參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1參數(shù)參數(shù)(cnsh)方程的導(dǎo)數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共27頁(yè)。1. 由參數(shù)方程(fngchng)確定的曲線( )( )xtyt t 是參數(shù)(cnsh) ( , )( ( ),( )x ytt當(dāng) t 變動(dòng)(bindng)時(shí)，點(diǎn)( , )( ( ),( )x ytt描繪出曲線 （運(yùn)動(dòng)軌跡）。第1頁(yè)/共27頁(yè)第二頁(yè)，共27頁(yè)。( ):( )xtyt當(dāng) t 變動(dòng)(bindng)時(shí)，點(diǎn)( , )( ( ),( )x ytt描繪出曲線(qxin) （運(yùn)動(dòng)軌跡）。( , )( ( ),( )x ytt第2頁(yè)/共27頁(yè)第三頁(yè)，共27頁(yè)。一些參數(shù)方程表示(biosh)的曲線圓：222xyacos(02 )s

2、inxattyat 第3頁(yè)/共27頁(yè)第四頁(yè)，共27頁(yè)。a( , )x ywith(plots):f(t):=1*cos(t):g(t):=1*sin(t):plot(f(t),g(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=3);cossinxaya圓第4頁(yè)/共27頁(yè)第五頁(yè)，共27頁(yè)。with(plots):f(t):=1.5*cos(t):g(t):=1*sin(t): p1:=plot(f(t),g(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=3,colo

3、r=red): p2:=plot(cos(t),sin(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=1,color=blue): p3:=plot(1.5*cos(t),1.5*sin(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=1,color=blue): display(p1,p2,p3);( , )x yabcossinxayb橢圓(tuyun)第5頁(yè)/共27頁(yè)第六頁(yè)，共27頁(yè)。cossinxaybparametric_ellipse第6頁(yè)/共27頁(yè)第七

4、頁(yè)，共27頁(yè)。(sin )(1 cos )xaya( , )x y旋輪線（The cycloid）例 9第7頁(yè)/共27頁(yè)第八頁(yè)，共27頁(yè)。2. 由參數(shù)方程(fngchng)確定的函數(shù)( )( )xtyt( )yy x( )xt1( )tx( )yt1( )x ( )y x不管能否由 x = (t) 解出 t，參數(shù)方程在一定條件(tiojin)下確定了一個(gè)函數(shù) y = y(x)。第8頁(yè)/共27頁(yè)第九頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x參數(shù)(cnsh)方程在一定條件下確定了一個(gè)函數(shù) y = y(x) （可能是局部地，而不是整體地） 。第9頁(yè)/共27頁(yè)第十頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xty

5、t( )yy x有時(shí)我們需要求由參數(shù)(cnsh)方程所表示的曲線的切線和法線（運(yùn)動(dòng)的方向）。這就需要(xyo)求函數(shù) y = y(x) 的導(dǎo)數(shù) dy/dx。第10頁(yè)/共27頁(yè)第十一頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x如何(rh)求函數(shù) y = y(x) 的導(dǎo)數(shù) dy/dx？( )xt1( )tx( )yt1( )x ( )y x所以(suy)用鏈?zhǔn)椒▌t和反函數(shù)的求導(dǎo)法則dydx1 ( )x 1( )x 1( )xx( ) t1( ) t( )( )tt這個(gè)(zh ge)導(dǎo)數(shù)并不難求！第11頁(yè)/共27頁(yè)第十二頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x或者將參數(shù) t 視為中間(z

6、hngjin)變量：dydxdy dtdt dx1dydxdtdtdydtdxdt第12頁(yè)/共27頁(yè)第十三頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt( )( )dyy tdxx tdydy dtdxdx dt注意(zh y)：( )( )dxx tdyy t道理是一樣的，在參數(shù)方程中，x, y 的地位平等(pngdng)，它們都是 t 的函數(shù)。dx dtdy dt第13頁(yè)/共27頁(yè)第十四頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt二階導(dǎo)數(shù)(do sh)22d ydx()ddydx dx()ddydt dxdtdx將參數(shù) t 視為中間(z

7、hngjin)變量()dydddtxtdxd( )( )tttt這就是(jish)求二階導(dǎo)數(shù)的方法第14頁(yè)/共27頁(yè)第十五頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt二階導(dǎo)數(shù)(do sh)22d ydx( )( )tttt3( )( )( )( )( )ttttt223( )( )( )( )( )d yttttdxt這個(gè)公式好看，不好記。我們一般(ybn)記方法。第15頁(yè)/共27頁(yè)第十六頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt223( )( )( )( )( )d yttttdxt這個(gè)公式好看，不好記。我們(w men)一般記方法。

8、223( ) ( )( )( )( )d yy t x ty t x tdxxt3( )( )( )( )( )x ty tx ty txt好記一些(yxi)了。還是不好用。第16頁(yè)/共27頁(yè)第十七頁(yè)，共27頁(yè)。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt三階(sn ji)導(dǎo)數(shù)33d ydx22)(td ydxt.22( )( )( )tttdxtyd二階導(dǎo)數(shù)(do sh)學(xué)習(xí)(xux)指導(dǎo)問(wèn)2.14第17頁(yè)/共27頁(yè)第十八頁(yè)，共27頁(yè)。例 7cos(02 )sinxattybt 解0()4xcos4a2a0()4ysin4b2b切點(diǎn)(qidin):(,)22ab第18頁(yè)/共27

9、頁(yè)第十九頁(yè)，共27頁(yè)。cos(02 )sinxattybt 切點(diǎn)(qidin):(,)22ab( )( )dyy tdxx t( sin )( cos )btatcossinbtatcotbta 斜率(xil):4|tdydxcot4ba ba 切線(qixin):()22bbayxa 第19頁(yè)/共27頁(yè)第二十頁(yè)，共27頁(yè)。cossinxatybt4ab(,)22ab()22bbayxa ()22bbayxa 第20頁(yè)/共27頁(yè)第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。例 9(sin )(1 cos )xa ttyat解( )( )dyy tdxx t (1 cos ) (sin )ata ttsin(1 cos

10、 )atatsin1 costt22sin1 cos()(ttxydxtd2cos (1 cos )sin (sin )(1 cos )(1 cos )tttattt第21頁(yè)/共27頁(yè)第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。例 9(sin )(1 cos )xa ttyat22sin1 cos()(ttxydxtd2cos (1 cos )sin (sin )(1 cos )(1 cos )tttattt2cos1(1 cos(1 c)osattt21(1 cos )at 第22頁(yè)/共27頁(yè)第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。( ) ( ), ( )tx ty tr位矢( )dtdtrv速度(sd)( ) ( ),( )dtx ty tdtrv加速度22( )ddtdtdtvra22( )( ),( )dtx ty tdtra第23頁(yè)/共27頁(yè)第二十四頁(yè)，共27頁(yè)。( , )x y( ) tr( ) tv( ) trr第24頁(yè)/共27頁(yè)第二十五頁(yè)，共27頁(yè)。例 82121( ),2tvt v tgtrwith(plots):v1:=2:v2:=3:g:=9.8:x(t):=v1*t:y(t):=v2*t-g*t2/2:plot(x(t),y(t),t=0.2*v2/g,scaling=constrained,thickness=3); v1=2, v2=3第25頁(yè)/共27頁(yè)