第4章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

1、第4章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示n本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解冪級(jí)數(shù)的概念;會(huì)求泰勒級(jí)數(shù);會(huì)把函數(shù)在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù);知道冪級(jí)數(shù)和羅倫級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;會(huì)求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù).4.1 冪級(jí)數(shù)4.1.1冪級(jí)數(shù)的概念 同實(shí)變函數(shù)一樣,關(guān)于冪級(jí)數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)有如下性質(zhì):1)可以逐項(xiàng)求導(dǎo).2)可以逐項(xiàng)積分.3)在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求 的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)解: 因?yàn)樗? 收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi) 收斂,在圓外發(fā)散. 在圓周 上,原級(jí)數(shù)收斂, 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)和收斂圓周上處處收斂.132nnz11limlim31nnCCnnnn1R

2、1z1z233111nnznn4.1.2泰勒級(jí)數(shù)n我們經(jīng)常利用泰勒展開(kāi)式的唯一性及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)(級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),可以逐項(xiàng)積分)來(lái)把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),即利用間接的方法, 把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).4.1.2泰勒級(jí)數(shù) 定理一 若函數(shù) 在圓盤(pán) 內(nèi)解析 則 在該圓盤(pán)內(nèi)可展成的冪級(jí)數(shù),這種展式是唯一的,且為 (4.1.3) 或n其中這個(gè)公式(4.1.3) 稱(chēng)為 在 的泰勒展開(kāi)式, 它的右端稱(chēng)為 在 的泰勒級(jí)數(shù), 稱(chēng)為泰勒系數(shù). zfRzz0 nnzzczzczzcczf0202010 nnnzzczf00 ., 2 , 1 , 0,!0nnzfcnn zf( )f z0z zf0znC利用

3、泰勒展開(kāi)式,我們可以直接通過(guò)計(jì)算系數(shù),把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù). (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) (4.1.7)!21! 4! 21cos242nzzzznn! 3! 2132nzzzzenz!121! 5! 3sin1253nzzzzznnnnzzzz11112R1RRRn1. 只要函數(shù) 在圓盤(pán) 內(nèi)解析, 就可在 展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù);n2. 此時(shí)泰勒級(jí)數(shù), 泰勒展開(kāi)式, 冪級(jí)數(shù)為同意語(yǔ);n3. 若 在 平面內(nèi)處處解析,則 ;n4. 若 只在區(qū)域 內(nèi)解析, 為內(nèi) 的一點(diǎn), 則 在 的泰勒展開(kāi)式的收斂半徑 等于 到的 邊界上各點(diǎn)的最短距離;n5. 若 在 平面上除若干孤立奇點(diǎn)外內(nèi)處處解析,

4、則 等于 到最近的孤立奇點(diǎn)的距離. zf zfRzz0z f z0z( )f zzR f zD0zD f z0zR0zDR0z例2把函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù) n解: 函數(shù) 在 內(nèi)處處解析, n由公式(4.1.7)n把上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),即得所求的展開(kāi)式211z211zz1z1,11112zzzzznn. 1nzzzzznn羅倫級(jí)數(shù) 定理二 設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域 ,內(nèi)處處解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2) zf201RzzR nnnzzczf0 , 2, 1, 0,2110ndzficcnn4.2 羅倫級(jí)數(shù)n冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域: 內(nèi)的羅倫級(jí)

5、數(shù)也具有.n1.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),n2.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分,n3.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 201RzzR求羅倫展開(kāi)式的系數(shù)n羅倫展開(kāi)式的系數(shù) 用公式(4.2.2)計(jì)算是很麻煩的,由羅倫級(jí)數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法展開(kāi),這樣往往必將便利(即間接展開(kāi)法).n同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一般不同; 由羅倫級(jí)數(shù)的唯一性可知,同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)一定相同. ncnc例3把函數(shù) 展開(kāi)成 的級(jí)數(shù) 解: 因?yàn)樗?zezzf13z! 3! 2132nzzzzenz .0,! 51

6、! 41! 31! 2! 31! 211122332313zzzzzzzzzzezzfz例4把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開(kāi)成羅倫級(jí)數(shù).解: 因?yàn)樗? .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10 z01z例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開(kāi)成羅倫級(jí)數(shù).解: 因?yàn)樗? 232311111.222222212nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz22221213322 zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z12z例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開(kāi)成羅倫級(jí)數(shù).解: 因?yàn)樗? 21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf zzzzzzzzzf2111111121112