圖像變換編碼

1、數(shù)字圖像處理DIGITAL IMAGE PROCESSING鄭州輕工業(yè)學(xué)院計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院主講人：蔣斌第3單元圖像編碼u 第8章 圖像編碼基礎(chǔ)u 第9章 圖像變換編碼u 第10章其他圖像編碼方法 圖像處理的目的除了改善圖像的視覺效果外，還希望在保證一定視覺質(zhì)量的前提下減少數(shù)據(jù)量，從而減少圖像傳輸所需的時(shí)間。第9章授課大綱 9.1 可分離和正交圖像變換 9.2 離散余弦變換 9.3 正交變換編碼 9.4 小波變換 9.5 小波變換編碼1-D可分離變換正變換反變換 1 , , 1 , 0),()()(10NuuxhxfuTNx正向變換核1 , , 1 , 0),()()(10NxuxkuTxf

2、Nu反向變換核9.1 可分離和正交圖像變換2-D可分離變換（傅里葉變換是一個(gè)例子） 1010),(),( ),(NxNyvuyxhyxfvuT 1010),(),( ),(NuNvvuyxkvuTyxf反向變換核正向變換核變換核與原始函數(shù)及變換后函數(shù)無關(guān)9.1 可分離和正交圖像變換可分離1個(gè)2-D變換分成2個(gè)1-D變換對稱 (h1與h2的函數(shù)形式一樣),(),(),(21vyhuxhvuyxh),(),(),(11vyhuxhvuyxh102),(),(),(NyvyhyxfvxT101),(),(),(NxuxhvxTvuT9.1 可分離和正交圖像變換可分離且對稱 AFAT BAFABBTB

3、 圖像矩陣對稱變換矩陣反變換矩陣變換結(jié)果BTBF BAFABF 1 AB1 AB反變換反變換9.1 可分離和正交圖像變換正交考慮變換矩陣： 酉矩陣（*代表共軛 ）：如果A為實(shí)矩陣，且： 則A為正交矩陣，此時(shí)變換為正交變換對 BTBF 1 AB*1AAT1AA9.1 可分離和正交圖像變換一種可分離、正交、對稱的變換見教材見教材350頁頁JPEG編碼編碼1-D離散余弦變換（DCT）1 , , 2 , 1201)(NuNuNua當(dāng)當(dāng)1 , , 1 , 02) 12( cos)()()(10NuNuxxfuauCNx1 , , 1 , 02) 12( cos)()()(10NxNuxuCuaxfNu9

4、.2 離散余弦變換2-D離散余弦變換（DCT） 10102) 12( cos 2) 12( cos),()()( ),(NuNvNvyNuxvuCvauayxf 10102) 12( cos 2) 12( cos),( )()(),(NxNyNvyNuxyxfvauavuC9.2 離散余弦變換2-D離散余弦變換示例9.2 離散余弦變換9.3 正交變換編碼 9.3.1 正交變換編碼系統(tǒng) 9.3.2 子圖像尺寸選擇 9.3.3 變換選擇 9.3.4 比特分配9.3.1 正交變換編碼系統(tǒng)o 圖像分解：減少變換的計(jì)算復(fù)雜度o 圖像變換：解除每個(gè)子圖像內(nèi)部像素之間的相關(guān)性，或者說將盡可能多的信息集中到盡

5、可能少的變換系數(shù)上壓縮不是在變換中而是在量化變換系數(shù)時(shí)取得的9.3.2 子圖像尺寸選擇o 影響變換編碼誤差和計(jì)算復(fù)雜度（壓縮量和計(jì)算復(fù)雜度都隨子圖像尺寸的增加而增加）o 兩個(gè)條件/考慮：n 相鄰子圖像之間的相關(guān)（冗余）減少到某個(gè)可接受的水平；n 子圖像的長和寬都是2的整數(shù)次冪o 最常用的子圖像尺寸： 88和16169.3.4 比特分配o 比特分配：對變換子圖像的系數(shù)截?cái)唷⒘炕途幋a的全過程o 截?cái)嗾`差n 截除的變換系數(shù)的數(shù)量和相對重要性n 用來表示所保留系數(shù)的精度（量化）o 保留系數(shù)的2個(gè)準(zhǔn)則n 最大方差準(zhǔn)則，稱為分區(qū)編碼n 最大幅度準(zhǔn)則，稱為閾值編碼9.3.4 比特分配1. 分區(qū)編碼 具有最

6、大方差的變換系數(shù)帶有最多的圖像信息。事先確定模板并保留一定的系數(shù)，即分區(qū)9.3.4 比特分配2. 閾值編碼根據(jù)子圖像特性，自適應(yīng)選擇保留系數(shù)將系數(shù)排隊(duì)，與閾值比較確定取舍（游程/變長碼）9.3.4 比特分配2. 閾值編碼 隨子圖像不同而保留不同位置的變換系數(shù)常用三種對變換子圖像取閾值（即產(chǎn)生式(9.3.3)所示模板函數(shù)）的方法： (1) 對所有子圖像用一個(gè)全局閾值，壓縮的程度隨（不同）子圖像而異 (2) 對各個(gè)子圖像分別用不同的閾值，舍去同數(shù)量系數(shù)，碼率是個(gè)常數(shù)9.3.4 比特分配2. 閾值編碼 (3) 根據(jù)子圖像中系數(shù)的位置選取閾值，將取閾值和量化結(jié)合起來9.4 小波變換 9.4.1 小波變

7、換基礎(chǔ) 9.4.2 1-D小波變換 9.4.3 快速小波變換 9.4.4 2-D小波變換9.4.1 小波變換基礎(chǔ)9.4.1 小波變換基礎(chǔ)1. 序列展開 基：展開函數(shù)的集合 uk (x ) 函數(shù)空間：由所有函數(shù) f (x ) 構(gòu)成雙正交基：（幾何矢量解釋，例9.4.1）例：雙正交基 u1 = 2 0T， u2 = 1 1T對偶基為u1 = 1/2 1/2T， u2 = 0 1T數(shù)學(xué)概念o 內(nèi)積o 對偶 對任意對象對任意對象A和和B，若存在一個(gè)函數(shù)，若存在一個(gè)函數(shù)f, 使得使得 f(A) = B 并且并且 f(B) = A，那么就稱，那么就稱A為為f下下B的對偶，的對偶，B為為f下下A的對偶的對偶

8、, 并稱并稱f為為A和和B的對偶函數(shù)或?qū)ε歼\(yùn)算的對偶函數(shù)或?qū)ε歼\(yùn)算 數(shù)學(xué)概念o 正交n 在線性代數(shù)中，若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則它們正交n 一個(gè)內(nèi)積空間的正交基是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量。假若，一個(gè)正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基或規(guī)范正交基n 在矩陣論中，矩陣Q的轉(zhuǎn)置矩陣QT為其逆矩陣Q-1，則Q為正交矩陣QT = Q-1給定一個(gè)向量空間V, V的一組基是指可線性生成V的一個(gè)線性無關(guān)的子集，基的元素稱為基向量9.4.1 小波變換基礎(chǔ)2.縮放函數(shù) 用展開函數(shù)作為縮放函數(shù)，并對其進(jìn)行平移和2進(jìn)制縮放k 確定了uj,k (x ) 沿X-軸的位置， j

9、確定了uj,k(x ) 沿X-軸的寬度（所以u (x ) 也稱為尺度函數(shù)），系數(shù)2 j/2控制uj,k(x ) 的幅度給定一個(gè)初始 j（下面常取為0），就可確定一個(gè)縮放函數(shù)空間Uj， Uj 的尺寸隨 j 的增減而增減9.4.1 小波變換基礎(chǔ)2. 縮放函數(shù) 各個(gè)縮放函數(shù)空間Uj， j = , , 0, 1, , 是嵌套的，即Uj Uj+1，Uj 中的展開函數(shù)可以表示成Uj+1中展開函數(shù)的加權(quán)和用hu (k )表示縮放函數(shù)系數(shù)，因?yàn)閡 (x ) = u0,0 (x )多分辨率細(xì)化方程 任何一個(gè)子空間的展開函數(shù)都可用其下一個(gè)分辨率（1/2分辨率）的子空間的展開函數(shù)來構(gòu)建9.4.1 小波變換基礎(chǔ)3.

10、小波函數(shù) 用v (x )表示小波函數(shù) 與vj,k (x )對應(yīng)的空間為Vj空間Uj，Uj+1 和Vj 有如下關(guān)系（ 表示空間的并）在Uj+1 中， Uj 的補(bǔ)是Vj9.4.1 小波變換基礎(chǔ)3. 小波函數(shù) 每一個(gè)Vj 空間是與其同一級的Uj 空間和上一級的Uj+1 空間的差 如果考慮把 j 取到趨近，則有可能僅用小波函數(shù)，而完全不用縮放函數(shù)來表達(dá)所有的f (x ) Uj 中所有uj,k (x) 與Vj 中所有vj,k (x) 是正交的9.4.1 小波變換基礎(chǔ)4. 縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例9.4.1 小波變換基礎(chǔ)4.縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例隨著 j 的增加，縮放函數(shù)變窄變高圖9.4.4：僅用 j =0

11、的縮放函數(shù)不夠，還需要 j =1的縮放函數(shù)f (x )是屬于U1 的，而不是屬于U0 的9.4.1 小波變換基礎(chǔ)4. 縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例 哈爾小波函數(shù)9.4.2 1-D小波變換 見教材例9.4.3，212頁9.4.2 1-D小波變換9.4.3 快速小波變換o 在尺度 j 上的系數(shù)Wu ( j, k )和Wv ( j, k )都可用在尺度 j+1的近似系數(shù)Wu ( j+1, k )分別與縮放矢量hu 和小波矢量hv 卷積再進(jìn)行亞抽樣得到9.4.4 2-D小波變換1. 2-D變換函數(shù) 需要1個(gè)2-D縮放函數(shù)u(x, y)和3個(gè)2-D小波函數(shù)vH (x, y )， vV (x, y )， vD

12、(x, y )，每一個(gè)都是1-D縮放函數(shù)和對應(yīng)的小波函數(shù)的乘積可分離的縮放函數(shù)水平邊緣垂直邊緣沿對角線的變化9.4.4 2-D小波變換9.5 小波變換編碼o 在JPEG-2000及MPEG-4和H.264中都得到了應(yīng)用 9.5.1 小波變換編解碼系統(tǒng) 9.5.2 基于提升小波的編碼9.5.1 小波變換編解碼系統(tǒng)o 小波變換編碼也是一種變換編碼方式o 與采用正交變換（如DCT）的編解碼系統(tǒng)不同，小波變換編解碼系統(tǒng)中沒有圖像分塊的模塊o 小波變換的計(jì)算效率很高，且本質(zhì)上具有局部性o 小波變換編碼不會產(chǎn)生使用DCT變換在高壓縮比時(shí)出現(xiàn)的塊效應(yīng)9.5.1 小波變換編解碼系統(tǒng)o 小波變換編碼需考慮的幾個(gè)

13、因素1. 小波選擇 如：哈爾小波、雙正交小波2. 分解層數(shù)選擇 影響小波編碼計(jì)算的復(fù)雜度和重建誤差3. 量化設(shè)計(jì) 對小波編碼壓縮和重建誤差影響最大需在不同尺度間調(diào)整量化間隔 例： P.3279.5.2 基于提升小波的編碼o 可以在當(dāng)前位置實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的變換，運(yùn)算速度快且節(jié)約內(nèi)存。它包括三個(gè)步驟：1. 分裂（split）將圖像數(shù)據(jù)分解成偶數(shù)部分和奇數(shù)部分9.5.2 基于提升小波的編碼2. 預(yù)測（predict） 保持偶數(shù)部分不變并用偶數(shù)部分來預(yù)測奇數(shù) 部分，然后用奇數(shù) 部分與預(yù)測值的差 （稱為細(xì)節(jié)系數(shù)） 替代奇數(shù)部分9.5.2 基于提升小波的編碼3. 更新（update）構(gòu)造一個(gè)作用于細(xì)節(jié)函數(shù)

14、的算子U，并疊加到偶數(shù)部分上以獲得近似圖像，這里要保持原始圖像的一些特性9.5.2 基于提升小波的編碼o 重建過程三個(gè)運(yùn)算：（M 合并）實(shí)驗(yàn)課復(fù)習(xí) 傅里葉變換p 2-D傅里葉變換 p 傅里葉變換定理 p 快速傅里葉變換1-D正變換對1個(gè)連續(xù)函數(shù) f (x ) 等間隔采樣20( )f x13101525450575685790 x10/j2exp)(1)()(NxNuxxfNuFxfF2-D傅里葉變換 1-D反變換 變換表達(dá)頻譜（幅度）相位角101/j2exp)()()(NuNuxuFxfuFF)( j exp )( )(j)()(uuFuIuRuF21 22)()( )( uIuRuF)()(

15、arctan)( uRuIu 2-D傅里葉變換 2-D傅里葉變換 變換對公式頻譜（幅度）相位角功率譜 1010/ )(j2exp),( 1),(NuNvNvyuxvuFNyxf21 22 ),(),( ),( vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu 1010/ )(j2exp),( 1),(NxNyNvyuxyxfNvuF),(),( ),( ),(222 vuIvuRvuFvuP112001,NNxyfxyfxyN 1010,10,0NxNyyxfNF1,0, 0fx yFN圖像平均灰度： ，傅立葉變換域中原點(diǎn)的頻譜分量： F(0,0)與圖像均值的關(guān)系 2-D圖像傅

16、里葉變換圖示2-D傅立葉變換分離性質(zhì) 1次2-D 2次1-D (0,0)XV(0,0)XY(0,0)UV列變換乘以行變換f (x, y)F(x, v)F(u, v)N(N 1)(N 1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-10/xj2exp),(1),(NxNuvxFNvuF10/j2exp),(1),(NyNvyyxfNNvxF傅里葉變換定理 1、平移定理 ),(/ )(j2exp),(dvcuFNdycxyxf傅里葉變換定理 )( ),(/ )()(j2exp),( 1/ )(j2exp/ )(j2exp),( 1/ )(j2exp),(10101010dvcuFNydvxc

17、uyxfNNvyuxNdycxyxfNNdycxyxfNxNyNxNy F),(),(vuFyxf 傅里葉變換以變換域的原點(diǎn)(0,0)為中心，由傅里葉變換的周期性和共軛對稱性可知，變換域中的能量對稱于原點(diǎn)集中分布。為了在 內(nèi)得到一個(gè)完整的頻譜，需要將頻譜的原點(diǎn)移至（N/2,N/2）處。 1, 0Nv 1, 0Nu2D傅里葉變換的頻譜平移 利用平移性質(zhì)，當(dāng) 200NuyxyxjeNyvxuj12exp002,21,NvNuFyxfyx),()(2exp),(0000vvuuFNyvxujyxf2D傅里葉變換的頻譜平移f(x,y)F(u,v)F(u-N/2,v-N/2)通過簡單的變換域平移 將F(

18、u,v) 的原點(diǎn)移動到變換域方陣的中心，使低頻能量集中在變換域的中心部分。 2D傅里葉變換的頻譜平移2,21,NvNuFyxfyx2. 旋轉(zhuǎn)性 借助極坐標(biāo)變換： 將其帶入到傅里葉變換式中可以得到 將f(x,y)旋轉(zhuǎn)對應(yīng)于F(u,v)也旋轉(zhuǎn)，反之亦然sincossincosvuryrx),(),(00Frf傅里葉變換定理 ),(),(vuaFyxafbvauFabbyaxf,1),(傅里葉變換定理 4、剪切定理（水平方向）純剪切 （垂直方向）純剪切 byxxyy ),(),(buvuFybyxfxx ydxy ),(),(vduuFydxxf傅里葉變換定理 5、組合剪切定理平移旋轉(zhuǎn)尺度 水平剪切及垂直剪切 垂直剪切 bdvbubddvuFbdydxbyxf1,111),(xx11db101b101d傅里葉變換定理 6、仿射定理bdaeedba傅里葉變換定理 7、卷積定理 2-D ),(),(),(),(vuGvuFyxgyxf),(),(),(),(vuGvuFyxgyxf)()()()(uGuFxgxf)()()()(uGuFxgxf -dd),(),( ),(),(qpqypxgqpfyxgyxf傅里葉變換定理 8、相關(guān)定理互相關(guān)：f (x) g(x) 自相關(guān)：f (x)