第4.3節(jié)_隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣原點矩、中心矩原點矩、中心矩 前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于二維隨機變量（對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論），我們除了討論X與與Y的數(shù)學期望和方差以外，還要討論描述的數(shù)學期望和方差以外，還要討論描述X和和Y之間之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) E X-EXY-EY稱為隨機變量稱為隨機變量X和和Y的協(xié)方的協(xié)方差差,記為記為cov

2、(X,Y) ，即即 一、協(xié)方差一、協(xié)方差cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY1.定義定義 1) 當當(X,Y)是離散型隨機變量時是離散型隨機變量時, 2) 當當(X,Y)是連續(xù)型隨機變量時是連續(xù)型隨機變量時, .),()(),cov(dxdyyxfEYyEXxYX,)( )(),cov(ijjijipEYyEXxYX(6) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) (5) cov(aX, bY) = ab cov(X,Y) a, b 是常數(shù)是常數(shù)(7) D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)(4) cov(aX+b, Y) = a co

3、v(X,Y) a, b 是常數(shù)是常數(shù)2.簡單性質(zhì)簡單性質(zhì)(3) cov(X,Y)= cov(Y,X)(2) cov(X,X)= D(X)(1) cov(X,C)= 0, C為常數(shù)；為常數(shù)； 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互間相互間的關(guān)系，但它還受的關(guān)系，但它還受X與與Y本身度量單位的影響本身度量單位的影響. 為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這就引入了就引入了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) .二二、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù) 為隨機變量為隨機變量 X 和和 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) .定義定義: 設(shè)設(shè)D(X)0, D(Y)0,)()

4、(),(covYDXDYXXY稱稱在不致引起混淆時在不致引起混淆時，記記 為為 .XY 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 證證: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)對任意實數(shù) b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y )令令，則上式為，則上式為 D(Y- bX)= )(),(cov)(2XDYXYD)()(),(cov1)(2YDXDYXYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1 0, 所以所以 | 1。2|)(),(covXDYXb 2.1XY存在常數(shù)存在常數(shù) a,b(b0)， 使使

5、PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).3. X和和Y獨立時，獨立時， =0，但其逆不真，但其逆不真 .由于當由于當X和和Y獨立時，獨立時，cov(X,Y)= 0, 故故)()(),(covYDXDYX= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 獨立獨立.例例1 設(shè)設(shè)XN(0,1), Y=X2, 求求X和和Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。證證:4. 若若 ，則，則稱稱X和和Y（線性）不相關(guān)。（線性）不相關(guān)。0XY定理：定理：若隨機變量若隨機變量X與與Y的數(shù)學期望和方差都存的數(shù)學期望和方差都存在，且均不為零，則下列四個命題等價：在，且均不為零，則下

6、列四個命題等價：0XY（1） ； （2）cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY。 注：注： 反應(yīng)了反應(yīng)了X與與Y的線性關(guān)系密切程度；的線性關(guān)系密切程度；X與與Y不相關(guān)不相關(guān) 表明兩者沒有線性關(guān)系，但不等于說沒有其他關(guān)系。表明兩者沒有線性關(guān)系，但不等于說沒有其他關(guān)系。XY但可以證明對下述情形，獨立與不相關(guān)等價但可以證明對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨立獨立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)若若 X 與與 Y 獨立，則獨立，則X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，但由但由X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，不一定不一定能推出能推

7、出X與與Y獨立獨立.獨立與不相關(guān)的關(guān)系：獨立與不相關(guān)的關(guān)系：三、三、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣將二維隨機變量（將二維隨機變量（X1,X2）的四個數(shù)量指標）的四個數(shù)量指標)(21111XEXEv)()(221112XEXXEXEv排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(112221XEXXEXEv)(22222XEXEv稱此矩陣為稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣.這是一個非這是一個非負定對稱矩陣負定對稱矩陣22122111vvvv 類似定義類似定義n 維隨機變量維隨機變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.為為(X1,X2, ,Xn) 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.都存在都

8、存在, 則稱則稱 ( i, j=1,2,n ),(covjijiXXv若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnnvvvvvvvvv212222111211V矩陣矩陣這是一個非這是一個非負定對稱矩陣負定對稱矩陣為為(X1,X2, ,Xn) 的的相關(guān)系數(shù)矩陣。相關(guān)系數(shù)矩陣。都存在都存在, 則稱則稱 ( i, j=1,2,n )()(),(covjijijiXDXDXX若若jjiiijvvvnnnnnn212222111211R矩陣矩陣四、相關(guān)系數(shù)四、相關(guān)系數(shù)矩陣矩陣這是一個非這是一個非負定對稱矩陣負定對稱矩陣, 1)()(),(coviiiii iXDXDXX由于由于故相關(guān)系數(shù)矩陣的主對角元素

9、均為故相關(guān)系數(shù)矩陣的主對角元素均為1.五、五、 原點矩和中心矩原點矩和中心矩 定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y是隨機變量，若是隨機變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱它為存在，稱它為X的的k階原點矩階原點矩，簡稱，簡稱 k階矩階矩. , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱它為存在，稱它為X的的k階中心矩階中心矩.注：注：均值均值 E(X)是是X一階原點矩一階原點矩, 方差方差D(X)是是X的二階中心矩的二階中心矩.注注:協(xié)方差協(xié)方差cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱它為稱它為 X 和和 Y 的的 k+l 階混合原點矩階混合原點矩.若若)()(lkYEYXEXE

10、存在，存在，稱它為稱它為X 和和 Y 的的 k+l 階混合中心矩階混合中心矩. )(lkYXE設(shè)設(shè) X 和和 Y 是隨機變量，若是隨機變量，若 k,l=1,2,存在，存在，1、相互獨立，且設(shè)設(shè)YXNYNX),(),(22是不全為零的常數(shù)）。，其中的相關(guān)系數(shù)和試求(21YXZYXZ1、解、解2)()(YDXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(cov21ZDZDZZZZ),cov(),(cov21YXYXZZ),cov(),(cov22YYXX22()( )D XD Y 222() 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2數(shù)數(shù)的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系求求其他其他函數(shù)為函數(shù)為的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 2.yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因因為為,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ,1474