第7章 離散系統(tǒng)

1、 7.17.1 引言引言 7.2 7.2 采樣過程的數(shù)學(xué)描述采樣過程的數(shù)學(xué)描述 7.3 7.3 信號(hào)恢復(fù)信號(hào)恢復(fù) 7.4 7.4 Z Z變換理論變換理論 7.5 7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7.6 7.6 離散控制系統(tǒng)分析離散控制系統(tǒng)分析 7.7 7.7 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) 7.1.1 直接數(shù)字控制系統(tǒng)直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDCDirect Digital Control）DigitalComputeDigital-to-a n a l o g converterActuatorprocessAna l o g - t o -d i g i t a l conve

2、rterMeasurement sensorinputdigital圖圖7-1 直接數(shù)字控制系統(tǒng)（直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC）7.1.2 計(jì)算機(jī)監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCCSurveillance Computer Control System）ComputerD i g i t a l - t o -analogOutputA n a l o g - t o -digitalInputAnalogueregulatorsensorprocessactuator圖圖7-2 計(jì)算機(jī)監(jiān)督控制系統(tǒng)（計(jì)算機(jī)監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCC）7.1.3 集散控制系統(tǒng)（TDCTotal and Distributed Cont

3、rol） MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDCprocessprocessMISMISSCC集中調(diào)度控制中心集中調(diào)度控制中心 子調(diào)度控制中心子調(diào)度控制中心.圖圖7-3 集散控制系統(tǒng)（集散控制系統(tǒng)（TDC）7.2.1 采樣過程及其數(shù)學(xué)描述采樣過程及其數(shù)學(xué)描述7.2.2 采樣定理采樣定理7.2.3 采樣周期的選擇采樣周期的選擇 在采樣控制系統(tǒng)中將連續(xù)信號(hào)變?yōu)閿嗬m(xù)信號(hào)的過程在采樣控制系統(tǒng)中將連續(xù)信號(hào)變?yōu)閿嗬m(xù)信號(hào)的過程稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)這個(gè)采樣過程的裝置稱為采樣裝置稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)這個(gè)采樣過程的裝置稱為采樣裝置 ，如圖如圖7-47-4所示。所示。 e*（t） e（t） 圖圖7-4 采樣開

4、關(guān)采樣開關(guān)將斷續(xù)信號(hào)用如下數(shù)學(xué)式子表示將斷續(xù)信號(hào)用如下數(shù)學(xué)式子表示kkTtte)()(e*(t)=對(duì)離散信號(hào)對(duì)離散信號(hào)e*（t）取拉氏變換，可得取拉氏變換，可得E*(s)=Le*(t)= L 0)()(kkTtkTe0)(kkTsekte= 圖圖7-5 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e（t）與斷續(xù)信號(hào)與斷續(xù)信號(hào)e（t） 為了能不失真的從離散信號(hào)中恢復(fù)原有的連續(xù)信號(hào)，采樣頻率必須大于等于原連續(xù)信號(hào)所含最高頻率的兩倍，即 max2smax22 或 T(7-1)(7-2)理想濾波器 的濾波特性為 )(jG102/s2/s(7-3)其頻率特性如圖7-6)(jG2s2s- 圖圖7-6 理想濾波器的頻率特性理想濾波器的

5、頻率特性工程實(shí)踐表明，根據(jù)表工程實(shí)踐表明，根據(jù)表7-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。可以取得滿意的控制效果。 采樣周期采樣周期T（秒）秒） 1 5 5 20 20 控制過程控制過程 流量流量 壓力壓力 液位液位 溫度溫度 成分成分表表7-1 工業(yè)過程工業(yè)過程T的選擇的選擇隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為c10s由于T2 ，所以采樣周期可按下式選?。?scT15采樣周期T可通過單位接躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr或調(diào)節(jié)時(shí)間ts按下列經(jīng)驗(yàn)公式選?。簉tT101stT4017.3.1 零階保持器零階保持器7.3.2 一階保持器一階保持器 零階保持器是最常用的一種

6、保持器，它把采樣時(shí)刻的零階保持器是最常用的一種保持器，它把采樣時(shí)刻的采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時(shí)刻。如圖采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時(shí)刻。如圖7-7所示，零階保持器的輸出為階梯信號(hào)。所示，零階保持器的輸出為階梯信號(hào)。 Xh(t)Gh（s）x*(t)x(t)Ka)采樣開關(guān)采樣開關(guān) 保持器保持器圖圖7-7 零階保持器零階保持器由于由于 ，（，（k=0,1,2,）所以保持器的輸出所以保持器的輸出 與連續(xù)輸與連續(xù)輸入信號(hào)入信號(hào) 之間的關(guān)系式為之間的關(guān)系式為 )()(kTxkTxh)(txh)(tx0)( 1)( 1)()(khTkTtkTtkTxtx(7-4)的拉式變換則為的

7、拉式變換則為 01)()(kTskTshseekTxsX(7-5)上式與式（上式與式（7-1）比較后，知道零階保持器的傳遞函數(shù)為）比較后，知道零階保持器的傳遞函數(shù)為 sesGTsh1)(7-6) b)圖圖7-8 應(yīng)用零階保持器恢復(fù)信號(hào)應(yīng)用零階保持器恢復(fù)信號(hào)零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為 222222sin221)(TjTjTjTjTjheTTTjeeeTTjejG(7-7) 一階保持器以兩個(gè)采樣時(shí)刻的值為基礎(chǔ)實(shí)行外推，一階保持器以兩個(gè)采樣時(shí)刻的值為基礎(chǔ)實(shí)行外推，它的外推輸出式中它的外推輸出式中t為為kT到（到（k1）T之間的時(shí)間變量。之間的時(shí)間變量。如圖如圖7-7-9 9所示所示

8、 。 ) 1()()()(tTTkxkTxkTxtkTx(7-8)(txh)(tx)(tx0 t 2t 3t .圖圖7-9 應(yīng)用一階保持器恢復(fù)信號(hào)應(yīng)用一階保持器恢復(fù)信號(hào) 根據(jù)一階保持器脈沖響應(yīng)函數(shù)的分解，可得保持器根據(jù)一階保持器脈沖響應(yīng)函數(shù)的分解，可得保持器的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) TSTsTsTsheTseseTsesTsssG22222112211)(7-9)或或2)1)(1 ()(TseTTsGTssh(7-10)一階保持器的頻率特性為一階保持器的頻率特性為)(222)22sin()(1)1)(1 ()(TjTjheTTTTTjeTjTjG(7-11)7.4.1 Z變換變換7.4.2 Z變換

9、的性質(zhì)變換的性質(zhì)7.4.3 Z反變換反變換 7.4.1 Z變換由式（由式（7-1）可知，斷續(xù)函數(shù)）可知，斷續(xù)函數(shù)x*（t）的拉氏變換為的拉氏變換為 X*（S）= X(kT)e-kTS 0k(7-12)若令若令 eTS = Z (7-13)則將在則將在S域分析的問題變成域分析的問題變成Z域的分析問題。域的分析問題。 X ( Z ) = X(kT)Z-k 0k(7-14)X（Z）稱為稱為X*（t）的的z 變換，記為變換，記為 z )(* tXz = X(Z) = X(kT)Z-k )(* tX0k(7-15)在在Z變換中，變換中，X（Z）為采樣脈沖序列的為采樣脈沖序列的Z變換，即只考慮采變換，即只

10、考慮采樣時(shí)刻的信號(hào)值。由于在采樣時(shí)刻，樣時(shí)刻的信號(hào)值。由于在采樣時(shí)刻，X（t）的值就是的值就是X（kT）,所以從這個(gè)意義上說，所以從這個(gè)意義上說，X（Z）既是既是X*（t）的的Z變換，也變換，也可以寫為可以寫為X(t)的的Z變換，即變換，即Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k )(* tX)(tX0k(7-16)7.4.2 Z變換的性質(zhì)(1)(1)線性定理線性定理 z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + )()(2211txatxa(7-17)z = Zm )(mTtx10)()(mkkZkTxZX(7-18)z = Z-m X(Z) )(mTtx(7-19)式中式中a1,a2,為

11、常數(shù)。為常數(shù)。(2) 實(shí)平移定理實(shí)平移定理(3)復(fù)平移定理復(fù)平移定理 z )()(zextxeTt(7-20)例例 已知已知 , 求求X（Z）解解 tetxtsin)(1cos2sinsin2TZZTZt1cos2sinsin22TzezeTzeteTTTtzz(4)復(fù)域微分定理復(fù)域微分定理dZzdXTZttx)()(Z(7-21)例例 已知已知x(t)=t3 ,求求 X(Z)解解 32) 1() 1(zZZT42332) 1() 14() 1() 1(zZZZTzZZTdZdZt =2Zt =-TZ3(5)初值定理初值定理)(lim)0(ZXxz(7-22) 證明：由證明：由Z變換的定義有變

12、換的定義有.) 1 ()0()()(10ZxxZkxZXkk)(lim)0(Zxxz(6) 終值定理終值定理 )()1(lim)(1ZXZxz(7-23)7.4.3 Z反變換(1) 冪級(jí)數(shù)法冪級(jí)數(shù)法 通常通常Z變換表達(dá)式有如下形式：變換表達(dá)式有如下形式： 01110111.)(azazazabzbzbzbZXnnnnmmmm(7-24) 實(shí)際的物理系統(tǒng)滿足實(shí)際的物理系統(tǒng)滿足 n,則用綜合除法有則用綜合除法有 X(Z)= 0110.kknzczcc(7-25)由由Z變換的定義式可知變換的定義式可知 則則nCkTx)(0)()(*knkTtctx即為即為x(z)的原函數(shù)的原函數(shù)（2）部分分式法）部

13、分分式法部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將X（Z）/Z展開成展開成部分分式，部分分式，niiZZAiZZX1)(7-26)然后，查然后，查Z變換表，即可求取變換表，即可求取X（Z）的原函數(shù)的原函數(shù)x(kT)（3） 留數(shù)法留數(shù)法由由Z變換的定義式有變換的定義式有 X(Z)= X(kT)Z = x(0) + x(T)Z + x(2T)Z + 上式兩端乘以上式兩端乘以Z 有有K-1-k-1-2X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2 + + x(kT)Z-1 + (7-27)所以所以x(kT) =j21dzZZXk 1)(根據(jù)留數(shù)定理，則上

14、式可寫成：根據(jù)留數(shù)定理，則上式可寫成： x(kT) = Res 1)(kZZX7.5.1 描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程7.5.2 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)7.5.1 描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述 y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) (7-28)也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng)也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng) y(k+n) + a1y(k+n-1) + + an-1y(k+1)

15、 + any(k) = b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) (7-29)求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和Z變換法。變換法。（1 1）迭代法）迭代法 若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程式若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程式 （7-28） 或式（或式（7-29），并且給定輸出），并且給定輸出序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計(jì)算機(jī)上一步一步計(jì)序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計(jì)算機(jī)上一步一步計(jì)算出輸出序列。算出輸出序列。（2）Z變換法變換法若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程描述，則根據(jù)若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分

16、方程描述，則根據(jù)Z變變換的實(shí)位移定理，對(duì)差分方程兩邊取換的實(shí)位移定理，對(duì)差分方程兩邊取Z變換，再根據(jù)初始條變換，再根據(jù)初始條件及給定輸入控制信號(hào)的件及給定輸入控制信號(hào)的Z變換表達(dá)式，可求取離散控制系變換表達(dá)式，可求取離散控制系統(tǒng)輸出的統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式，再求輸出變換表達(dá)式，再求輸出Z變換的變換的Z反變換表達(dá)式，反變換表達(dá)式，即可求取離散控制系統(tǒng)輸出的實(shí)域表達(dá)式即可求取離散控制系統(tǒng)輸出的實(shí)域表達(dá)式Y(jié)(K)。7.5.2 脈沖傳遞函數(shù)1. 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖一離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖7-10所示。所示。 G(s)r*( t ) r ( t ) y*( t ) y (

17、 t ) 圖圖7-10 開環(huán)離散控制系統(tǒng)開環(huán)離散控制系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出Y*(t)的的Z變換變換Y(Z)與輸入與輸入r*(t)的的Z變換變換R(Z)之比。脈沖傳遞函數(shù)用之比。脈沖傳遞函數(shù)用G(Z)表示，則表示，則)()()(ZRZYZG(7-30)假定動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數(shù)為假定動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數(shù)為h(t)。該環(huán)節(jié)的輸入該環(huán)節(jié)的輸入為為r*(t)0)()()(*nnTtnTrtr(7-31)利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個(gè)脈沖作用在線性環(huán)利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個(gè)脈沖作用在線性環(huán)節(jié)節(jié)G(s)上，其輸出上，其輸出Y

18、(t)為為y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t T) +.+r(nT)h(t nT) +(7-32)將輸出信號(hào)離散化，得到將輸出信號(hào)離散化，得到y(tǒng)(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h(k-1)T+r(nT)h(k-n)T + = r(nT)h(k-n)T(7-33)上式兩邊用乘以上式兩邊用乘以eKTS，并求和，得到并求和，得到KTSKKKTSkKTSeTnKhnTreKThreKTY000)()()()0()(7-35)考慮到前面的給定，當(dāng)考慮到前面的給定，當(dāng)t 0 時(shí)，時(shí)，h ( t )=0 ，于是有于是有00)()()()()0()()0()()()() 1()(KKTSTS

19、KTSTSTSTSKTSkeKTheTreKTheThheTrehTrThTreTKhTr(7-36)同理有：同理有：00)()()()(KKTSnTSKTSKeKThenTreTnKhnTr(7-37)所以所以00)()()0()(KKTSnTSKTSKeKThenTrreKTY(7-38)采樣周期與所用時(shí)間變量文字描述無關(guān)，則上式可改寫為采樣周期與所用時(shí)間變量文字描述無關(guān)，則上式可改寫為000)()()(KKTSKKTSKKTSeKTheKTreKTY(7-39)即即)(*)(*)(*sGsRsY(7-40)0)()(*KKTSeKThsG式中式中 (7-41)若令式中若令式中Z = eT

20、S , 則可知?jiǎng)t可知)()()(ZGZRZY又因又因 G ( s ) = h ( t )(7-42) G (Z) = z zG ( s ) (7-43)2. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 1） 兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的連接兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的連接 圖圖7-11 串連環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)串連環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān) r*(t) Y(t) Y*(t)G1(s)G2(s)等價(jià)于下圖等價(jià)于下圖G1(s)G2(s) r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) 圖圖7-12 等價(jià)開環(huán)離散系統(tǒng)等價(jià)開環(huán)離散系統(tǒng) 有有)()()(ZRZYZG)()(21sGsGz z (7-44) 將將

21、z z 記為記為G G1 1G G2 2(Z)(Z)()(21sGsG)(21ZGG)()(21sGsGz z (7-45)2) 串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)連接，且采樣開關(guān)都是同步采樣串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)連接，且采樣開關(guān)都是同步采樣，如圖，如圖G1(s)G2(s) r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) Y1*(t) 圖圖7-13 串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān))()()(11ZRZYZG)(1SGz z )()()(12ZYZYZG)(2SGz z 所以所以 )()()()()(21ZGZGZRZYZG(7-46) 3. 帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)

22、的脈沖傳遞函數(shù)G1(s)seTS1 r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) 圖圖7-7-14 14 帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)由脈沖傳遞函數(shù)的定義有由脈沖傳遞函數(shù)的定義有G(Z) =G(Z) =z z )(11sGseTS= z z )()(111sGsesGsTS(7-47)()1 ()(11ZGZZG即即(7-48)4.4.閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e(t)e(t) e e* *(t)(t) d(t)d(t) b(t)b(t) Y Y* *(t)(t)Y(tY(t) )-+ 圖圖

23、7-15 帶干擾的閉環(huán)線性離散控制系統(tǒng)帶干擾的閉環(huán)線性離散控制系統(tǒng)假定假定d(t)=0,得到如圖得到如圖7-24所示的結(jié)構(gòu)圖所示的結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e e* *(t)(t) Y Y* *(t)(t)Y(tY(t) ) 圖圖7-16 線性閉環(huán)離散控制系統(tǒng)線性閉環(huán)離散控制系統(tǒng) 根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可知根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可知)()()(21ZEZGGZY(7-49)()()(ZBZRZE(7-50)()()(21ZEZHGGZB(7-51)將（將（7-72）代入（）代入（7-71），有），有)()()()(21ZEZHGGZRZE(7-52)()(11)(21

24、ZRZHGGZE于是得到：于是得到： (7-53)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(Z)為為)(11)()()(21ZHGGZRZEZGe(7-54)將式（將式（7-54）代入式（）代入式（7-49），有），有)()(1)()(2121ZRZHGGZGGZY(7-55)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)GB(Z)為為)(1)()()()(2121ZHGGZGGZRZYZGB(7-56)7.6.1 線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 7.6.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)7.6.3 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散控制系統(tǒng)的

25、穩(wěn)態(tài)誤差7.6.1 線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，如圖線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，如圖7-17所示所示 G（s） r(t) y* (t) y (t)_ 圖圖7-17 線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)可求得為：可求得為： GB（Z）= )(1)(ZGZG(7-57)則線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為則線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為 1+G(Z)=0 (7-58)考察下式考察下式 Z = eTs (7-59)假定在假定在s平面上任有一點(diǎn)平面上任有一點(diǎn) s=+j +j (7-60)則通過則通過Z變換，映射到變換，映射到Z平面為平面為 Z= eT .ej T (7-

26、61) 當(dāng)當(dāng)=0，即即s平面的虛軸，對(duì)應(yīng)平面的虛軸，對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓。平面的單位圓。 當(dāng)當(dāng)0，.即右半即右半s平面對(duì)應(yīng)平面對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓外部區(qū)域平面的單位圓外部區(qū)域，也即，也即s平面不穩(wěn)定域映射到平面不穩(wěn)定域映射到Z平面單位圓外的部分為不平面單位圓外的部分為不穩(wěn)定域。上面映射關(guān)系如圖穩(wěn)定域。上面映射關(guān)系如圖7-31所示。所示。 線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散線性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程（閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程（7-58）的根的模小于）的根的模小于1，則線性，則線性離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 Re Re Im Im 圖圖

27、7-18 s平面到平面到Z平面映射平面映射7.6.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 閉環(huán)零極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系閉環(huán)零極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系: 通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下形式形式 GB(Z)=K =K )()(zQzPnkkimiPzzz11)()(7-62) 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍時(shí)，其系統(tǒng)輸出當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍時(shí)，其系統(tǒng)輸出Y（Z）為為Y(Z)=K nkkimiPzzz11)()(1zz(7-62)展開成部分分式，有展開成部分分式，有Y(Z)=K + ) 1 () 1 (QP1zznkkkPzzC1(7-63).(7-64)式中式中C

28、k= K )() 1()(.kkkpQPPP閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響 1) Pk為正實(shí)根，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量為正實(shí)根，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量Yk(nt)= Z Z 1 =CkPknkkPzzC令令Pk=e aT , a= lnPk 則則T1yk(nT) = Cke anT (7-65) 若若Pk=1，即閉環(huán)極點(diǎn)位于右半即閉環(huán)極點(diǎn)位于右半Z平面上圓周上，閉環(huán)平面上圓周上，閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為等幅脈沖。系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為等幅脈沖。 若若Pk1 , 則閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，此時(shí)則閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，此時(shí)a 1，閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓外，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓外，此時(shí)a0, 則輸出則輸出響

29、應(yīng)呈指數(shù)響應(yīng)呈指數(shù)z增加狀。增加狀。2) 2) 當(dāng)當(dāng)Pk為負(fù)實(shí)根，則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量為為負(fù)實(shí)根，則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量為 yk(nT) = CkPkn (7-66) 若若Pk= -1,輸出響應(yīng)分量輸出響應(yīng)分量Yk（nT）對(duì)應(yīng)圖對(duì)應(yīng)圖7-39中中d點(diǎn)波點(diǎn)波形，呈等幅跳躍輸出。形，呈等幅跳躍輸出。 若若|Pk|1，輸出響應(yīng)分量輸出響應(yīng)分量Yk（nT）對(duì)應(yīng)圖對(duì)應(yīng)圖7-39中中d點(diǎn)波點(diǎn)波形，呈發(fā)散跳躍變化。形，呈發(fā)散跳躍變化。 3) 當(dāng)當(dāng)Pk,Pk+1為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),為為Pk= Pk+1= kjkePkjkeP(7-67)此時(shí)此時(shí),Ck,Ck+1也為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)也為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)Ck= Ck+

30、1= kjkePkjkeP(7-68)則它們對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量則它們對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量Yk,k+1（nT）為為 yk,k+1(nT)= + = 2 )(kknjnkkePC)(kknjnkkePC)cos(kknkknPC(7-69) 若若|Pk|1，則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為發(fā)散正弦振蕩，對(duì)則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為發(fā)散正弦振蕩，對(duì)應(yīng)圖應(yīng)圖7-40中中b點(diǎn)對(duì)應(yīng)的波形。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的波形。Im Re xb xb xa xa 圖圖7-19 閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)7.6.3 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于如圖對(duì)于如圖7-20所示的單位反饋的閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈所示的單位反饋的閉環(huán)離散系統(tǒng)

31、的誤差脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù)Ge（Z）為為G（s） r(t) y (t)e*(t) -Ge(Z )= )(11zG(7-70)圖圖7-20 單位反饋閉環(huán)離散系統(tǒng)單位反饋閉環(huán)離散系統(tǒng)所以所以 E(Z )= R(Z) )(11zG由終值定理，有由終值定理，有 )(1)() 1(lim)(1zGzRzez(7-71)(7-72)與連續(xù)系統(tǒng)類似，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在與連續(xù)系統(tǒng)類似，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在Z=1的極點(diǎn)的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)而分為的個(gè)數(shù)而分為0型、型、1型、型、2型型系統(tǒng)。系統(tǒng)。 7.7.1 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的 7.7.2 G(z)具有單位圓上和單位圓外零極具有單

32、位圓上和單位圓外零極 點(diǎn)的情況，數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)點(diǎn)的情況，數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) 7.7.3 無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)D(z)G(z)7.7.1 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì) R(t) Y(t)-圖圖7-21 數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對(duì)于如圖對(duì)于如圖7-21所示的系統(tǒng)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可求得為所示的系統(tǒng)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可求得為 G B(z) = )()(1)()(zGzDzGzD(7-73)D(z)= )(1)()(zGzGzGBB(7-74) 設(shè)計(jì)出的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)出的數(shù)字控制器D(z)，還必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條還必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件：數(shù)字控制

33、器件：數(shù)字控制器D(z)分子多項(xiàng)式的階次不得大于分母多項(xiàng)分子多項(xiàng)式的階次不得大于分母多項(xiàng)式的階次；式的階次；D(z)沒有單位圓上（除有一個(gè)沒有單位圓上（除有一個(gè)z=1的極點(diǎn)外）和的極點(diǎn)外）和單位圓外的極點(diǎn)。單位圓外的極點(diǎn)。設(shè)給定系統(tǒng)輸入為設(shè)給定系統(tǒng)輸入為 r(t)= t p (7-75)則其則其z變換表達(dá)式為變換表達(dá)式為 R(t)= rzzA)1 ()(11(7-76) 式中式中r=p+1，且且A(z -1)為為z -1的多項(xiàng)式，沒有的多項(xiàng)式，沒有z=1的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù) Ge(z)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GB(z)存存在以下關(guān)系在以下關(guān)系:

34、: Ge(z)=1 - GB(z) (7-77)E(z)=1 - GB(z) R(z) (7-78)根據(jù)終值定理根據(jù)終值定理 e ()= (1-z 1) 1 - GB(z) 1limzrzzA)1 ()(11(7-79)為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，可令為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，可令 1 - GB(z) =(1-z 1)r F(z 1) (7-80)式中式中F(z 1)在在z=1處無零點(diǎn)處無零點(diǎn) GB(z) =1 - (1-z 1)r F(z 1) = = rrrzzFzz)() 1(1rBzzP)(7-81)111 z1z)1)(11 zzGz211)1 ( zTz212 zz2211)1)()2(

35、zzGzz31112)1 ()1 (zzzT32133zzz31321)1)(33zzGzzz典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器D(z)最 少 拍（T） 1(t) 1T t 2T t2 3T表表7-2 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果 7.7.2 G(z)具有單位圓上和單位圓外零極點(diǎn)時(shí)數(shù)字控制器 的設(shè)計(jì)(7-82) 當(dāng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)有單位圓上或單位圓外零有單位圓上或單位圓外零點(diǎn)時(shí)，由式點(diǎn)時(shí)，由式 D(z)= )()()(zGzGzGeB 可知它必將成為數(shù)字控制器的極點(diǎn)，可知它必將成為數(shù)字控制器的極點(diǎn)，D(Z)將不穩(wěn)定，將不穩(wěn)定，其物理實(shí)現(xiàn)不可

36、能其物理實(shí)現(xiàn)不可能。 為此，令為此，令G GB B(z)(z)包含包含z z 11因子因子GB(z)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在單位圓上和單位圓外的在單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)。零點(diǎn)。 Ge(z)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在單位圓上和單位圓外的在單位圓上和單位圓外的極點(diǎn)。極點(diǎn)。由關(guān)系式由關(guān)系式GB(z)=1- Ge(z)，求解有關(guān)待定系數(shù)，最后選定求解有關(guān)待定系數(shù)，最后選定GB(z)和和Ge(z)。7.7.3 無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 波紋即系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而在兩個(gè)采樣波紋即系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而在兩個(gè)采樣時(shí)刻間輸出在變化，如圖時(shí)刻間輸出在變化，如圖7-22所示所示0 T 2T 3T 4T t y(t) 圖圖7-22 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出如如 :系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為圖7-23所示所示)(zDseTs1) 1(10ss E1(z) E2(z)r(t) y(t) 圖圖7-23 一個(gè)實(shí)際的數(shù)字控制系統(tǒng)一個(gè)實(shí)際的數(shù)字控制系統(tǒng)G(z)= )368. 01)(1