高數1-7章3節(jié) 《齊次方程》 課件

1、上午7時58分9秒齊次方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節(jié)一、齊次方程一、齊次方程*二、可化為齊次方程二、可化為齊次方程 第七章 上午7時58分10秒一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuudds

2、incos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當 C = 0 時, y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數)求解過程

3、中丟失了. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒例3：。解方程)0(2xyxydxdyx。，則原方程變?yōu)檫@是齊次方程，令原方程改寫為：解：uudxduxuxyuxxyxydxdy2)0(2xdxduuu21)0(，得：時當化簡并變量分離。兩邊積分，得cxu)ln(上午7時58分10秒不包含在通解中。也是原方程的解，且它即另外，00yu。以及一個常數解：其中解因此原方程的解為：通0)0)ln(,)ln(2ycxcxxy。其中，代入，得到通解：化簡并用0)ln()ln(2cxcxxyxyu上午7時58分10秒例4：)3(2變形例。解方程yxydxdyx。，則原方程變?yōu)檫@是齊次方

4、程，令原方程改寫為：解：uxudxduxuxyuxxyxxydxdysgn2)0(sgn2xdxxduuusgn21)0(，得：時當化簡并變量分離原方程不成立。時顯然0 x上午7時58分10秒不包含在通解中。也是原方程的解，且它即另外，00yu。以及一個常數解：其中解因此原方程的解為：通0)0)ln(,|ln2ycxxcxxy。時，當時，其中當，代入，得到通解：化簡并用0ln00)ln(0|ln2cxxcxxcxxyxyu上午7時58分10秒例5：。解方程yxydxdy.1xyxydxdy原方程改寫為：解：xdxduuuu21)0(，得：時當化簡并變量分離。，則原方程變?yōu)檫@是齊次方程，令uud

5、xduxuxyu111|lncuux積分得：為任意常數。，其中從而原方程的通解為：cceyyx上午7時58分10秒例5：。解方程yxydxdy. 1yxdydx原方程改寫為：解法二：ydyduy，得：時當化簡并變量分離)0(。，則原方程變?yōu)檫@是齊次方程，令1udyduyuyxu1|lncyu積分得：為任意常數。，其中或從而原方程的通解為：cceycyyxyx)|(ln1上午7時58分10秒例6：。的通解求方程0)1 (2)21 (dyyxedxeyxyxuueuedyduyuyxu21) 1(2，則原方程變?yōu)檫@是齊次方程，令。其中為任意常數代入得通解：化簡并用)(2cyexyxuyx) 1(2

6、21yxeedxdyyxyx原方程改寫為：解：ydydueueuuu221)0(，得：時當化簡并變量分離1|ln|2|lncyeuu積分得：上午7時58分10秒oyx可得 OMA = OAM = 例例7. 在制造探照燈反射鏡面時,解解: 設光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線 )(xfy 繞 x 軸旋轉而成 .過曲線上任意點 M (x, y) 作切線 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x 軸平行于光線反射方向,從而 AO = OMOPAP要求點光源的光線反 射出去有良好的方向性 , 試求反射鏡面的形狀. 而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx

7、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒利用曲線的對稱性, 不妨設 y 0,21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為(齊次方程) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒頂到底的距離為 h ,hdC82說明說明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時旋轉曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得)0,(

8、2CoyxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒二、可化為變量分離方程二、可化為變量分離方程(或齊次方程）的類型或齊次方程）的類型均為實常數。，的方程，其中形如111222111cbacybxacybxafdxdy上午7時58分10秒。程時，此時方程為齊次方當01 . 221 cc時，分兩種情況：當02 . 22221 cc. 001 . 2 . 222112221babacc且.,21212121bkbakakbbkaak或使得則存在實數方程可變?yōu)椋翰环猎O為前者成立，則)()(22222122ybxagcybxacybxakfdxdy上午7時58分10秒，從而可解。方程化

9、為變量分離方程令)(,2222ugbadxduuybxa)(,)(1, 011111111222ufbadxducybxaucybxafdxdycba則方程變?yōu)椋簳r可進行變換：即方程形如特別地，當上午7時58分10秒. 002 . 2 . 222112221babacc且.,yYxX引入新變量：，從而可解。化為情形，則原方程可變?yōu)椋? . 2)()(2211XYgYbXaYbXafdXdY.00222111yxcybxacybxa有唯一解此時二元一次方程組上午7時58分10秒例例8. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令

10、06 kh5, 1kh得XXuuudd112積分得uarctan)1(ln221uXCln代回原變量, 得原方程的通解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解為15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改為 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上午7時58分10秒例9：。解方程12342yxyxdxdy，因為解：0214213221uudxdu原方程化為：,2yxu作變量代換：175uudxdu即

11、：dxuduuu75) 1(075為：時，變量分離方程，化當1)57125251(cdxduu積分得：1|57|ln25251cxuu化簡得：xuceu2252557或：上午7時58分10秒也是原方程的解，。即另外，07105075yxu為任意常數。，其中所以原方程的解為：cceyxxy 105572含在通解中，則取如果在通解中允許071050yxcxyceyxyxu1055722代入得通解：還原變量，用上午7時58分10秒例10：。解方程2) 1(1yxdxdy，因為解：01100211udxdu原方程化為：, 1yxu殊形式，作變量代換：方程為所研究類型的特dxuduu122變量分離方程，

12、化為：1arctancxuu積分得：為任意常數。其中代入得通解：化簡并用1,) 1arctan(11cccyxyyxu上午7時58分10秒例11：。解方程31yxyxdxdy，因為解：0211112, 1yx得解：,21,21YyXxyYxX即作變量代換：.YXYXdXdY代入原方程，得：0301yxyx所以先解代數方程組上午7時58分10秒常數。為任意非其中0,) 1()2)(1(2)2(22ccxyxy，得：再作變量代換：XYu XdXduuuuuudXduu221111或122ln|12|lncXuu積分得：為任意常數。其中方程的通解為也是原方程的解，所以，即此外，容易驗證，ccxyxy

13、xyxyuu,) 1()2)(1(2)2(0) 1()2)(1(2)2(01222222代入得：化簡并用12xyu上午7時58分10秒例12：。解方程42yxxydxdy，因為解：0211111, 3yx得解：,13,13YyXxyYxX即作變量代換：.YXXYdXdY代入原方程，得：0402yxxy所以先解代數方程組上午7時58分10秒常數。為任意非其中代入得：化簡并用0,) 1()3(3131arctan22cceyxxyuxy，得：再作變量代換：XYu XdXduuuuudXduu11112或12|lnarctan|1|ln21cXuu積分得：上午7時58分10秒的方程的一般解法：形如222111cybxacybxafdxdy采用齊次方程方法解。程