）求證：PBDMPBDM； （2 2）求BDBD與平面ADMNADMN所成的角. . （1 1）易證PBPB平面ADMN.ADMN. （2 2）構(gòu)造直線和平面所成的角，解三角形. . （1 1）證明 N N是PBPB的中點，PA=ABPA=AB， ANPB.BAD=90 ANPB.BAD=90，ADAB.ADAB. PA PA平面ABCDABCD，PAAD.PAAD.第16頁/共32頁第十六頁，共32頁。PAAB=APAAB=A，ADAD平面(pngmin)PAB(pngmin)PAB，ADPB.4ADPB.4分又ADAN=AADAN=A，PBPB平

17、面(pngmin)ADMN.(pngmin)ADMN. 平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，PBDM. 6PBDM. 6分（2 2）解 連接DNDN，PBPB平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，BDNBDN是BDBD與平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角，8 8分在RtRtBDNBDN中， 10 10分BDN=30BDN=30, ,即BDBD與平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角為3030. 12. 12分,212221sinABABBDBNBDNDM第17頁/共32頁第十七頁，共32頁。 求直線和平面所成的角

18、，關(guān)鍵是利用定義作出直線和平面所成的角. .必要時，可利用平行線與同一(tngy)(tngy)平面所成角相等，平移直線位置，以方便尋找直線在該平面內(nèi)的射影. .知能遷移3 3 如圖所示，四面體ABCSABCS中， SA SA、SBSB、SCSC兩兩垂直，SBA=45SBA=45， SBC=60 SBC=60，M M為ABAB的中點. .求： （1 1）BCBC與平面SABSAB所成的角； （2 2）SCSC與平面ABCABC所成的角的正切值. .第18頁/共32頁第十八頁，共32頁。解解 （1 1）SCSBSCSB，SCSASCSA，SBSA=SSBSA=S，SCSC平面平面(pngmin)S

19、AB(pngmin)SAB，BCBC在平面在平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB上的射影為上的射影為SB.SB.SBCSBC為為BCBC與平面與平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB所成的角所成的角. .又又SBC=60SBC=60, ,故故BCBC與平面與平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB所成的角為所成的角為6060. .（2 2）連結(jié)）連結(jié)MCMC，在，在RtRtASBASB中，中，SBA=45SBA=45，ASBASB為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，SMABSMAB，由（由（1 1）知）知ABSCABSC，ABSM=MABSM=M，ABAB平面平面

20、(pngmin)SMC(pngmin)SMC，第19頁/共32頁第十九頁，共32頁。 平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC平面(pngmin)SMC(pngmin)SMC平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.過點S S作SOMCSOMC于點O O，SOSO平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.SCMSCM為SCSC與平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角. .由（1 1）知SCSC平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，又 平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，SCSMSCSM，SMCSMC為直角三角形. .設(shè)SB

21、=aSB=a，即SCSC與平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角的正切值為 . .,360tan,22aSBSCaSM則.66tanSCSMSCM66ABSM第20頁/共32頁第二十頁，共32頁。題型四 二面角的求法 如圖所示，三棱錐PABCPABC中， D D是ACAC的中點，PA=PB=PC= PA=PB=PC= ， AC=2 AC=2 ，AB= AB= ，BC= .BC= . （1 1）求證：PDPD平面ABCABC； （2 2）求二面角PABCPABC的正切(zhngqi)(zhngqi)值大小. . （1 1）已知三角形三邊長，可考慮利用 勾股定理的逆定理證明垂直.

22、 . （2 2）關(guān)鍵是找出二面角的平面角，由AP=PBAP=PB， 可考慮取ABAB的中點E.E.2526第21頁/共32頁第二十一頁，共32頁。（1 1）證明(zhngmng) (zhngmng) 連結(jié)BDBD，DD是ACAC的中點，PA=PC= PA=PC= ，PDAC.PDAC.AC= AC= ，AB= AB= ，BC= BC= ，AB2+BC2=AC2.AB2+BC2=AC2.ABC=90ABC=90，即ABBC.ABBC.PD2=PA2-AD2=3PD2=PA2-AD2=3，PB= PB= ，PD2+BD2=PB2.PDBD.PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=DACBD=D

23、，PDPD平面ABC.ABC.52226.221ADACBD5第22頁/共32頁第二十二頁，共32頁。（2 2）解 取ABAB的中點E E，連結(jié)DEDE、PEPE，由E E為ABAB的中點知DEBCDEBC，ABBCABBC，ABDE.ABDE.PDPD平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC，PDAB.PDAB.又ABDEABDE，DEPD=DDEPD=D，ABAB平面(pngmin)PDE(pngmin)PDE，PEAB.PEAB.PEDPED是二面角PABCPABC的平面(pngmin)(pngmin)角. .在PEDPED中， PDE=90 PDE=90, ,二面角PABCPA

24、BC的正切值為 . ., 3,2621PDBCDE. 2tanDEPDPED2第23頁/共32頁第二十三頁，共32頁。 找二面角的平面角常用的方法有: :(1)(1)定義法：作棱的垂面，得平面角. .(2)(2)利用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì), ,取中線. .知能遷移(qiny)4 (qiny)4 如圖所示，四棱錐PP ABCD ABCD的底面ABCDABCD是直角梯形， PA PA平面ABCDABCD，且ADBCADBC， ADDC, ADDC,ADCADC和ABCABC均為等腰直角三角形, , 設(shè)PA=AD=DC=aPA=AD=DC=a，點E E為側(cè)棱PBPB上一點， 且BE=2EP.B

25、E=2EP. （1 1）求證：平面PCDPCD平面PADPAD； （2 2）求證：直線PDPD平面EACEAC； （3 3）求二面角BACEBACE的余弦值. .第24頁/共32頁第二十四頁，共32頁。（1 1）證明 PA PA平面ABCDABCD，DCDC平面ABCDABCD，DCPA.DCPA.又ADDCADDC，且PAPA與ADAD是平面PADPAD內(nèi)兩相交(xingjio)(xingjio)直線，DCDC平面PAD.PAD.又DCDC平面PCDPCD，平面PCDPCD平面PAD.PAD.（2 2）證明 連結(jié)BDBD，設(shè)BDBD與ACAC相交(xingjio)(xingjio)于點F F

26、，連結(jié)EFEF，在等腰直角ADCADC中，ADDCADDC，.4ACDDAC第25頁/共32頁第二十五頁，共32頁。又ADBCADBC，ACB=DAC=ACB=DAC=又ABCABC為等腰直角三角形，且底面ABCDABCD是直角梯形， （若BB為直角，則與底面ABCDABCD是直角梯形相矛盾）. .由AD=DC=aAD=DC=a，易知AB=AC= aAB=AC= a，BC=2aBC=2a，BCADBCAD且BC=2ADBC=2AD，BF=2FD.BF=2FD.又BE=2EPBE=2EP，PDEF.PDEF.又EFEF平面(pngmin)EAC(pngmin)EAC，PDPD平面(pngmin)

27、EAC(pngmin)EAC，直線PDPD平面(pngmin)EAC.(pngmin)EAC.42BAC2第26頁/共32頁第二十六頁，共32頁。（3 3）解 過點E E作EHPAEHPA交ABAB于H H點，則EHEH平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，又ABACABAC，EAAC.EAAC.EAHEAH為二面角BACEBACE的平面(pngmin)(pngmin)角. .BE=2EPBE=2EP，即二面角BACEBACE的余弦值為 . .3231aABAH, 2tan,3232AHEHEAHaPAEH又,33cosEAH33第27頁/共32頁第二十七頁，共32頁。方法與技巧1.1.證明線面垂直的方法 （1 1）線面垂直的定義：a a與