高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的變化率的變化率對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 瞬時(shí)速度為路程對(duì)時(shí)間的變化率第1頁/共28頁記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)

2、數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf( )yf x( )yfx( )( )yfxfx第2頁/共28頁例例).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy

3、)11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 直接法直接法: :由由高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)逐步求高階導(dǎo)數(shù).211( )uu 222211 (1)()1(1)xxx 2 222 22 422(1)( 2 ) 2(1) 2()(1)(1)xxxxxxx 422 22 42642()(1)(1)xxxxx222 22 42(22)(31 )()(1)(1)xxxxx第3頁/共28頁例 設(shè)),1ln(2xy , yy,sin xeyx求例 設(shè))0(y例設(shè)),(

4、ln)(2xfxfy求求y第4頁/共28頁例例.),0,()()(nyaxRaaxy求設(shè)解解1)(axy)(1 axy2)(1(ax3)(2)(1(ax)(1(2 axy) 1()(1() 1()(naxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合不要急于合并并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法)注意注意: :三、幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式第5頁/共28頁例例.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2

5、2sin( x)22sin( xcosyx)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得(4)sinyxsinyx )2cos( xy)22cos( xycossin()2( )(sin)?(nkxk思考：為常數(shù)）( )(sin)sin()2nnkxkkxn 第6頁/共28頁(4)43 2(1)yx 32 1(1)yx 例例.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn211()(1)1(1)xxx2231 (1) (1)2(1)xxx 3)1(! 2xy 3342

6、2(1) (1)2 3(1)xxx 4)4()1(! 3xy ).?()(ln()(為常數(shù)kxkn:思考) 1()()!1() 1(1nxknnn第7頁/共28頁設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):第8頁/共28頁例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的

7、三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzx,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.(證明略) 例如例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有第9頁/共28頁yxe22yxe22yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyz32 zxy2 zy x yxe2yxe22

8、yxe2yxe22的二階偏導(dǎo)數(shù)及 說明說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) , 而初等注意注意: :,22xyzyxz但這一情形并不總成立.第10頁/共28頁222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0第11頁/共28頁二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),),(yxfu 證明下列表達(dá)式在極坐標(biāo)系下的形式:22222)

9、(1)()()( uuyuxu 2222yuxu22 u2221 u u1第12頁/共28頁第13頁/共28頁若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第14頁/共28頁)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的

10、參數(shù)方程,可得)()()(ttt 例例1 :,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:求.dd22xy第15頁/共28頁)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty)(, )(tyytxx為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率第16頁/共28頁31xy若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此

11、隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y第17頁/共28頁03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)第18頁/共28頁191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x

12、即03843 yx第19頁/共28頁)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x解解:,求導(dǎo)函數(shù)?第20頁/共28頁定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略. 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)第2

13、1頁/共28頁01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx100yyx3第22頁/共28頁0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex 利用隱函數(shù)求導(dǎo)第23頁/共28頁若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略.滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確第24頁/共28頁,04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(