行列式的性質(zhì)及其運(yùn)算

1、 一、行列式的性質(zhì) 二、行列式的計(jì)算 三、小結(jié) 1.3 行列式的性質(zhì) 復(fù)習(xí) n階行列式的定義表達(dá)式 行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)排列 列標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)排列一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式. 記定義證明按定義 又因?yàn)樾辛惺紻可表示為故證畢!性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).證明設(shè)行列式說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的,對(duì)列也同樣成立.是由行列式 變換 兩行得到的,于是則有即當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),例如推論1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有 故證畢性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同

2、一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.推論2行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面推論3行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零證明例1設(shè)求解:利用行列式性質(zhì),有一般地,形如下面我們利用行列式性質(zhì)1及性質(zhì)3的推論2證明, 奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零.的行列式稱為反對(duì)稱行列式,它具有如下特征:例2證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零.證明:設(shè)反對(duì)稱行列式其中利用行列式性質(zhì)1及性質(zhì)3的推論2,有當(dāng)為奇數(shù)時(shí)有即性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如但須注意，一般情況下如:而因此性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(

3、行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變例如例3二、行列式的計(jì)算計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形列式（或下三角形行列式)，從而算得行列式的值解:例4 計(jì)算 階行列式解:將第 列都加到第一列得例5 計(jì)算 根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使D 中的零元素增多. 解: 例6 計(jì)算解: 從第4行開(kāi)始，后一行減前一行： 例7證明:證明例8 解方程其中解: 行列式從第二行開(kāi)始每一行都減去第一行得由解得方程的個(gè)根： (行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也同樣成立). 2、 計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三