D7_8周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)(黑字)

1、第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開傅里葉展開 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式 第十一章第十一章 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為周期為 2l 函數(shù)函數(shù) f (x)周期為周期為 2 函數(shù)函數(shù) F(z)變量代換變量代換lxz將將F(z) 作傅氏展開作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式的傅氏展開式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設周期為設周期為2l 的周期函數(shù)的周期

2、函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為則它的傅里葉展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處)naxlxnxflbllndsin)(1其中其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 證明證明: 令令lxz, 則則,llx,z令令)(zF, )(z lf則則)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以所以)(zF且它滿足收斂且它滿足收斂定理定理條件條件, 將它展成傅里葉級數(shù)將它展成傅里葉級數(shù):1

3、0sincos2)(nnnznbznaazF( 在在 F(z) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處 )(xf變成變成是以是以 2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) , 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 zznzFandcos)(1其中其中zznzFbndsin)(1令令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在在 f (x) 的的 連續(xù)點處連續(xù)點處 )xlxnxflldcos)(證畢證畢 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

4、束結(jié)束 說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中其中(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處)lxnsinl20l如果如果 f (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有則有(在在 f (x) 的連續(xù)點處的連續(xù)點處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況無論哪種情況 ,).()(21xfxf在在 f (x) 的間斷點的間斷點 x 處處, 傅里葉級傅里葉級數(shù)數(shù)收斂于收斂于l20l如果如果 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有則有 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(tfto

5、0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流電壓交流電壓tEtEsin)(經(jīng)半波整流后負壓消經(jīng)半波整流后負壓消失失, ,試求半波整流函數(shù)的試求半波整流函數(shù)的解解: 這個半波整流函數(shù)這個半波整流函數(shù)2,它在它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù). .,上的表達式為上的表達式為0t t02E的周期是的周期是22機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 000d2sintt21Ea 2cos212E時1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1

6、(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時時機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 由于半波整流函數(shù)由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直

7、流部分直流部分說明說明:交流部分交流部分由收由收收斂定理可得收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為次諧波的振幅為,14122kEAk k 越大振幅越小越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f (x)了了.to22)(tf上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 把把展開成展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數(shù)正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù)余弦級數(shù).解解: (1) 將將 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 則有則有2oyx),2,

8、1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在在 x = 2 k 處級處級數(shù)收斂于何值數(shù)收斂于何值?機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2oyx(2) 將將 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k則有則有1222) 12(cos) 12(181kxkk)

9、20( x12 kn機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: 此式對此式對0 x也成立也成立,8) 12(1212kk由此還可導出由此還可導出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk據(jù)此有據(jù)此有2oyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 當函數(shù)定義在當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間任意有限區(qū)間上時上時,方法方法1, , )(baxxf令令,2abzx即即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在在2,2abab上展成傅里葉

10、級數(shù)上展成傅里葉級數(shù))(zF周期延拓周期延拓將將2abxz)(xf在在,ba代入展開式代入展開式上的傅里葉級數(shù)上的傅里葉級數(shù) 其傅里葉展開方法其傅里葉展開方法:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方法方法2, , )(baxxf令令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在在ab,0上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦級數(shù)級數(shù))(zF奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓將將 代入展開式代入展開式axz)(xf在在,ba即即axz上的上的正弦正弦或或余弦余弦級數(shù)級數(shù) 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(zFz55例例3. 將函數(shù)將函數(shù))155(

11、10)(xxxf展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù).解解: 令令,10 xz設設)55( )10()()(zzzfxfzF將將F(z) 延拓成周期為延拓成周期為 10 的周期函數(shù)的周期函數(shù), 理理條件條件.由于由于F(z) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), 故故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定則它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 利用利用歐拉公式歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式設設 f

12、(x)是周期為是周期為 2 l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 則則lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(

13、dnxlxnie注意到注意到2nnnbacxd同理同理),2, 1(nlxnie機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2, 1,0(n因此得因此得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 式式的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) . 例例4. 把寬為把寬為 ,高為高為 h ,周期為周期為 T 的矩形波展成復數(shù)形的矩形波展成復數(shù)形解解: 在一個周期在一個周期,22TT)(tu它的復數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為它的復數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為 2 2d1thTTh內(nèi)矩形波的函

14、數(shù)表達式為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達式為 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為正弦為正弦 級數(shù)級數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxn

15、annnsincos1(x 間斷點間斷點)其中其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當當f (x)為奇為奇 函數(shù)時函數(shù)時,(偶偶)(余弦余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換變換延拓延拓3. 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出利用歐拉公式導出機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點易看出奇偶

16、性及間斷點, 2. 計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算 ?答答: 用系數(shù)公式計算用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子如分母中出現(xiàn)因子nk作業(yè)作業(yè): P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3 從而便于計算系數(shù)和寫出從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域收斂域 .,時nnbakkba 或則必須單獨計算必須單獨計算.習題課習題課 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級數(shù)期的傅立葉級數(shù), 并由此求級數(shù)并由此求級數(shù)121nn(91 考研考研) 解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù),0nb100d)2(2xxa5xxn