計算機控制原理之離散控制理論

1、10:07:581補充內(nèi)容補充內(nèi)容3 3離散控制系統(tǒng)的理論基礎離散控制系統(tǒng)的理論基礎10:07:582離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)：既有本質的不同，又有分析離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)：既有本質的不同，又有分析研究方面的相似性。研究方面的相似性。主要討論主要討論：離散系統(tǒng)的分析：離散系統(tǒng)的分析建立信號采樣和保持的數(shù)學描述建立信號采樣和保持的數(shù)學描述 z 變換理論和脈沖傳遞函數(shù)變換理論和脈沖傳遞函數(shù)線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能的分析與校正方法線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能的分析與校正方法 1 1 采樣系統(tǒng)的基本概念采樣系統(tǒng)的基本概念 2 2 信號的采樣和復現(xiàn)的數(shù)學描述信號的采樣和復現(xiàn)的數(shù)學描述 3 3 差分方程差分方程 3

2、z3 z變換理論變換理論 4 4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 5 5 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差目錄目錄1 1 采樣系統(tǒng)的基本概念采樣系統(tǒng)的基本概念 如果控制系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的如果控制系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),則這樣的系統(tǒng)稱為則這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)（continuous time system),簡稱簡稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng);如果如果控制系統(tǒng)中有控制系統(tǒng)中有一處或幾處一處或幾處信號是信號是脈沖序列或數(shù)碼脈沖序列或數(shù)碼, ,則這樣的系統(tǒng)稱為則這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)( (discrete time system) ).

3、 . 通常通常,把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)系統(tǒng),稱為采樣控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng);而把數(shù)字序列而把數(shù)字序列(數(shù)碼數(shù)碼)形式的離形式的離散系統(tǒng)散系統(tǒng),稱為稱為數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)(digital control system)或或計算機控制系統(tǒng)計算機控制系統(tǒng)(computer control system).1.1 1.1 采樣控制系統(tǒng)（采樣控制系統(tǒng)（Sampled-Data Control System)Sampled-Data Control System)爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖te(t)0圖圖1-1 1-1 信號的采樣信號的采樣 采

4、樣系統(tǒng)是對連續(xù)系統(tǒng)的信號在某些規(guī)定的時采樣系統(tǒng)是對連續(xù)系統(tǒng)的信號在某些規(guī)定的時間上取值間上取值,成為斷續(xù)形式的脈沖信號成為斷續(xù)形式的脈沖信號,而相鄰兩個脈而相鄰兩個脈沖之間是沒有信號值的沖之間是沒有信號值的,如圖如圖1-1所示所示.te*(t)0TT2 采樣又可分為周期采樣和非周期采樣采樣又可分為周期采樣和非周期采樣(隨機采樣隨機采樣)。本。本章僅討論周期采樣章僅討論周期采樣,且如果系統(tǒng)中有幾個采樣器且如果系統(tǒng)中有幾個采樣器,則它們則它們應該是同步等周期的。應該是同步等周期的。 為了實現(xiàn)兩種信號的轉換為了實現(xiàn)兩種信號的轉換,在連續(xù)信號和脈沖序列之在連續(xù)信號和脈沖序列之間要用間要用采樣器采樣器(

5、sampler),而在脈沖序列和連續(xù)信號之間而在脈沖序列和連續(xù)信號之間要用要用保持器保持器(hold).采樣器和保持器采樣器和保持器,是采樣控制系統(tǒng)中兩是采樣控制系統(tǒng)中兩個特殊環(huán)節(jié)個特殊環(huán)節(jié). 信號采樣和復現(xiàn)信號采樣和復現(xiàn) 在采樣控制系統(tǒng)中在采樣控制系統(tǒng)中,把連續(xù)信號轉變?yōu)槊}沖序列的把連續(xù)信號轉變?yōu)槊}沖序列的過程過程,稱為采樣過程稱為采樣過程,簡稱簡稱采樣采樣.實現(xiàn)采樣的裝置稱為實現(xiàn)采樣的裝置稱為采采樣器樣器,或稱或稱采樣開關采樣開關,如圖如圖1-2所示所示.te(t)0圖圖1-2 1-2 采樣過程采樣過程tT0T2T3Te*(t)秒弧度或秒次采樣頻率傳輸時間采樣時間采樣周期TTfTss21:

6、)(- - - -period) sampling(- - - -(1-1)(1-1)e(t)Te*(t)S 開關閉合開關閉合 開關打開開關打開nTt nTt 在采樣控制系統(tǒng)中在采樣控制系統(tǒng)中,把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程,稱為稱為信號復現(xiàn)過程信號復現(xiàn)過程.實現(xiàn)復現(xiàn)過程的裝置稱為實現(xiàn)復現(xiàn)過程的裝置稱為保持器保持器,如圖如圖1-3所示。所示。保持器的作用有保持器的作用有: 實現(xiàn)兩種信號之間的轉換實現(xiàn)兩種信號之間的轉換; 對脈沖信號進行復現(xiàn)濾波對脈沖信號進行復現(xiàn)濾波,避免高頻噪聲加入到系統(tǒng)避免高頻噪聲加入到系統(tǒng)的連續(xù)部分中去的連續(xù)部分中去.e*(t)t0TT2eh(

7、t)t0TT2保持器保持器圖圖1-3 1-3 復現(xiàn)過程復現(xiàn)過程 采樣系統(tǒng)的典型結構圖采樣系統(tǒng)的典型結構圖 根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同,可以構成各種采樣系統(tǒng)可以構成各種采樣系統(tǒng).如果采如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外,或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路,則稱為則稱為開環(huán)采開環(huán)采樣系統(tǒng)樣系統(tǒng);如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi),則稱為則稱為閉環(huán)采樣系統(tǒng)閉環(huán)采樣系統(tǒng).在各種采在各種采樣控制系統(tǒng)中樣控制系統(tǒng)中,用得最多的是用得最多的是誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng),如圖如圖1-

8、4所示所示.Gp(s)H(s)r(t)+-c(t)(*teSTGh(s)(te)(tehb(t)圖圖1-4 1-4 采樣系統(tǒng)典型結構圖采樣系統(tǒng)典型結構圖0)(tet)(*te0t0)(teht 由圖由圖1-4可見可見,采樣開關采樣開關 S 的輸出的輸出 的幅值的幅值,與其與其輸入輸入 的幅值之間存在線性關系。當采樣開關和系的幅值之間存在線性關系。當采樣開關和系統(tǒng)其余部分的傳遞函數(shù)都具有線性特性時統(tǒng)其余部分的傳遞函數(shù)都具有線性特性時,這樣的系統(tǒng)這樣的系統(tǒng)就稱為就稱為線性采樣系統(tǒng)線性采樣系統(tǒng).)(te)(te1.2 1.2 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)(digital control system)(

9、digital control system)圖圖1-5 1-5 小口徑高炮高精度數(shù)字伺服系統(tǒng)小口徑高炮高精度數(shù)字伺服系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)系統(tǒng)續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)系統(tǒng).包括：包括： 數(shù)字計算機（離散）；被控對象（數(shù)字計算機（離散）；被控對象（controlled plant）（連續(xù)）（連續(xù)） 計算機作為系統(tǒng)的控制器（計算機作為系統(tǒng)的控制器（controller）,其輸入輸出只能其輸入輸出只能是二進制編碼的數(shù)字信號是二進制編碼的數(shù)字信號,即在時間上和幅值上都離散的信號即在時間上和

10、幅值上都離散的信號,而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入輸出是連續(xù)信號而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入輸出是連續(xù)信號,所以在所以在計算機控制系統(tǒng)中計算機控制系統(tǒng)中,需要需要A/D和和D/A轉換器轉換器,以實現(xiàn)兩種信號的轉以實現(xiàn)兩種信號的轉換換.計算機控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖計算機控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖1-6所示。所示。系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型：采樣系統(tǒng)采樣系統(tǒng) 時間離散，數(shù)值連續(xù)時間離散，數(shù)值連續(xù) 數(shù)字系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng) 時間離散，數(shù)值離散時間離散，數(shù)值離散數(shù)字控制器數(shù)字控制器被控對象被控對象數(shù)字計算機數(shù)字計算機測量元件測量元件A/DD/A-)(*te)(*tu)(tuh)(te)(tr)(tc圖圖1-6 1

11、-6 計算機控制系統(tǒng)典型原理圖計算機控制系統(tǒng)典型原理圖 A/DA/D：模數(shù)轉換器，將連續(xù)的模擬信號轉換為離散的數(shù)字信號。模數(shù)轉換器，將連續(xù)的模擬信號轉換為離散的數(shù)字信號。包括包括采樣、量化與編碼采樣、量化與編碼三個三個過程。過程。 D/AD/A：數(shù)模轉換器，將離散的數(shù)字信號轉換為連續(xù)的模擬信數(shù)模轉換器，將離散的數(shù)字信號轉換為連續(xù)的模擬信號。包括號。包括解碼解碼與與復現(xiàn)復現(xiàn)兩過程。兩過程。1.3 數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結構圖 通常通常,假定所選擇的假定所選擇的 A/D 轉換器有足夠的字長來表示數(shù)碼轉換器有足夠的字長來表示數(shù)碼,量化單位量化單位 q 足夠小足夠小,所以由量化引起

12、的幅值斷續(xù)性可以忽略所以由量化引起的幅值斷續(xù)性可以忽略.此外還假定此外還假定,采樣編碼過程是瞬間完成的采樣編碼過程是瞬間完成的,可用理想脈沖的幅可用理想脈沖的幅值等效代替數(shù)字信號的大小值等效代替數(shù)字信號的大小,則則 A/D 轉換器可以用周期為轉換器可以用周期為 T 的理想開關來代替。同理的理想開關來代替。同理, D/A轉換器可以用保持器來替代轉換器可以用保持器來替代,其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為 Gh(s)。圖。圖1-6中的中的數(shù)字控制器實質上是一個數(shù)數(shù)字控制器實質上是一個數(shù)字校正裝置字校正裝置, ,在結構圖中可以等效為一個傳遞函數(shù)為在結構圖中可以等效為一個傳遞函數(shù)為 G Gc(c(s s) )

13、的脈沖控制器和一個周期為的脈沖控制器和一個周期為 T T 的理想采樣開關的理想采樣開關 S S 相串聯(lián)相串聯(lián). .則圖則圖1-61-6的等效采樣系統(tǒng)結構圖如圖的等效采樣系統(tǒng)結構圖如圖1-91-9所示所示. .實際上實際上, ,圖圖1-91-9也是數(shù)字控制系統(tǒng)的常見典型結構圖也是數(shù)字控制系統(tǒng)的常見典型結構圖. .圖圖1-9 1-9 數(shù)字控制系統(tǒng)典型結構圖數(shù)字控制系統(tǒng)典型結構圖Gc(s)Gp(s)H(s)Gh(s)-)(*te)(*tu)(tuh)(te)(tr)(tc)(tub(t)SS1.4 1.4 離散控制系統(tǒng)的特點離散控制系統(tǒng)的特點 由數(shù)字計算機構成的數(shù)字校正裝置由數(shù)字計算機構成的數(shù)字校正

14、裝置,效果比連續(xù)式校正裝置好效果比連續(xù)式校正裝置好,且由且由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變,控制靈活控制靈活. 采樣信號采樣信號,特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲,從而提高了從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力系統(tǒng)的抗干擾能力. 允許采用高靈敏度的控制元件允許采用高靈敏度的控制元件,以提高系統(tǒng)的控制精度以提高系統(tǒng)的控制精度. 可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng),經(jīng)濟性好經(jīng)濟性好. 對于具有傳輸延遲對于具有傳輸延遲,特別是大滯后的控制系統(tǒng)特別是大滯后的控制系統(tǒng),可以引入采樣的方式可以引入采樣的方式使其趨于穩(wěn)定使

15、其趨于穩(wěn)定.信號采樣后，采樣點之間的信息會丟失，而且采樣保持器輸出后會有一定的延遲，所以，與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散控制系統(tǒng)的性能會有所下降，然而離散控制系統(tǒng)較之連續(xù)系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：1.5 1.5 離散系統(tǒng)的研究方法離散系統(tǒng)的研究方法線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)微分方程差分方程拉普拉斯變換Z變換傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程第一節(jié) 差分方程一、差分及差分方程的概念1.什么是差分？設一連續(xù)函數(shù)y=f（t）在以t為步長的采樣點有值，在其定義域（a，b）上有界步長nbat n采樣次數(shù) tt+tf（t）f（t+t）f（t+t）- f（t）稱為函數(shù)y=f（t）在

16、t處的差分，也叫一階差分bytatt+tt-t一階差分y=f(t) -f(t-t)y=f(t+t)- f(t)y=f(t+t) -f(t-t) /2前項差分后項差分中心差分2.差商稱為y(t)在t處的差商，也也稱為一階差商ty 3.高階差分如果y=f(t+t)- f(t)是t的函數(shù)，則y的差分為(y)稱為二階差分，可表示為2y常用的二階差分前項二階差分 (y(t)=y(t+t)-y(t) 取前項= y(t+2t)- y(t+t)-y(t+t)-y(t) 取前項=y(t+2t)- 2y(t +t)+ y(t)后項二階差分 (y(t)=y(t+t)-y(t) 取前項= y(t+t)-y(t)-y(

17、t)- y(t-t) 取后項=y(t+t)- 2 y(t) + y(t -t)同理可以求出K階差分（前項）ky(t)=k-1y(t+t)- k-1y(t)4.差分方程含有t，y(t)，y(t)，的方程表達式F（ t，y(t)，y(t)， ky(t)）=0稱為未知函數(shù)y(t)的差分方程y(t)，y(t)， ，ky(t)為一階，二階， k階差分另一種定義差分的方法對于一個單輸入單輸出的線性離散系統(tǒng)，設輸入脈沖序列u(kT)表示，輸出脈沖序列用y(kT)表示。為了簡化省略采樣周期T。在某一采樣時刻y(k)除了以這一時刻的輸入值u(k)有關，還與過去采樣時刻的輸入u(k-1), u(k-2),有關，也

18、與此時刻以前的輸出y(k-1)， y(k-2) 有關，最常用的描述形式是：y(k)+a1 y(k-1)+a2 y(k-2)+ + any(k-n)=b0u(k)+b1u(k-1)+b2u(k-2)+bmu(k-m)這就是n階線性常系數(shù)差分方程寫出遞推形式y(tǒng)(k)=u(k)+b1u(k-1)+b2u(k-2)+bmu(k-m)-a1 y(k-1)-a2 y(k-2)- -any(k-n)=上式特別適用于計算機控制 m0in1jjijkyaikub)()(例：y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=u(k)其中u(k)=I(k)=1 (k0)初始條件：y(0)=0 y(1)=1解：寫出遞推形式y(tǒng)

19、(k)=5y(k-1)-6y(k-2)+u(k)用迭代法：y(0)=0 y(1)=1Y(2)= 5y(1)-6y(0)+u(2)=6Y(3)= 5y(2)-6y(1)+u(3)=25輸出序列的每一項物理概念：如果響應過程不存在動態(tài)滯后，則y(k)完全取決于u(k)，此時y(k)=b0u(k)就是比例環(huán)節(jié)。如果響應過程存在動態(tài)滯后，則y(k)也與它過去的值y(k-1),y(k-2),y(k-n)有關。二、由系統(tǒng)的微分方程建立差分方程設系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)1sTKsUsYsW I)()()(離散化寫出相應的微分方程) t (Ku) t (y) t (ydtdTK) s (U 1sT)s (Y11T:

20、采樣周期 n：采樣序列求出y(nT)和u(nT)之間的關系式u(nT)y(nT) TT1nynTytydtdynTutunTyty210nnTt)()()()()()(,)()()()(nTKunTyTnTyT1nyT1 )()()()(nTKunTyTnTyT1nyT1 結論：差分方程的求解比較容易，較之微分方程要簡捷的多，完全可以采用遞推公式求解。問題：要想得到差分方程的解析解，就必須借助于Z變換。第二節(jié) Z變換一、 Z變換的定義對連續(xù)信號x (t)進行周期為T的采樣，可以得到采樣信號x* (t)，它是在采樣時刻t = 0, T, 2T,，定義的，即采樣信號x *(t)亦可看做連續(xù)信號x(

21、t）對脈沖系列的調(diào)制對上式進行拉氏變換，可得到采樣信號x*(t)的拉氏變換引入記號 z=eTs 由上式可定義一種新的變換它稱為采樣信號x* (t)的z變換。z變換的定義并不要求x* (t)一定是某連續(xù)信號的采樣值，它可以是一純數(shù)字系列xi 。因此z變換的引出雖然是建立在拉氏變換上的，但它不同于拉氏變換，它是面向離散系統(tǒng)的一種特殊變換。根據(jù)z變換的定義如果一個采樣信號x*(t)的z變換可展開為的形式，那么xo, x1, x2,就是該信號在t = 0, T, 2T,時刻的值。二、Z傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)的輸入脈沖序列為xi,輸出脈沖序列為yi)，它們的z變換分別為X (z) 和Y (z)。 當一個系統(tǒng)的

22、連續(xù)傳遞函數(shù)G (s）已知時，則可通過下列步驟得到它的Z傳遞函數(shù)。它表征了離散系統(tǒng)對采樣信號的輸入輸出傳遞性能。根據(jù)G（s）求出系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)確定系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)在采樣時刻t =iT的值gi 根據(jù)Z變換定義得到系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)由此可見，如果一個系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)可展開為的形式，那么g0，g1，g2就是該系統(tǒng)的單位脈沖響應在t = 0, T, 2T,時刻的值。為符號簡潔起見，將連續(xù)傳遞函數(shù)為G（s）的系統(tǒng)所對應的Z傳遞函數(shù)記為三、Z變換的性質設f (t), g (t)為采樣信號，它們的Z變換分別記為則Z變換的主要性質有：(1）線性關系(2）右移（延遲）定理（3）左移（超前）定理(4）阻尼定理（5

23、）微分定理（6）初值定理)(f（7）終值定理（8）卷積定理（9）非一一對應性利用Z變換表查找Y(z)得原函數(shù)y(t)致使許多可能的答案之一四、采樣保持系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)計算機輸出的采樣數(shù)字信號x*( t)，在作用到被控對象G0(s)以前，應首先通過D/ A轉換還原為連續(xù)控制信號。這通常是由零階保持器來實現(xiàn)的，它的連續(xù)傳遞函數(shù)為它的作用是將數(shù)字信號變換為階梯信號。采樣保持系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)定義為它也可由導出。根據(jù)Z變換的性質，不難將上式改寫為便于計算的形式五、開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)在分析采樣系統(tǒng)的方框圖中，常需求出不同環(huán)節(jié)組合后的Z傳遞函數(shù)。與連續(xù)系統(tǒng)的情況略有區(qū)別，這兒必須注意采樣開關的位置。

24、 六、 Z傳遞函數(shù)的計算機實現(xiàn)數(shù)字調(diào)節(jié)器具有傳遞函數(shù)D(z)（如圖B-3所示），它可寫成有理式形式此處m, n為正整數(shù)或零，如果bo0，則必須有ao0，以保證調(diào)節(jié)器的物理可實現(xiàn)性。a0u(k)+a1u(k-1)+a2u(k-2)+ + anu(k-n)=b0e(k)+b1e(k-1)+b2e(k-2)+bme(k-m)用數(shù)字計算機可以用不同的方式實現(xiàn)這一Z傳遞函數(shù)。 (1)直接數(shù)字實現(xiàn)直接數(shù)字實現(xiàn)是對上述Z傳遞函數(shù)直接取Z反變換，得到從而可得到現(xiàn)時控制量u(k)的計算式這一計算式需要有m+n個存儲單元用以保留過去時刻的信息，在每次計算后需要進行m+n次時延運算。為了減少所占存儲和時延運算數(shù)，可

25、引入一中間函數(shù)C(z),顯然存儲數(shù)與時延運算數(shù)都減小到max(m, n)+ 1(2）串接數(shù)字實現(xiàn)每個環(huán)節(jié)Dk (z）的Z傳遞函數(shù)都為簡單的一階或二階有理分式形式 (3)并行數(shù)字實現(xiàn)每個環(huán)節(jié)Dk(z)的z傳遞函數(shù)為常數(shù)、純時延或易于用直接方法實現(xiàn)的簡單的一階二階形式，控制量的計算可由它們給出的分量求和而成 。azzkcosaazzakk補充八、用Z變換求解差分方程例1.一階系統(tǒng)的差分方程為y(k+1)-by(k)=u(k)已知輸入條件u(k)=ak,起始條件y(0)=0，求y(k)解：對差分方程兩邊進行Z變換Zy(k+1)-by(k)=Zu(k)zy(z)-zy(0)-by(z)=u(z)由于u

26、(k)=ak，查表u(z)=zak=z/z-a起始條件u(0)=0，所以方程)bz)(az(z)z(yazz)z(by)z(zy在對y(z)進行z反變換). 3 , 2 , 1 , 0k()ba (ba1)k(ybzzazzba1)z(ybzab1azba1)bz)(az(1z)z(ykk 例2.用Z變換求下列差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0已知起始條件y(0)=0,y(1)=1求：y(k)解：對方程兩邊求z變換Zy(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=Z0z2y(z)-z2y(0)-zy(1)+3zy(z)-3zy(0)+2y(z)=0(z2+3z+2) y(z)=z2

27、zz1zz2z3zzzy2 )(),()()()( 210k21kykk把輸入0改為(t)作為家庭作業(yè)sT1sT1) s (X) s (Y) s (G21dtdxT) t (xdtdyT) t (y) s (X) sT1 () s (Y) sT1 (sT1sT1) s (X) s (Y1221221兩端求拉氏反變換：由解法例3.已知一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為使用一階差分近似法求它的差分方程和脈沖傳遞函數(shù)122111111122112212zTT)TT1 (zTT)TT1 ()z(X)z(Y)z(G)z(XzTT)TT1)(z(X)z(YzTT)TT1)(z(YZ) 1k(xTT)TT1)(k(x)

28、1k(yTT)TT1)(k(yT) 1k(x)k(xT)k(xT) 1k(y)k(yT)k(y整理變換兩端求近似差分法解法2.由近似公式Tz)TT)(z (XTz)TT)(z (YT)TT( z)z (XT)TT( z)z (Y) z (X) z (YT)TT( zT)TT( zTz1zT1Tz1zT1) z (GsT1sT1) s (GTz1zs111212112222112121代入取反變換) 1k(xTT)k(x)TT1 () 1k(yTT)k(y)TT1 () 1k(xT)TT)(k(x) 1k(yT)k(y)TT(11221122結論一樣例4.已知一個系統(tǒng)的微分方程為uydtdyRC

29、dtydLC22試用差分近似法求出它的脈沖傳遞函數(shù))k(uu)k(yyT) 1k(y)k(ytydtdyT)2k(y) 1k(y2)k(ytydtyd222222122221222222LCzz)RCTLC2()RCTLCT(T)z(U)z(Y)z(UT)z(YLCz)z(Yz)RCTLC2()z(Y)RCTLCTZ)k(u)2k(yTLC) 1k(yT)RCTLC2()k(yT)RCTLCT()k(u)k(yT) 1k(y)k(yRCT)2k(y) 1k(y2)k(yLC（變換并化簡兩端求25 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) ：01110111)(azazazbzbzbzbzGnnnmmmm )(0111zAazazaznnn 系統(tǒng)的特征多項式：系統(tǒng)的特征多項式： 方程方程A(z)0稱為特征方程，特征方程的稱為特征方程，特征方程的n個根稱個根稱為系統(tǒng)的極點或稱為系統(tǒng)的特征根。為系統(tǒng)的極點或稱為系統(tǒng)的特征根。 系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的所有系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根根(系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點)都位于都位于z平面的單位圓平面的單位圓內(nèi)。內(nèi)。 采樣系統(tǒng)Z傳遞函數(shù)G (z)的極點zi (i=1, .,n)在Z平面上的位置直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應