矩陣構(gòu)造對奇異值分解信號處理效果的影響

1、矩陣構(gòu)造對奇異值分解信號處理效果的影響摘 要一維信號一般可以構(gòu)造兩種矩陣,第一種矩陣是通過對信號的連續(xù)截?cái)鄟順?gòu)造的,第二種則為重構(gòu)吸引子矩陣.文中從理論上證明了在這兩種矩陣方式下,奇異值分解都可以將信號表示為一系列分量信號的線性疊加,但是第一種矩陣獲得的分量信號是彼此正交的,而第二種矩陣獲得的分量信號則不具有正交性.兩種矩陣的結(jié)構(gòu)都可以利用分量信號信息量的變化趨勢來合理地確定.對一個(gè)銑削力信號的處理結(jié)果表明,第一種矩陣分離出了機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)基頻完整的時(shí)域波形,分辨出了兩個(gè)頻率很接近的信號分量,發(fā)現(xiàn)了信號中隱含的調(diào)幅現(xiàn)象;而第二種矩陣則揭示了切削過程中由于材料顆粒不均勻和間隙而產(chǎn)生的對刀具的微弱沖

2、擊現(xiàn)象.關(guān)鍵詞：奇異值分解;矩陣構(gòu)造;正交;信號處理;特征提取正文奇異值分解(SVD)是指:對于一個(gè)實(shí)矩陣 ，必定存在正交矩陣 和 ，使得 (1)成立，其中 ， ,O為零矩陣,p=min(m,n),且稱為矩陣A的奇異值. SVD方法在信號與圖像處理、語音識別、特征提取與故障診斷等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。將SVD應(yīng)用于信號處理的關(guān)鍵是如何利用信號序列構(gòu)造出合適的矩陣A.利用一維信號來構(gòu)造矩陣,一般有兩種方法,一種是通過對信號的連續(xù)截?cái)鄟順?gòu)造矩陣,另一種是利用信號構(gòu)造一個(gè)重構(gòu)吸引子矩陣.在一般利用SVD進(jìn)行信號處理的文獻(xiàn)中,大都著重于從實(shí)用出發(fā),利用SVD實(shí)現(xiàn)對信號的一種分解,并基于這種分解解決某種特

3、定問題,而未具體從SVD的性質(zhì)出發(fā)討論其信號分解特性。鑒于此,文中對這兩種矩陣方式下SVD的信號分解特性進(jìn)行研究,證明了它們都是一種由分量信號的簡單線性疊加來構(gòu)成原始信號的分解過程,具有零相位偏移特性。由于U、V是正交矩陣,容易使人認(rèn)為利用SVD方法獲得的信號分量之間彼此獨(dú)立、具有正交性,但事實(shí)并非如此。文中對此問題從理論上進(jìn)行了分析,證明了通過第一種矩陣方式獲得的分量信號是正交的,而通過第二種矩陣方式獲得的分量信號并不具有正交性。無論是哪一種矩陣,如何確定矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n都是一個(gè)重要的問題,這對SVD的分析效果有很大的影響。Kanjilal等針對存在周期分量的信號,提出了通過奇異值比(S

4、VR)譜來確定m和n的方法,將SVR譜定義為隨n取值的不同而變化的譜。若在SVR譜上存在明顯的峰值,則說明信號中存在周期分量,此時(shí)對應(yīng)的m和n即為所求,但是在很多情況下(例如信號由多個(gè)周期分量組成或噪聲較嚴(yán)重時(shí)),該方法的效果并不明顯。這主要是由于該方法只利用前兩個(gè)奇異值的信息,而沒有考慮后面所有奇異值的信息,這未免有失偏頗.由于奇異值的大小決定相應(yīng)分量信號的信息量,因此綜合考慮所有奇異值的信息來確定矩陣結(jié)構(gòu)應(yīng)該更為合理。文中首先通過分析所有分量信號信息量的變化趨勢來確定合理的矩陣結(jié)構(gòu)；然后通過這兩種矩陣,利用SVD從銑削力信號中提取銑削過程的狀態(tài)信息,并比較這兩種矩陣方式的實(shí)際處理效果。結(jié)果

5、表明,利用第一種矩陣可以從銑削力信號中分離出機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)基頻近乎完整的時(shí)域波形,能分辨兩個(gè)頻率很接近的信號分量,并發(fā)現(xiàn)信號中隱含的調(diào)幅現(xiàn)象,證實(shí)了機(jī)床的爬行并確定爬行頻率；而利用第二種矩 則獲得了良好的消噪和弱信號提取效果,發(fā)現(xiàn)了切削過程中由于工件材料顆粒不均勻和間隙而引起的對刀具的微弱沖擊現(xiàn)象。一、 第一種矩陣構(gòu)造方法及其分量信號的特對一維信號 ,取兩個(gè)正整數(shù)m和n,對此信號按每次n個(gè)點(diǎn)連續(xù)截取m段,構(gòu)造一個(gè)m行n列的矩陣A如下: 其中m2,n2且n=int(N /m ).為了利用SVD實(shí)現(xiàn)信號的分離,將式(1)改寫成用列向量 和 表示的形式: (2)式中：，由SVD理論可知, 之間是兩兩正

6、交的, 之間也是兩兩正交的。令，則，從A的構(gòu)造過程可知,只要將的各行首尾相接,就可以構(gòu)成一個(gè)分量信號，而所有則形成了對原始信號X的一個(gè)分解。設(shè)可用行向量表示,；而A用行向量表示,，則根據(jù)式(2),A的每個(gè)行向量顯然等于的相應(yīng)行向量的疊加,即 （3）由于原信號X是由首尾相接而成,可用向量形式表示,而分量信號由首尾相接而成,也可用向量形式表示,則所有分量信號的和可寫為，根據(jù)式(3),有 (4)由式(4)可見,原始信號是所有分量信號的簡單線性疊加,從原信號中分離一個(gè)分量信號的過程就是從原信號中減去該分量信號,從而使得分離出來的各分量信號保持它們在原信號中的相位不變,即具有零相位偏移特性。二、 第二種

7、矩陣構(gòu)造方法及其分量信號的特性第二種矩陣為重構(gòu)吸引子矩陣,也稱Hankel矩陣,它可利用信號構(gòu)造如下:其1nN。對于這種矩陣,也可以利用式(2)通過計(jì)算來得到一組分量信號,不過此時(shí)在式(2)中，而p=min(N-n+1,n)。同樣可用行向量表示，且兩個(gè)相異矩陣和的行向量也滿足式(6),其證明過程完全相同。然而分量信號卻不是由的行向量首尾相接而成,根據(jù)此矩陣的構(gòu)造,分量信號將由的第一個(gè)行向量和一個(gè)列向量(如圖1所示)的轉(zhuǎn)置首尾相接而成,即其中。根據(jù)的這一特點(diǎn),在編程實(shí)現(xiàn)時(shí),沒有必要計(jì)算的全部行列,而只需計(jì)算的第一行和最后一列。而所有（1ip）按照此方式構(gòu)成的分量就形成了對原始信號X的一個(gè)分解。圖

8、1 分量信號的形成示意圖可以證明,這些分量與原始信號X之間滿足式(4),也構(gòu)成了對原始信號的一種簡單線性疊加,證明過程相似,因此不再贅述.三、 矩陣結(jié)構(gòu)的確定無論是哪種矩陣,其m和n的取值對信號處理的效果都有著重要的影響。在滿足m2、n2的條件下,當(dāng)信號長度N較大時(shí),m和n的取法相當(dāng)多,m和n的取值不同,則信號的SVD分離效果會有很大區(qū)別,因此如何選擇m和n是一個(gè)關(guān)鍵問題。至今還沒有一個(gè)好的辦法來解決此問題,Kanjilal等提出的奇異值比(SVR)譜方法也有嚴(yán)重的局限性,更普遍的情況下采取的方法是根據(jù)具體信號選擇不同的m和n進(jìn)行試湊,并觀察和分析所得到的各組的特征,以期獲得一組滿意的分量。這

9、種試湊需要大量的計(jì)算,并且嚴(yán)重依賴使用者的信號分析經(jīng)驗(yàn)。對于按照式(2)分離出來的各個(gè)分量信號,其中包含的信息量是彼此不同的,具體由相應(yīng)奇異值的大小決定, 越小,則相應(yīng)的信息量也越小,可以用式(10)來綜合衡量的信息量: (10)而信息量過小的信號分量實(shí)際上是沒有多大意義的,據(jù)此可以合理地確定矩陣行列。方法如下:取一系列不同的行數(shù)m構(gòu)造矩陣,利用相應(yīng)矩陣的奇異值計(jì)算各分量信號的信息量,并觀察它們的變化趨勢。如果不論m取何值,從某一信息量開始的后續(xù)信息量都趨向于零,則表明第i個(gè)分量之后的其它分量并沒有多大意義,此時(shí)可確定矩陣行數(shù)m=i,而對于列數(shù),第一種矩陣為n=int(N / m ),第二種矩

10、陣為n=N-m+1。該方法的優(yōu)點(diǎn)是,無需計(jì)算和分析各分量信息量,而僅利用奇異值進(jìn)行判斷,從而大大減少了計(jì)算量和分析工作,并且綜合考察了全部奇異值的信息,克服了SVR譜中只利用前兩個(gè)奇異值信息的不足。四、 從銑削力信號中提取銑削過程狀態(tài)信息銑削力信號中包含了銑削過程豐富的狀態(tài)信息,如銑床主軸旋轉(zhuǎn)速度信息、銑床振動信息、多刃銑削速度信息和工作臺的爬行信息,如何從銑削力信號中獲得并分離出這些信息是一個(gè)值得研究的問題。經(jīng)典的頻譜分析方法對該問題的解決效果并不是很好,文中借助這兩種矩陣,利用SVD方法來處理此問題,并比較兩種矩陣方式的實(shí)際處理效果。圖2(a)是在一臺銑床上利用四刃立銑刀進(jìn)行銑削時(shí)測得的一

11、個(gè)銑削力信號,采樣頻率為6000Hz,一共采集了2048點(diǎn)數(shù)據(jù)。此信號的功率譜如圖2(b)所示,其頻率成分見表1。從表1中可見該信號有3個(gè)頻率,其中20.5078Hz是由機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的,是信號的基頻；而38.0859Hz近似為基頻的2倍,這主要是因主軸軸承變形導(dǎo)致主軸對中不良而產(chǎn)生的振動頻率；76.1719Hz近似為基頻的4倍,是由四刃立銑刀產(chǎn)生的.經(jīng)典的頻譜分析方法只能獲得這3個(gè)頻率。圖2 一個(gè)銑削力信號及其功率譜表1 原始信號及其分量的主要頻率成分1. 第一種矩陣構(gòu)造方式的信號處理結(jié)果利用此銑削力信號構(gòu)造第一種矩陣,首先需要確定合理的矩陣行數(shù)。分別取行數(shù)m=3、4、5、6、7、8,利用

12、圖2(a)所示信號構(gòu)造矩陣并對這些矩陣進(jìn)行奇異值分解,得到6組奇異值,再利用它們計(jì)算得到6組分量信號的信息量變化過程,結(jié)果如圖3所示。從圖3中可知,隨著矩陣行數(shù)m的增加,信息量趨向于零的分量信號個(gè)數(shù)隨之增加,在m=5、6、7、8的情況下,從第4個(gè)分量信號開始,之后的其它分量信號的信息量都已經(jīng)趨向于零了?？梢姰?dāng)m增大時(shí),雖然分量信號個(gè)數(shù)增多,但是對圖2(a)所示信號而言,其中信息量較大的分量信號基本上維持在4個(gè),這說明利用此信號來構(gòu)造矩陣,當(dāng)矩陣行數(shù)m>4時(shí)并沒有多大意義,只會增加無謂的計(jì)算量,因而可以確定以行數(shù)m=4來構(gòu)造矩陣。圖3第一種矩陣取不同行數(shù)時(shí)各分量信號的信息量變化趨勢根據(jù)以上

13、分析,將圖2(a)所示信號分為4段,每段長度為512點(diǎn),從而構(gòu)造一個(gè)4行512列的矩陣,對此矩陣進(jìn)行奇異值分解,利用分解結(jié)果計(jì)算得到4個(gè)分量,各分量及它們的功率譜如圖4所示,其頻率成分見表1。 圖4 m=4時(shí)第一種矩陣得到的分量信號及其功率譜。左）分量信號的時(shí)域波形，右）分量信號的功率譜從圖4和表1可見, 主要由兩個(gè)頻率成分構(gòu)成:一個(gè)是對中不良產(chǎn)生的2倍頻振動頻率38.0859Hz；另一個(gè)是73.2422Hz,它與銑削頻率76.1719Hz相當(dāng)接近,由于快速傅立葉變換(FFT)的分辨率原因,此頻率成分并沒有在原信號的功率譜中顯示出來,但是通過SVD方法處理后,它被分辨出來了。由于銑削力受機(jī)床傳

14、動系統(tǒng)的影響很大,這一頻率成分很有可能來自傳動系統(tǒng)。此結(jié)果說明, SVD方法具有很高的頻率分辨率,能夠分離出頻率成分相當(dāng)接近的信號。只有20.5078Hz頻率成分,在中也含有此頻率成分,但是此頻率在與S4中的幅值之比為0.3576 /0.0086=41.58,可見中該頻率的幅值相當(dāng)小,可以忽略,這說明SVD方法將基頻振動的波形近乎完全地分離到了中。眾所周知,頻域分析必須與時(shí)域波形識別緊密結(jié)合,因?yàn)橥瑯语@示在頻譜圖上同一頻率處的譜線,其時(shí)域波形卻有可能由于振動的線性或非線性而產(chǎn)生較大的差異。觀察時(shí)域波形,可以看到分量是一個(gè)幾乎完好的正弦波形,沒有非線性振動所產(chǎn)生的波形削頂現(xiàn)象。的主要成分為銑削頻

15、率76.1719Hz,容易計(jì)算出它的另外兩個(gè)頻率70.3125Hz和82.0312Hz與此頻率的差值都約為5.859Hz,這種相等的頻率差表明這兩個(gè)頻率是因調(diào)幅而產(chǎn)生的邊頻,因此分離出來的是一個(gè)調(diào)幅信號,載波是銑削頻率76.1719Hz,而被調(diào)制的緩變信號頻率為5.859Hz。結(jié)合機(jī)床特性進(jìn)行分析,該緩變頻率應(yīng)該是工作臺的爬行頻率.爬行是因工作臺和導(dǎo)軌面之間的摩擦而引起的一種自激振動,一般如果導(dǎo)軌面間的動靜摩擦系數(shù)差別較大、傳動裝置的剛度較低,則容易產(chǎn)生爬行現(xiàn)象。本次試驗(yàn)所用的機(jī)床確實(shí)存在此問題,而分離出來的則證明了機(jī)床中爬行的存在并確定了其準(zhǔn)確頻率。反映了與相同的調(diào)幅現(xiàn)象,但是各頻率的幅值則

16、小很多,并且疊加了一個(gè)基頻振動,此基頻振動的幅值與相比,也是很微弱的,因此,這一分量沒有什么特別之處?？梢?采用第一種矩陣構(gòu)造方式,通過SVD方法可以分離出銑削力信號中基頻振動近乎完整的時(shí)域波形,能分辨出兩個(gè)頻率很接近的信號分量,發(fā)現(xiàn)信號中隱含的調(diào)幅現(xiàn)象,證實(shí)了機(jī)床的爬行現(xiàn)象并確定爬行頻率,這些結(jié)果都是經(jīng)典的頻譜分析所不能得到的.由于SVD方法是一種線性分離方法,因此各分量沒有相位失真,這是一般的恒帶寬濾波器組難以實(shí)現(xiàn)的。2. 第二種矩陣構(gòu)造方式的信號處理結(jié)果圖5 第二種矩陣取不同行數(shù)時(shí)各分量信號的信息量變化趨勢首先確定矩陣合理的行數(shù).分別取行數(shù)為3、4、5、6,利用圖2(a)所示的銑削力信號

17、構(gòu)造第二種矩陣,通過SVD方法處理后得到4組分量信號的信息量的變化趨勢如圖5所示。從圖5中可見,與第一種矩陣有明顯區(qū)別的是,在這種矩陣中,不管行數(shù)取為多少,對于每組分量信號,從第二個(gè)分量開始,各分量的信息量明顯地趨向于零,而原信號的主要信息都明顯地集中在第一個(gè)分量中,但是如果取行數(shù)為2則顯得太小,因此文中取行數(shù)為3,通過SVD方法分離后得到3個(gè)分量信號如圖6(a)所示。圖6 行數(shù)不同時(shí)第二種矩陣得到的各分量信號由圖6(a)可見,在頻率分離方面,第二種矩陣的分解結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)遜色于第一種矩陣,原始信號的主要頻率成分仍然保持在S1中沒有被分離出來。的功率譜如圖7所示,其頻率成分見表2,可見的主要頻率成分

18、與原信號完全一致,且其幅值的變化非常小,這也驗(yàn)證了圖5所反映的原始信號的信息量基本上都體現(xiàn)在第一個(gè)分量中這一現(xiàn)象。圖7 分量信號的功率譜雖然和的主要成分為高頻噪聲,但是除此之外還存在很多的沖擊成分,這種沖擊顯然不是噪聲,因?yàn)樗鼈冊?、中的位置具有對?yīng)性,而噪聲不可能有這么規(guī)律的位置對應(yīng)關(guān)系。這種沖擊應(yīng)當(dāng)是銑削過程中由于工件材料顆粒不均勻和顆粒間隙而產(chǎn)生的對刀具的沖擊,不過其幅度很微小,因而被淹沒在原始信號中難以被覺察出來,但是利用第二種矩陣,通過SVD方法卻可以將它們顯示出來,這說明第二種矩陣具有弱信號提取特性。另一方面,從信號分離的角度來看,采用第二種矩陣難以實(shí)現(xiàn)不同頻率成分的有效分離,但是如

19、果從消除噪聲的角度來看,采用第二種矩陣則能獲得良好的噪聲消除效果。盡管原銑削力信號本來就具有很高的信噪比,但是其中那些微弱的高頻噪聲還是被進(jìn)一步分離到、中, 為消除了噪聲的結(jié)果,而且這些分量還具有零相位偏移特性,因此去除噪聲后的沒有相位失真,是一種零相位消噪方法。作為對比,文中還給出了第二種矩陣行數(shù)為4時(shí)的分解結(jié)果,如圖6(b)所示,可見這種分解的效果并不比行數(shù)為3時(shí)好,原信號的主要頻率成分仍然保持在中沒有被分離,的頻率成分見表2,而、除了高頻噪聲和沖擊信息外,也沒有分離出其它更多的信息,因此取行數(shù)4是沒有必要的,只會增加無謂的計(jì)算量。這證明了通過對信息量變化趨勢的分析而確定的矩陣行數(shù)是合理的

20、。表2 原始信號和分量信號S1的頻率對比五、 結(jié)論(1)對于兩種矩陣構(gòu)造方式,利用SVD方法都可以將一個(gè)信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加,這些分量具有零相位偏移特性,不存在相位失真。(2)采用第一種矩陣獲得的分量信號彼此獨(dú)立,兩兩正交,而采用第二種矩陣獲得的分量信號之間則存在相關(guān)性。(3)對于兩種矩陣,根據(jù)所有分量信號的信息量變化趨勢都可以確定合理的矩陣結(jié)構(gòu)。(4)在信號處理的實(shí)際效果方面,第一種矩陣具有良好的頻率分辨率,在故障特征分離方面具有較好的優(yōu)勢;而第二種矩陣則具有良好的消噪效果,能夠有效地消除信號中的隨機(jī)噪聲,并且還具有弱信號提取能力。參考文獻(xiàn):1 Golub G H,Vanl

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