第七章___層流邊界層的流動與換熱

1、 高等傳熱學內容4第一章 導熱理論和導熱微分方程4第二章 穩(wěn)態(tài)導熱 4第三章 非穩(wěn)態(tài)導熱 4第四章 凝固和熔化時的導熱 4第五章 導熱問題的數(shù)值解 4第六章 對流換熱基本方程 4第七章 層流邊界層的流動與換熱 4第八章 槽道內層流流動與換熱 4第九章 湍流流動與換熱 4第十章 自然對流 4第十一章 熱輻射基礎 4第十二章 輻射換熱計算 4第十三章 復合換熱 第七章第七章 層流邊界層的流動與換熱層流邊界層的流動與換熱 4上一章從質量、動量和能量守恒出發(fā)，建立了對流換熱的數(shù)學描述。但是，由于方程的強非線性，得到這些偏微分方程的分析解通常是十分困難的，只有極個別的問題采用經(jīng)典方法得到了分析解。4本章

2、討論邊界層理論，導出邊界層微分力程，它是基于守恒原理的數(shù)學近似，為求解實際問題大大簡化了數(shù)學方程組。有關邊界層微分方程的經(jīng)典解法 相似解，在本章中給予詳細討論，同時，對求解簡單積分方程的方法進行介紹。 7-1 對流換熱中的根本問題對流換熱中的根本問題 4工程上經(jīng)常遇到的典型對流換熱的外部問題，如圖7-1 所示，流體以均勻的速度u和溫度T流過溫度為Tc的平板。這種換熱表面可以是建筑圍護結構、電于器件冷卻表面，也可以是換熱器的表面或肋表面。工程中需要了解以下兩個問題：4(1) 介質中平板的受力情況。4(2) 平板與介質的換熱情況。4對第一個問題的分析，可以得到流動的阻力(壓力損失)，也就是維持流動

3、所需要的泵功率或能耗。這是流體力學與工程熱力學應用于傳熱過程的問題。通過對第二個問題的回答，可以預測平板與介質之間的傳熱速率，這是傳熱學的根本問題。 7-1 對流換熱中的根本問題對流換熱中的根本問題 圖7-1 沿平板流動的邊界層速度和溫度分別 7-1 對流換熱中的根本問題對流換熱中的根本問題 4可以通過實驗的方法，也可以通過分析的方法得到以上問題的速度分布和溫度分布，進而獲得流動阻力和熱流密度。4以二維常物性不可壓縮流體為例，控制微分方程組可由第六章中的基本方程得到：0uvxy22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyxxy 2222()TTTTuvaxyxy4邊

4、界條件為：4壁面處4u = 0，非滑移界面4v = 0，無滲透表面4T = Tc，常壁溫4遠離壁面處4uU，均勻流4v = 0，均勻流4T = T，均勻溫度4求解以上方程組，可以得到速度場和溫度場，利用粘性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里葉定律可以得到壁面處的熱流密度。 7-1 對流換熱中的根本問題對流換熱中的根本問題 4上一節(jié)給出的二維穩(wěn)態(tài)常物性的數(shù)學方程是一組非線性偏微分方程，除極少數(shù)簡單狀況外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗特提出的邊界層理論大大簡化了納維-斯托克斯方程，使許多工程間題得到了有效的解決。47-2-1 速度邊界層速度邊界層4通過實驗觀察可以發(fā)現(xiàn)，流體流過平板時，由

5、于流體粘性的作用，在壁面處流體的速度為零，在垂直于流動方向的很短距離內，速度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出現(xiàn)在靠近壁面的區(qū)域）。邊界層理論認為，只在貼壁處的薄層內考慮粘性的影響，此薄層稱為速度邊界層，如圖7-2 所示。 7-2 邊界層分析邊界層分析 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-2 外掠平板的速度邊界層 4通常定義邊界層的外緣為速度達到主流速度的99處，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y以外區(qū)域，粘性的影響由于速度梯度很小而忽略不計，按理想流體處理。邊界層理論將流場分為兩個區(qū)域。其一是流體粘性起主要作用的邊界層區(qū)。此區(qū)域中垂直于主流方向的速度梯度很大，盡管介質的粘性較

6、小，但粘性切應力很大，動量傳遞主要依靠分子擴散，認為邊界層外緣的速度已達到主流速度，此處橫向速度梯度接近于零。另一區(qū)域是邊界層外的流動，該區(qū)域中流體的速度梯度接近于零，粘性力可以忽略不計，按無粘性的勢流處理，符合伯努利方程。嚴格地講，邊界層區(qū)與主流區(qū)無明確的分界面，按實際壁面粘性滯止作用的影響區(qū)，其邊界應在無限遠處。因此，邊界層是一種人為引進的理想化概念。4邊界層的另一重要特點是其厚度遠遠小于平壁的長度L ，即占L。理論上講，在平板前緣邊界層理論并不成立，在以后的分析中不難得到此結論。4此外，邊界層內的流動也分為層流區(qū)、湍流區(qū)和緩沖層區(qū)，這些在流體力學和基礎傳熱學中已有詳細介紹，這里不再重復。

7、 7-2 邊界層分析邊界層分析 47-2-2 溫度邊界層溫度邊界層4與速度邊界層類似，當具有均勻溫度的流體流過一壁面時，若壁面溫度與流體溫度不同，流體溫度將在靠近壁面的一個很薄的區(qū)域內從壁面溫度變化到主流溫度，該層稱為溫度邊界層，或熱邊界層。熱邊界層厚度用t表示，如圖7-3 所示，通常規(guī)定其邊界在垂直于流動方向流體溫差tt 等于0.99(ttw)處，t表示主流溫度，tw表示壁面溫度。在溫度邊界層內，溫度梯度很大，而其外部溫度梯度很小可以忽略不計，即熱邊界層外可近似按等溫區(qū)處理。熱邊界層厚度與流動方向的尺寸相比也是小量。速度邊界層厚度通常不等于溫度邊界層厚度，兩者的關系通常取決于流體的熱物性。

8、7-2 邊界層分析邊界層分析 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-3 外掠平板的溫度邊界層 47-2-3 邊界層微分方程組邊界層微分方程組4在主流區(qū)4 (7-2-1)4用表示速度u由壁面處的u= 0 變化到接近主流速度U的距離的數(shù)量級。在邊界層區(qū)域，可以得到如下數(shù)量級關系：4x L ，y，uU (7-2-2)4在包含邊界層的L區(qū)域，考慮連續(xù)性方程4 (7-2-3)4可知 (7-2-4) 7-2 邊界層分析邊界層分析 ,0,vpp ttu=U0uvxyUVLUVL4考慮邊界層內x 方向的動量方程4在上式中，慣性力項均為 ，不能忽略任一項。但在邊界層區(qū) 域， ，則速度邊界層外的速度u 等于主流速度

9、U，得到該區(qū)域的速度 。 將其帶入方程(7-2-24)，不難發(fā)現(xiàn)對流項主要由第一項控制，即4 (7-2-25)4進一步可以得到 4 (7-2-26) 2,tttttuvaLvUL2ttUt La1 21 21 2 Pr RetLPeL7-2 邊界層分析邊界層分析4其中 是貝克來數(shù)。比較式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以發(fā)現(xiàn)，溫度邊界層厚度與速度邊界層厚度之間的關系取決于普朗特數(shù)，即4 (7-2-27) 4低普朗特數(shù)(Pr1 )下的對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)可以表示為4 ，Pr 1 (7-2-33) 4 ，Pr1 (7-2-34) 4在邊界層內，慣性力與粘性力始終是平衡的，Re反映的是一個幾

10、何尺寸特性一邊界層的厚度與流動長度的比值見式(7-2 - 20 )。 1 31 2 PrRetLL1 3 Pr1t1 31 2PrReLhL1 31 2 PrReLNu7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 47-3-1 外掠平板層流邊界層流動和換熱的相似解外掠平板層流邊界層流動和換熱的相似解41. 布勞修斯解布勞修斯解4上節(jié)邊界層分析給出了邊界層微分方程組，在一定條件下，通過不同方式可以獲得解，本書采用相似變換求解，也稱相似解。相似解的核心是經(jīng)過選擇合適的相似變量，將偏微分方程轉化為常微分方程。1908 年，布勞修斯采用無量綱流函數(shù)及無量綱坐標，求解了外掠平板層流邊

11、界層流動的偏微分方程，如圖7-4 所示，邊界層內流動方向的速度從壁面處為零一直變化到遠離壁面處的u = U。盡管邊界層內速度分布不相似，但不同x處的速度變化范圍是相同的, 即速度分布被伸展。 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-4 平壁上的速度邊界層 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4引入無量綱速度 和相似變量：4 ( 7-3-1 ) 4相似變量與坐標y 成正比，比例系數(shù)與x有關。令4 (7-3-2) 4可見，邊界層內不同x處 與的關系是相同的，對于的無量綱速度分布亦是相同的。4將速度用流函數(shù)表示：4 (7-3-3) 4則 (7-3-4) uU( )uU 1

12、2Re( )xUyyyxxvxuU,uvyx 1uUUy7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4引入前面定義的相似變量，得到4 (7-3-5) 4令 ，稱無量綱流函數(shù)，則有了4 (7-3-6) 4考慮常物性不可壓流體流過平板的二維穩(wěn)態(tài)邊界層的連續(xù)性方程(7-1-1)和動量方程(7-2-14) ：4 (1)4 (2) ()uUU vxfU vx1 2()( )U vxf0uvxy22uvuuvvxyy7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4對應的邊界條件是4y = 0, u = v = 0 (7-3-7)4y , u U (7-3-8) 4

13、應用流函數(shù)，連續(xù)性方程得到滿足, 動量方程的形式為4 (7-3-9)4對應的邊界條件是4 y=0, =0, (7-3-10) 4 y, (7-3-11) 22323vyx yxyy 0yy 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4將式(7-3-6)代人式(7-3-9)(7-3-11) ，可以得到相似變換后的常微分方程，并簡化為4 (7-3-12) 4邊界條件4 (7-3-13) 4 (7-3-14)4方程(7-3-12 )稱為布勞修斯方程。4布勞修斯采用泰勒級數(shù)展開的方法求解了這個非線性方程。將f()取的泰勒級數(shù)得4 (7-3-15) 4上式取導數(shù)得4 (7-3-1

14、6) 20fff0,0ff,1f 233201( )2!3!ccfcc23212( )2!3!ccfc7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4由邊界條件可得， 。進一步求出 和 ，將所得結果代入方程(7-3-12 ) ，得到4 (7-3-17) 4為保證在0 范圍內上式均成立，則常數(shù)項和相似變量前的系數(shù)必須為零，即 和4所有不為零的系數(shù) 等均可表示成c2的關聯(lián)式。于是得到4 (7 -3 -18) 010,0ccff225234222()2!2!cccc340,0cc252202!2!cc2252cc 25811,c c c c222582221111( )2!2 5

15、!48!cccf7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4由 時 ，得 ，等等。賽比西(Cebeci ) 等采用龍格-庫塔法求解了同樣問題，霍沃思(Howarth)給出了更高精度的數(shù)值解，表7-l 是其部分結果。4由表7-1可知， =5.0時 ，通常邊界層外緣處速度取，即4 (7-3-19) 4 (7-3-20) 1f 250.332,0.055cc 0.99155ufU5.0vxU1 25.0Rexx7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 4獲得速度分布后，可以進一步得到壁面

16、處的粘性剪應力w：4 (7-3-21)4由表7-1 知， ，故4 (7-3-22) 4引入局部摩擦系數(shù)4 (7-3-23) 4對應于整個平板長度L 的平均摩擦系數(shù)為4 (7-3-24) 32002()()(0)wyyUufyyvx(0)0.332f320.3320.332RewxUUx1 220.664Re12wfxCU1 2,011.328ReLf mfLCC dxL7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 42. 波爾豪森解波爾豪森解4常物性流體以均勻流速U和均勻溫度t外掠平壁，平壁壁面溫度為tw，流體與壁面間的換熱使得在壁面上形成溫度邊界層。根據(jù)前面的邊界層分析，

17、對于忽略粘性耗散的常物性不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)流動，其邊界層能量方程即式( 7-3-20 )為4y = 0, t = tw (7-3-25) 4y, t = tw (7-3-26) 4引入無量綱溫度4 (7-3-27) 4上述邊界層能量方程變?yōu)? (7-3-28) 22tttuvaxyywwtttt 22uvaxyy 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解4與動量方程相似解方法類似，引入相似變量 有4 (7-3-29) 4 (7-3-30) 4 (7-3-31) 1 2Re( )xUyyyxxvx111( )()( )22Uyvxxxxx ( )Uyyvx 22( )

18、Uyvx 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解4將式(7-3-29) (7-3-31)和流函數(shù)表示的速度代入邊界層能量方程(7-3-28) ，可以得到4 (7-3-32) 4相應的邊界條件是4 (7-3-33)4波爾豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分離變量積分方法，由式(7-3-32 )可得4 (7-3-34)4進一步積分得4 (7-3-35) 1Pr02f 0,0,1 和0Pr( )(0)exp( )2fd 0Pr( )2fdd0（ ）= （0） exp7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解4由邊界條件式(7-3-33)得4 (7-

19、3-36)4顯然，局部對流表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為4 (7-3-37) 4因此4 (7-3-38) 4式(7-3-36)已表明 是Pr數(shù)的函數(shù)，波爾豪森給出了一系列 的數(shù)值。表7-2 給出了不同Pr數(shù)時外掠平壁的 的數(shù)值?？梢园l(fā)現(xiàn)，在Pr = 0.6 15的范圍內， 可以十分精確地用 表示，即得 10Pr( )2fdx0（0）=exp -1 2Rexxhx（0）1 2Rex xNu（0）（0）（0）（0）（0）130.332Pr7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解 7-3 層流邊界層流動和換熱的相似解層流邊界層流動和換熱的相似解4 (7-3-38)4對于Pr 0.6的低普朗數(shù)

20、流體，其導熱性能很好，前面邊界層分析已說明，當 時，與前面推導的基本假設不一致，因而式(7-5-16 )、(7-5-17 )不適用于低Pr數(shù)的液態(tài)金屬。然而，對于Pr = 0.51范圍內的介質， 時可得t 。x0 = 0時，積分方程的解與相似解十分接近，因而前面的公式也可用于氣體。4由牛頓冷卻公式可得壁面處的對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)4 (7-5-18) 4則局部Nu數(shù)為4 (7-5-19)4若無初始加熱段，x0=0，則與精確解完全一致。 33()22wwtqhtt1 31 21 300.332RePr1xxhxNux3 4（）001xx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解

21、47-5-2 Pr 1 的邊界層能量方程的近似解的邊界層能量方程的近似解4若流體的Pr 1，則其溫度邊界層的厚度t，遠大于速度邊界層厚度。溫度邊界層的速度分布將分為兩部分：在速度邊界層內，與前面假設的三次方多項式相同；在速度邊界層外、溫度邊界層內，即yt，根據(jù)邊界層的定義，速度為主流速度，uU，而溫度邊界層內的溫度分布為4 (7-5-20) 4將速度分布和溫度分布代人能量積分方程式，得4 (7-5-21)4簡化得到4 (7-5-22) 331()2wttttyytt 333031333()( )1()()1()22222twwwtttttttdyyyydyyUttdyUttdyadxdx243

22、12 11 13(1)85352dadxU7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4因 ，代入上式有4 (7-5-23) 4因流體的Pr1 ，1/ 1，可以近似簡化為4 (7-5-24)4 (7-5-25) 4進一步可得局部數(shù)為4 (7-5-26)4與精確解相差5左右。 14013ddxU 22412 11 11(1)5352.69Pr212.69Pr1 21Pr1.64t1 21 30.531RePrxNu 7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 47-5-3 U任意變化的邊界層積分方程的近似解任意變化的邊界層積分方程的近似解41. 動量積分方程式

23、動量積分方程式4把邊界層位移厚度和動量厚度4代入動量積分方程，得到4 (7-5-27) 000()()ydUdduu Uu dyUu dydxdxdy1020(1)(1)udyUuudyUU221wddUUUdxdx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4兩側同乘以 ，得到 4 (7-5-28) 4定義邊界層剪切厚度4 (7-5-29) 4取無量綱形狀參數(shù) ， ，代入式( 7-5-29 )，有4 (7-5-30) 2U22212222(2)wUddUdxUdx 40wyUUdudy12H 24T2222()22(2)ddUUTHdxdx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4其中除物性參數(shù)外其它參數(shù)U、2和H、T 均與坐標x有關，因而可以將影響歸屬于一個當?shù)貐?shù)4 (7-5-31) 4邊界層內速度分布取為4 (7-5-32a) 4其中4根據(jù)以上速度分布，可以求出邊界層厚度1、2和4以及H 、T 和w，并都是的函數(shù)。式(7-5-30)的左端可以表示為4 (7-5-32b) 22( )dUxdx( )( )uFGU2431,( )22,( )(1)6yFG2222()( )()ddUUdxdx 7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4對于楔狀流(Uc