奧本海姆 信號(hào)與系統(tǒng) 中山大學(xué)

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 4.1 拉普拉斯變換 4.2 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì) 4.3 單邊拉普拉斯逆變換 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 4.5 系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解 4.6 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬 4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 4.1 拉普拉斯變換 4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換 一個(gè)信號(hào)f(t)假設(shè)滿足絕對(duì)可積條件，那么其傅里葉變換一定存在。例如，e-t(t)(0)就是這種信號(hào)。假設(shè)f(t)不滿足絕對(duì)可積條件， 那么其傅里葉變換不一定存在。例如，信號(hào)(t)在引入沖激函數(shù)后其傅里葉變換存在， 而信號(hào)et(t)(0)的傅里葉變換不存在。假設(shè)給信號(hào)et(

2、t)乘以信號(hào)e-t()，得到信號(hào)e-(-)t(t)。信號(hào)e-(-)t(t)滿足絕對(duì)可積條件，因此其傅里葉變換存在。 設(shè)有信號(hào)f(t)e-t(為實(shí)數(shù))，并且能選擇適當(dāng)?shù)氖筬(t)e-t絕對(duì)可積，那么該信號(hào)的傅里葉變換存在。 假設(shè)用F(+j)表示該信號(hào)的傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的定義， 那么有 根據(jù)傅里葉逆變換的定義，那么 上式兩邊乘以et，得 4.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 任一信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換不一定存在。由于f(t)的雙邊拉普拉斯變換是信號(hào)f(t)e-t的傅里葉變換，因此，假設(shè)f(t)e-t絕對(duì)可積，即 例 4.1 - 1 求時(shí)限信號(hào)f1(t)=(t)-(t-)的雙邊拉氏

3、變換及其收斂域。式中，0。 例 4.1 - 2 求因果信號(hào)f2(t)=e-t(t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。 解 設(shè)f2(t)的雙邊拉氏變換為F2(s), 那么 例 4.1-3 求反因果信號(hào)f3(t)=-e-t(-t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。 圖 4.1-1 雙邊拉氏變換的收斂域(a) F2(s)的收斂域； (b) F3(s)的收斂域； (c) F4(s)的收斂域 雙邊拉普拉斯變換的收斂域比較復(fù)雜， 并且信號(hào)與其雙邊拉普拉斯變換不一一對(duì)應(yīng)，這就使其應(yīng)用受到限制。 實(shí)際中的信號(hào)都是有起始時(shí)刻的(tt0時(shí)f(t)=0)，假設(shè)起始時(shí)刻t0=0, 那么f(t)為因果信號(hào)。因果信號(hào)的雙邊拉

4、普拉斯變換的積分下限為“0，該變換稱為單邊拉普拉斯變換。單邊拉普拉斯變換收斂域簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，線性連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要使用單邊拉普拉斯變換。 4.1.3 單邊拉普拉斯變換 信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換和單邊拉普拉斯逆變換(或反變換)分別為 與雙邊拉普拉斯變換存在的條件類似，假設(shè)f(t)滿足 那么f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)存在。使F(s)存在的S復(fù)平面上s的取值區(qū)域稱為F(s)的收斂域。因?yàn)閒(t)的單邊拉普拉斯變換等于f(t)(t)的雙邊拉普拉斯變換，所以，單邊拉普拉斯變換的收斂域與因果信號(hào)雙邊拉普拉斯變換的收斂域相同，即單邊拉普拉斯變換的收斂域?yàn)槠叫杏趈軸的一條直線的右邊區(qū)域，

5、可表示為 4.1.4 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換 4.2 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì) 1. 線性 2. 時(shí)移性 3. 復(fù)頻移 例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函數(shù)。 例 4.2-4 4. 尺度變換 假設(shè)那么式中， 為常數(shù)，證例 4.2-5 求f1(t)的象函數(shù)。 解 因?yàn)?5. 時(shí)域卷積 證 根據(jù)信號(hào)卷積的定義，并且f1(t)和f2(t)是因果信號(hào)，那么 例 4.2-6 圖 4.2-1(a)所示信號(hào)f(t)與圖(b)所示信號(hào)f(t)的關(guān)系為f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的單邊拉氏變換。 圖 4.2-1 例

6、4.2-6 圖(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形 6. 時(shí)域微分 式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分別表示f(t)的一次、二次、n次導(dǎo)數(shù)， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分別表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-時(shí)的值。 證 先證明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義， 那么有 反復(fù)應(yīng)用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域至少是Res0。假設(shè)F(s)在s=0處有一階極點(diǎn)，那么sF(s)中的這種極點(diǎn)被消去，f

7、(1)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域可能擴(kuò)大。f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域也有類似情況。 假設(shè)f(t)為因果信號(hào)，那么f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此時(shí)，時(shí)域微分性質(zhì)表示為 n=1, 2, ；Res0 例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的單邊拉氏變換。 解 (1) 求f1(t)的單邊拉氏變換。由于 故根據(jù)線性得 假設(shè)應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)求解，那么有 (2) 求f2(t)的單邊拉氏變換。由于 因此得 7. 時(shí)域積分 假設(shè)f(t) F(s)，Res0, 那么有： 假設(shè)f(-n)(t)表示從-到t對(duì)f(t)的n重積分，那么有 (4.2-12)(4.2-13)證明式(4

8、.2-12)： 因?yàn)?根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)，那么 因?yàn)樽C明式(4.2-13): 因?yàn)?單邊拉普拉斯變換為根據(jù)線性得 假設(shè)f(t)是因果信號(hào)，f(n)(t)是f(t)的n次導(dǎo)數(shù)，那么f(t)等于f(n)(t)從0-到t的n重積分。假設(shè)f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，根據(jù)時(shí)域積分性質(zhì)式(4.2 - 12)，那么f(t)的單邊拉氏變換為 假設(shè)f(t)為非因果信號(hào)，那么Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，假設(shè)f(t)(t)的n次導(dǎo)數(shù) 的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，那么f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。 非因果信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換也可根據(jù)式

9、(4.2-13)求解。 假設(shè)f(t)在t=-的值f(-)=0，f (1)(t)是f(t)的一階導(dǎo)數(shù)，那么 t- 假設(shè)f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換用F1(s)表示，那么f(t)的單邊拉普拉斯變換為 假設(shè)f(-)0，那么 t- 對(duì)于t0-，有 那么f(t)的單邊拉普拉斯變換為 例 4.2-8 求圖 4.2-2(a)所示因果信號(hào)f(t)的單邊拉氏變換。 解 f(t)的二階導(dǎo)數(shù)為 由于(t) 1, 由時(shí)移和線性性質(zhì)得 由時(shí)域積分性質(zhì) 圖 4.2-2 例 4.2-8 圖(a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形 例 4.2-9 求圖 4.2-3(a)所示信號(hào)f(t)的

10、單邊拉普拉斯變換。 解 方法一 由于 根據(jù)單邊拉氏變換的定義， 得 圖 4.2-3 例 4.2-9 圖 方法二 f(0-)=-1，f(t)的一階導(dǎo)數(shù)為 f(1)(t)的單邊拉氏變換為 Res- Res0 8. 復(fù)頻域微分 假設(shè)f(t) F(s), Res0， 那么有 Res0 n=1, 2, ; Res0 證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義 Res0 例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的單邊拉氏變換。 解 由于 Res0，根據(jù)式(4.2 - 21)，得 Res0于是得 Res0由于t2(t)=(-t)(-t)(t)， Res0 重復(fù)應(yīng)用以上方法可以得到 Res0 9. 復(fù)頻域積分 假設(shè)f(t

11、) F(s)，Res0，那么有 式中， 存在， 的單邊拉普拉斯變換的收斂域?yàn)镽es0和Res0的公共局部。 證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義 Res0 對(duì)上式兩邊從s到積分，并交換積分次序得 因?yàn)閠0, 所以上式方括號(hào)中的積分 在Res0時(shí)收斂。因此得 例 4.2-11 求f(t)的單邊拉氏變換。 解 由于 根據(jù)復(fù)頻域積分性質(zhì)，得 10. 初值和終值定理 (1) 初值定理假設(shè)信號(hào)f(t)不包含沖激函數(shù)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)， 并且 Res0 那么信號(hào)f(t)的初值為 (2) 終值定理假設(shè)f(t)在t時(shí)極限f()存在，并且f(t) F(s) Res0; -00那么f(t)的終值為 例 4.2-12 解

12、 由于cos t(t) ，根據(jù)復(fù)頻移性質(zhì)， 那么有 由初值定理得由終值定理得表 4.1 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì) 表 4.2 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換 4.3 單邊拉普拉斯逆變換 4.3.1 查表法 例4.3-1 ，求F(s)的原函數(shù)f(t)。解 F(s)可以表示為 由附錄F查得編號(hào)為15的象函數(shù)與本例中F(s)的形式相同。編號(hào)15的變換對(duì)為 與本例中F(s)的表示式比照，那么b1=1, b0=1，=2，代入變換對(duì)得 4.3.2 局部分式展開(kāi)法 假設(shè)F(s)為s的有理分式，那么可表示為 式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均為實(shí)數(shù)。假設(shè)mn, 那

13、么 為假分式。假設(shè)mn，那么 為真分式。 式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)為實(shí)數(shù)。N(s)為有理多項(xiàng)式，其逆變換為沖激函數(shù)及其一階到m-n階導(dǎo)數(shù)之和。 為有理真分式，可展開(kāi)為局部分式后求逆變換。例如， 假設(shè)F(s)為假分式，可用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和， 即 那么 假設(shè) 為有理真分式， 可直接展開(kāi)為局部分式后求逆變換。要把F(s)展開(kāi)為局部分式，必須先求出A(s)=0的根。因?yàn)锳(s)為s的n次多項(xiàng)式，所以A(s)=0有n個(gè)根si(i=1, 2, , n)。si可能為單根，也可能為重根；可能為實(shí)根，也可能為復(fù)根。si又稱為F(s)的極點(diǎn)。F(s)展開(kāi)為

14、局部分式的具體形式取決于si的上述性質(zhì)。 1. F(s)僅有單極點(diǎn) 假設(shè)A(s)=0僅有n個(gè)單根si(i=1, 2, , n)，那么根據(jù)附錄A中式(A-2)，無(wú)論si是實(shí)根還是復(fù)根，都可將F(s)展開(kāi)為 式中，各局部分式項(xiàng)的系數(shù)Ki為 故F(s)的單邊拉普拉斯逆變換可表示為 由于 例 4.3-2 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(原函數(shù))f(t)。 解 F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)=0的兩個(gè)根分別為s1=-2, s2=-3。因此，F(xiàn)(s)的局部分式展開(kāi)式為 所以 于是得 2. F(s)有重極點(diǎn) 假設(shè)A(s)=0在s=s1處有r重根，而其余(n-r)個(gè)根sj(j=r+1, ，n)，這些根的值是實(shí)數(shù)或

15、復(fù)數(shù)，那么由附錄A中式(A-8)和(A-11)可得 式中： 先求F1(s)的逆變換，因?yàn)?由復(fù)頻移性質(zhì)，可得 F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為 例 4.3-3 求 F(s)的單邊拉氏逆變換。 解 F(s)有二重極點(diǎn)s=-1和單極點(diǎn)s=-3。因此，F(xiàn)(s)可展開(kāi)為 于是得 3. F(s)有復(fù)極點(diǎn) 如果A(s)=0的復(fù)根為s1,2=-j，那么F(s)可展開(kāi)為 式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 那么有 由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為 對(duì)于F(s)的一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)s1=-+j和s2=-j，只需要計(jì)算出系數(shù)K1=|K1|ej(與s1對(duì)應(yīng))，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就

16、可得到這一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的局部分式的原函數(shù)。 如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)的局部分式也呈現(xiàn)與復(fù)單極點(diǎn)類似的特點(diǎn)。以A(s)=0的根為二重共軛復(fù)根s1,2=-j為例， 其F(s)可展開(kāi)為 式中： 根據(jù)復(fù)頻移和線性性質(zhì)，求得F(s)的原函數(shù)為 例 4.3-4 求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。 解 F(s)可以表示為 F(s)有一對(duì)共軛單極點(diǎn)s1,2=-2j2, 可展開(kāi)為 于是得 于是得 例 4.3-5 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示為 式中，F(xiàn)1s由線性和常用變換對(duì)得到由時(shí)移性質(zhì)得例 4.3-6 單邊拉氏變換 求F(s)的原函數(shù)f(t)。 解

17、 F(s)為有理分式，可用局部分式法求f(t)。但F(s)又可表示為 因?yàn)?， 根據(jù)復(fù)頻域微分性質(zhì)，那么F(s)的原函數(shù)為例 4.3-7 求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解 F(s)不是有理分式，不能展開(kāi)為局部分式。F(s)可以表示為 對(duì)于從t=0-起始的周期性沖激序列 其單邊拉氏變換為 由于因此，根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)得于是得 例4.3-7 中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到一般從t=0-起始的周期信號(hào)。設(shè)f(t)為從t=0-起始的周期信號(hào)，周期為T，f1(t)為f(t)的第一周期內(nèi)的信號(hào)。 f(t)和f1(t)如圖4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示為 令f1(t) F1(s

18、), f(t) F(s), 那么有 Res0 圖 4.3-1 因果周期信號(hào) * 4.3.3 反演積分法 單邊拉普拉斯逆變換也可以用單邊拉普拉斯逆變換的定義式求逆變換，這種方法稱反演積分法。 單邊拉普拉斯逆變換的定義為 留數(shù)定理的內(nèi)容為：假設(shè)復(fù)變函數(shù)G(s)在閉合曲線L上及其內(nèi)部，除內(nèi)部的有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，那么G(s)沿閉合曲線L的積分等于2j乘以G(s)在這些奇點(diǎn)(si)的留數(shù)之和，即 圖 4.3-2 拉普拉斯逆變換的積分路徑 假設(shè)給積分路徑AB補(bǔ)充一半圓C，如圖 4.3 - 2 所示，那么構(gòu)成一閉合路徑L(ACBA)。假設(shè)令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇點(diǎn)全部是極點(diǎn)，根據(jù)留

19、數(shù)定理， 那么有 根據(jù)留數(shù)定理和約當(dāng)引理，那么F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為 t0 t0 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，假設(shè)F(s)為有理真分式，并且F(s)est的極點(diǎn)s=si為一階極點(diǎn)，那么該極點(diǎn)的留數(shù)為 假設(shè)F(s)est的極點(diǎn)s=si為r重極點(diǎn)，那么該極點(diǎn)的留數(shù)為 (4.3 - 15)例 4.3-8 已知 Res-2。求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解 選a-2，那么F(s)est在a左側(cè)的極點(diǎn)分別為一階極點(diǎn)s1=-3和二重極點(diǎn)s2=-2。 于是，根據(jù)式(4.3 - 15)，得 t0 t0 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 4.4.1 連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分解 根據(jù)單邊拉普拉斯逆變換的定義，假設(shè)信號(hào)f(t)

20、的單邊拉普拉斯變換為F(s)， 那么信號(hào)f(t)可以表示為 4.4.2 根本信號(hào)est鼓勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 假設(shè)線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)(LTI)的輸入為f(t), 零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，由連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析可知: 假設(shè)系統(tǒng)的輸入為根本信號(hào)，即f(t)=est,那么假設(shè)h(t)為因果函數(shù)，那么有式中：即，Hs是沖激響應(yīng)h(t)的單邊拉普拉斯變換，稱為線性邊續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，est稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。4.4.3 一般信號(hào)f(t)鼓勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 對(duì)于-j到+j區(qū)間上的任一s，信號(hào)est產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為H(s)est。est與其響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示為 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，對(duì)于-j

21、到+j區(qū)間上的任一s， 為一復(fù)數(shù)，因此，信號(hào)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為 根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，由于系統(tǒng)的輸入信號(hào)f(t)可以分解為-j到+j區(qū)間上不同s的指數(shù)信號(hào) 的和(積分)，因此，系統(tǒng)對(duì)f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)等于這些指數(shù)信號(hào)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)之和。 對(duì)應(yīng)關(guān)系為 即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)Yf(t)因?yàn)閒(t)、h(t)是因果信號(hào)，所以yf(t)也是因果信號(hào)。 另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)，那么yf(t)的單邊拉普拉斯變換為 式(4.4-6)和式(4.4-7)說(shuō)明， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解：(1) 求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s);(2)

22、求系統(tǒng)函數(shù)H(s);(3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)； 例 4.4-1 線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-t(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。假設(shè)輸入為f2(t)=t(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(t)。 f2(t)的單邊拉氏變換為 yf2(t)的單邊拉氏變換為 于是得4.5 系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解 設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 式中，a0、a1和b0、b1、b2為實(shí)常數(shù)；f(t)為因果信號(hào)，因此，f(0-)、f(0-)均為零。設(shè)初始時(shí)刻t0=0, y(t)的單邊拉

23、普拉斯變換為Y(s)，對(duì)式(4.5-1)兩端取單邊拉普拉斯變換， 根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，得分別令 對(duì)式(4.5-4)取單邊拉普拉斯逆變換，就得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)、零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)， 即 由于Yf(s)=H(s)F(s), 那么二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)n階邊續(xù)系統(tǒng)的微分方程為n階系統(tǒng)的微分方程為關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下問(wèn)題： 于是得1對(duì)于n階線性連續(xù)系統(tǒng)，由于yx(t)+yf(t), 因此有 2對(duì)于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，假設(shè)在t0時(shí)yx(t)滿足的微分方程相同，那么 對(duì)于因果系統(tǒng)，假設(shè)輸入f(t)為因果信號(hào)，那么 一般不等于零，因此得例 4.5-1 線性系統(tǒng)的微分方程

24、為 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。 f(t)的單邊拉氏變換為 解 方法 1 根據(jù)單邊拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)，對(duì)系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，得 求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆變換，得 方法 2 分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)滿足的微分方程為 由于f(t)為因果信號(hào)，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。 yf(t)滿足的微分方程為 yx(t)的初始條件yx(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-)。4.6 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6.1 KCL、KVL的復(fù)頻域形式 KCL

25、和KVL的時(shí)域形式分別為 設(shè)RLC系統(tǒng)(電路)中支路電流i(t)和支路電壓u(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和U(s)，對(duì)式(4.6 - 1)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)線性性質(zhì)， 得到 4.6.2 系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型 1. 電阻元件(R) 設(shè)線性時(shí)不變電阻R上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 那么R上電流和電壓關(guān)系(VAR)的時(shí)域形式為 電阻R的時(shí)域模型如圖 4.6-1(a)所示。設(shè)u(t)和i(t)的象函數(shù)分別為U(s)和I(s)，對(duì)式(4.6-3)取單邊拉普拉斯變換， 得 圖 4.6-1 R的時(shí)域和S域模型(a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 2. 電感元件(L) 設(shè)線性時(shí)

26、不變電感L上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 那么電感元件VAR的時(shí)域形式為 (4.6-5) 圖 4.6-2 電感L的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型(a) 時(shí)域模型； (b) 零狀態(tài)S域模型 電感L的時(shí)域模型如圖4.6-2(a)所示。設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對(duì)式(4.6-5)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分、積分性質(zhì)， 得 假設(shè)電感L的電流i(t)的初始值i(0-)不等于零，對(duì)式(4.6-5)取單邊拉普拉斯變換，可得 圖 4.6-3 電感元件的非零狀態(tài)S域模型(a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型 3. 電容元件

27、(C) 設(shè)線性時(shí)不變電容元件C上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 那么電容元件VAR的時(shí)域形式為 電容元件的時(shí)域模型如圖 4.6-4(a)所示。假設(shè)u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對(duì)式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換，得 假設(shè)電容元件C上電壓u(t)的初始值u(0-)不等于零，對(duì)式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換， 得 圖 4.6-4 電容元件的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型(a) 時(shí)域模型； (b) 零狀態(tài)S域模型 圖 4.6-5 電容元件的非零狀態(tài)S域模型(a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型 4.6.3 RLC系統(tǒng)的

28、復(fù)頻域模型及分析方法 例4.6-1 圖 4.6-6(a)所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由位置1接到位置2。求t0時(shí)的完全響應(yīng)iL(t)、零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。 解 (1) 求完全響應(yīng)iL(t)： 圖 4.6-6 例 4.6-1 圖 那么S域的網(wǎng)孔方程為 式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程， 解網(wǎng)孔方程得 求IL(s)的單邊拉氏逆變換，得 (2) 求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的單邊拉氏變換為ILx(s)，網(wǎng)孔電流的象函數(shù)分別為I1x(s

29、)和I2x(s)，如圖 4.6 - 6(c)所示。列網(wǎng)孔方程，得 把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入網(wǎng)孔方程， (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)： 對(duì)圖 4.6 - 1(b)所示電路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到開(kāi)關(guān)S在位置2時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)的S域電路模型，如圖 4.6 -6(d)所示。設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)ILf(t)的單邊拉氏變換為ILf(s)，可應(yīng)用網(wǎng)孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆變換得到iLf(t)。此外，也可以根據(jù)S域電路模型求出系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過(guò)H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的輸入運(yùn)算阻抗為Z(s)，那么有 于是得 把Z(

30、s)的表示式代入上式得到H(s)為 因此得 求ILf(s)的單邊拉氏逆變換， 得 4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬 4.7.1 連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示 圖 4.7-1 系統(tǒng)的方框圖表示 一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，如圖 4.7-1 所示。 方框圖左邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸入f(t)，右邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他局部， 是系統(tǒng)的主體。此外，幾個(gè)系統(tǒng)的組合連接又可構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，稱為復(fù)合系統(tǒng)。組成復(fù)合系統(tǒng)的每一個(gè)系統(tǒng)又稱為子系統(tǒng)。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及這兩種方式的混合連接。此外，連續(xù)系統(tǒng)也可以用一些輸入輸出關(guān)系簡(jiǎn)單的根本單元(子系統(tǒng))連接

31、起來(lái)表示。這些根本單元有加法器、數(shù)乘器(放大器)、 積分器等。 1. 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián) 圖 4.7-2 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)(a) 時(shí)域形式； (b) 復(fù)頻域形式 設(shè)復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的結(jié)論， h(t)與hi(t)的關(guān)系為 假設(shè)h(t)和hi(t)為因果函數(shù)，h(t)的單邊拉普拉斯變換即系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，H(s)與Hi(s)的關(guān)系為 2. 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián) 圖 4.7-3 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián)(a) 時(shí)域形式； (b) 復(fù)頻域形式 復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)與子系統(tǒng)沖激響應(yīng)hi(t)之間的關(guān)系為 h(t)的單邊拉普拉斯變換，即系統(tǒng)函數(shù)H

32、(s)與hi(t)的單邊拉普拉斯變換Hi(s)之間的關(guān)系為 例 4.7-1 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-4 所示。 其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。 (1) 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t); (2) 假設(shè)f(t)=(t)， 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。解 (1) 求系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t): 圖示復(fù)合系統(tǒng)是由子系統(tǒng)h1(t)與子系統(tǒng)h2(t)串聯(lián)后再與子系統(tǒng)h3(t)并聯(lián)組成的。設(shè)由子系統(tǒng)h1(t)和h2(t)串聯(lián)組成的子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得 復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為 (2) 求f(t)=(t)時(shí)

33、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t): 設(shè)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的單邊拉氏變換為Yf(s)，那么 求Yf(s)的單邊拉氏逆變換得 圖 4.7-4 例 4.7-1 圖 3. 用根本運(yùn)算器表示系統(tǒng) 圖 4.7-5 根本運(yùn)算器的時(shí)域和S域模型(a) 數(shù)乘器； (b) 加法器；(c) 積分器 4.7-2 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-6 所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s), 寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。 圖 4.7-6 例 4.7-2 圖 解 Y(s)為右邊加法器的輸出，該加法器有兩個(gè)輸入，如下圖。 因此有 于是得 (4.7 - 6)(4.7 - 5)把式(4.7 - 5)代入式(4.7 - 6)， 得 系統(tǒng)函數(shù)

34、為 對(duì)上式應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)， 得到系統(tǒng)微分方程為 4.7.2 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示 圖 4.7-7 信號(hào)流圖的規(guī)那么 關(guān)于信號(hào)流圖， 還有如下常用術(shù)語(yǔ)： (1) 節(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中表示信號(hào)的點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)。 (2) 支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段稱為支路。寫在支路旁邊的函數(shù)稱為支路的增益或傳輸函數(shù)。 (3) 源點(diǎn)與匯點(diǎn)： (5) 開(kāi)路：一條通路與它經(jīng)過(guò)的任一節(jié)點(diǎn)只相遇一次，該通路稱開(kāi)路。 (6) 環(huán)(回路)：如果通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，并且與經(jīng)過(guò)的其余節(jié)點(diǎn)只相遇一次，那么該通路稱為環(huán)或回路。 1. 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示 圖 4.7-8 信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 例 4.7-3 某線性連續(xù)系統(tǒng)的

35、方框圖表示如圖 4.7-9(a)所示。畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。 圖 4.7-9 例 4.7-3 圖(a) 方框圖； (b) 信號(hào)流圖 解 系統(tǒng)的方框圖中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分別是三個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)加法器的輸出為X1(s), 子系統(tǒng)H1(s)的輸出為X2(s)，那么有 例 4.7-4 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 4.7-10(a)所示。 畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。 圖 4.7-10 例 4.7-4 圖(a) 方框圖； (b) 信號(hào)流圖 解 設(shè)左邊加法器的輸出為X1(s)，左邊第一和第二個(gè)積分器的輸出分別為X2(s)和X3(s)，那么有 2. 梅森公式(Masons Rule) 式

36、中，稱為信號(hào)流圖的特征行列式，表示為 例 4.7-5 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖 4.7-11所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。 圖 4.7-11 例 4.7-5 圖 解 系統(tǒng)信號(hào)流圖共有四個(gè)環(huán)，環(huán)傳輸函數(shù)分別為 系統(tǒng)信號(hào)流圖中從F(s)到Y(jié)(s)只有一條開(kāi)路，開(kāi)路傳輸函數(shù)P1和對(duì)應(yīng)的剩余流圖特征行列式分別為 得到系統(tǒng)信號(hào)流圖的特征行列式為 得到系統(tǒng)函數(shù)為 4.7.3 連續(xù)系統(tǒng)的模擬 1. 直接形式 以二階系統(tǒng)為例， 設(shè)二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 給H(s)的分子分母乘以s-2，得到 圖 4.7-12 二階系統(tǒng)直接形式信號(hào)流圖(a) 直接形式; (b) 直接形式的方框圖表示；(c) 直接形式; (d)

37、直接形式的方框圖表示 2. 級(jí)聯(lián)(串聯(lián))形式 如果線性連續(xù)系統(tǒng)由n個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，如圖 4.7-2 所示， 那么系統(tǒng)函數(shù)H(s)為 例 4.7-6 線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 求系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖。 解用一階節(jié)和二階節(jié)的級(jí)聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為 式中，H1(s)和H2(s)分別表示一階和二階子系統(tǒng)。 它們的表示式為 圖 4.7-13 例 4.7-6 圖(a) 子系統(tǒng)信號(hào)流圖； (b) 系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖 3. 并聯(lián)形式 假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)組成，如圖 4.7-3 所示，那么系統(tǒng)函數(shù)H(s)為 這種情況下，先把每個(gè)子系統(tǒng)用直接形式信號(hào)流圖模擬， 然后把它們并聯(lián)起來(lái)，就得到系統(tǒng)

38、并聯(lián)形式的信號(hào)流圖。 例 4.7-7 線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為 求系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖。 解 用一階節(jié)和二階節(jié)的級(jí)聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為 式中： 圖 4.7-14 例 4.7-7 圖 4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 4.8.1 H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)通常是復(fù)變量s的有理分式， 可以表示為 H(s)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng) 1. 左半平面極點(diǎn) 假設(shè)H(s)在左半平面負(fù)實(shí)軸上有一階極點(diǎn)p=-(0)，那么H(s)的分母A(s)就有因子(s+)，h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Ae-t(t)；假設(shè)p=-為r重極點(diǎn)，那么A(s)中就有因子(s+)r，h(t)中就有對(duì)

39、應(yīng)的函數(shù)Aitie-t(t)(i=1, 2, , r-1)。A、Ai為實(shí)常數(shù)。 假設(shè)H(s)在左半平面負(fù)實(shí)軸以外有一階共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=-j，那么A(s)中就有因子(s+)2+2， h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Ae-tcos(t+)(t)；假設(shè)p1,2=-j為r重極點(diǎn)，那么A(s)中有因子(s+)2+2r，h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Aitie-tcos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)。A，Ai, i為實(shí)常數(shù)。 2. 虛軸上極點(diǎn) 假設(shè)H(s)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一階極點(diǎn)p=0，那么A(s)中有因子s，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)A(t), A為常數(shù)；假設(shè)p=0為r重極點(diǎn)，那么A(s)中有因子sr，h

40、(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)Aiti(t)(i=1, 2, , r-1)，Ai為實(shí)常數(shù)。 假設(shè)H(s)在虛軸上有一階共軛虛極點(diǎn)p1,2=j，那么A(s)中有因子(s2+2)，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)A cos(t+)(t)，A、為實(shí)常數(shù)；假設(shè)p1,2=j為r重極點(diǎn)，那么A(s)中有因子(s2+2)r，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)Aiti cos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)， Ai、i為實(shí)常數(shù)。 3. 右半平面極點(diǎn) 圖 4.8-1 H(s)的極點(diǎn)分布與時(shí)域函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 4.8.3 H(s)與系統(tǒng)的頻率特性 由線性連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析可知，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換H(j)表示系統(tǒng)的頻率特

41、性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。下面討論H(j)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)的關(guān)系。根據(jù)傅里葉變換的定義和單邊拉普拉斯變換的定義，假設(shè)h(t)為因果信號(hào)， 那么有 H(s)的收斂域包含j軸，意味著H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面。在這種情況下，H(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。根據(jù)以上討論，可以得到以下結(jié)論：假設(shè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 那么 設(shè)bm0，并且令 那么式又可以表示為 式中： 圖 4.8-2 H(s)零、極點(diǎn)的矢量表示及差矢量表示 例 4.8-1 二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中，0, 00, 0。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。 解 H(s)有一個(gè)零點(diǎn)s1=; 有兩個(gè)極點(diǎn)，分

42、別為 式中， 。 于是H(s)又可表示為 由于H(s)的極點(diǎn)p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為 令 那么H(j)又可表示為 幅頻特性和相頻特性分別為 圖 4.8-3 例 4.8-1 圖(a) H(s)零、極點(diǎn)的矢量和差矢量表示； (b) 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性 4.8.4 H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. 穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，如果對(duì)任意有界輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，那么稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)。 即對(duì)有限正實(shí)數(shù)Mf和My，假設(shè)|f(t)|Mf，并且|yf(t)|My，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 線性連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積

43、。 設(shè)M為有限正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可表示為 充分性：設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為 因此有 即 假設(shè)h(t)絕對(duì)可積， 必要性：所謂式(4.8-16)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當(dāng)h(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，那么至少有某個(gè)有界輸入f(t)產(chǎn)生無(wú)界輸出yf(t)。為此，設(shè)f(t)有界，那么f(-t)也有界，并且表示為 h(t)0 h(t)=0 h(t)0 于是有 因?yàn)?令t=0, 根據(jù)式(4.8 - 17)那么有 假設(shè)h(t)不絕對(duì)可積， 即 , 那么yf(0)=。 2. 羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)那么設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中，mn，a

44、i(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為 H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。假設(shè)A(s)=0的根全部在左半平面，那么A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。假設(shè)ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號(hào)歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 假設(shè)A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式， 那么系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)那么，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)那么(R-H準(zhǔn)那么)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)那么包括兩局部，一局部是

45、羅斯陣列，一局部是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)那么)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)那么，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)那么 (R-H準(zhǔn)那么)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)那么包括兩局部，一局部是羅斯陣列，一局部是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)那么)。 假設(shè)n為偶數(shù)，那么第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)那么計(jì)算： 羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)那么) 指出： 多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 假設(shè)第一列元素的值不是全為正值， 那么說(shuō)明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)那么和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，假設(shè)羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，那么H(s)的