第6-1章一維波動方程推導

1、應力波反射法檢測基樁原理1.1 基樁動測技術的發(fā)展及國內外研究現(xiàn)狀基樁動測技術的發(fā)展及國內外研究現(xiàn)狀一百年以前，動力打樁公式一百年以前，動力打樁公式1865年年B.de Saint Venant提出一維波動方程提出一維波動方程50年代后期年代后期A.Smith提出了波動方程在樁基中應用的差分數(shù)值提出了波動方程在樁基中應用的差分數(shù)值解法，它把錘一樁一土系統(tǒng)簡化為質量塊、彈簧和阻尼器模型解法，它把錘一樁一土系統(tǒng)簡化為質量塊、彈簧和阻尼器模型從而使波動方程打樁分析進入實用階段。從而使波動方程打樁分析進入實用階段。 19671967年美國年美國G.G.GobleG.G.Goble等人發(fā)表了等人發(fā)表了“

2、關于樁承載力的動測研究關于樁承載力的動測研究”一文，一文， 19751975年發(fā)表了年發(fā)表了“根據(jù)動測確定樁的承載力根據(jù)動測確定樁的承載力”研究報告研究報告19701970年以后，美國己把動力試樁技術用于實際工程年以后，美國己把動力試樁技術用于實際工程19771977年年PDIPDI公司開始生產(chǎn)以公司開始生產(chǎn)以PDA(Pile Driving Analyzer)PDA(Pile Driving Analyzer)打樁分析儀打樁分析儀采用波動方程程序采用波動方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis (Case Pile Wave-equation Analysi

3、s program/contimuous,program/contimuous,簡簡CAPWAPCCAPWAPC程序程序) )對樁的側阻分布、端阻和樁身缺陷對樁的側阻分布、端阻和樁身缺陷進行實測波形的擬合法分析。進行實測波形的擬合法分析。方便、快捷、一定的準確度被各國接受方便、快捷、一定的準確度被各國接受要求較高的人員素質、專業(yè)理論知識、要求較高的人員素質、專業(yè)理論知識、 豐富的工程經(jīng)驗豐富的工程經(jīng)驗缺乏與靜荷載試驗在樁周分層摩阻力和端阻力方面對比。缺乏與靜荷載試驗在樁周分層摩阻力和端阻力方面對比。1.2.1 一維桿的縱向波動方程l一根材質均勻的等截面彈性桿，長度為L，截面積為A，彈性模量為E

4、，體密度為。若桿變形時符合平截面假定，在桿上端施加一瞬時外力，單元受力如圖所示。圖中包含外力、土阻力、阻尼力的作用。桿單元受力圖xdxLxxdxxxutudtu22xxxuAdx AAdxxt xuEx22xuExx 2222uEutx以單元dx為對象，建立x方向的平衡方程得（1）（2）令2Ec，即得著名的一維波動方程22222xucxt（3）由材料力學知識得：將式（2）帶入式（1）：1.2.2一維波動方程的解求解一維波動方程有多種方法，常用的有行波法、分離變量法、特征線法，這里主要介紹基樁檢測常用的行波法。作變量代換：xc txc t（4）uuuxuuuct(5)(6)22222222uuu

5、ux 222222222uuuuct 20u (7)(8)(9)將式（5）式（8）代入式（4）對式（9）連續(xù)兩次積分得到方程的通解： ,ufg ,u xtf x ctg x ct( ,0)( )0( ,0)( )0u xxxLu xxxLt()()( )()()( )/f x ctg x ctxf x ctg x ctx c01()()( )xxf xctg xctx dxkc通解中的函數(shù)f和g是具有兩階連續(xù)偏導數(shù)的任意函數(shù)，由波動的初始條件確定。設問題的初始位移和初始速度分別為：(11)、(12)積分（13）有：（10）（11）（12）（13）（14）0011()()( )22211()()

6、( )222x ctxx ctxkf xctxctx dxckg xctxctx dxc因此一維波動方程的定解問題的通解可以最終表示為：,11,()()( )22x ctx ctu x tf x ctg x ctu x tx ctx ctxdxc這一通解公式稱為DAlembert 公式?？梢宰C明該解是唯一的，而且是穩(wěn)定的。（15）（16）1.2.3 解的物理意義 假設式（16）的第二式為零，即 ，當波速一定時，隨 著時間的增長，位移逐漸沿x軸向下傳播，因此我們習慣稱為f下行波。同理稱為g上行波。上下行波在傳播過程中，由于函數(shù)f和g都不發(fā)生變化，因此，波的形狀不變，在不考慮桿周圍介質的影響，其幅

7、值也不變。前面假設桿的材質是均勻的，經(jīng)過t0時刻，波形移動了ct0的距離，波速為ct0/t0c，這表明波在傳播中速度不變。 物理現(xiàn)象為桿上各點，振動未傳到時，處于平衡狀態(tài)，振動傳到時，相應點將發(fā)生位移的變化，振動穿過后，該點仍回到平衡位置。1.2.4 一維波動方程的解在基樁測試中的應用1 假設樁身中只有下行波（壓力波為例），即 ,u xtf x ct則下行波引起的質點振動速度uVcft 下行波引起的樁身應變?yōu)閡fx 式中的負號表示以壓縮變形為負，拉伸為正。（17）、（18）VcEAFEAVZVC式中，ZEA/C稱為樁身阻抗，是由樁身材料特性和樁身截面確定的量。（17）（18）（19）（20）2

8、 假設樁身中只有上行波（壓力波為例），即,u x tg xct則上行波引起的質點振動速度gVcgt 式中負號表示質點振動速度向上為負。上行波引起的樁身應變?yōu)間gx（21）、（22）VcEAFEAVZVC 下行波中質點的運動方向與所受力的方向始終一致； 上行波中質點的運動方向與所受力的方程始終相反。結論：（21）（22）（23）（24）3 通過計算可以分離出樁身各截面上行波和下行波的值，具體如下：FFFVVV將式（20）和式（24）帶入式（25），即得1()21()21()21()2FFZ VFFZ VFVVZFVVZ(25)(26) 4 上下行波在界面或端部的反射 當桿或樁的端部為自由端時，其

9、邊界條件為：0FFF將式（20）和式（24）帶入式（27）得VVFF 公式（27）、（28）和式（29）表示，當下行波傳到自由端時，將產(chǎn)生一個符號相反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是壓縮波，則反射的一定是拉伸波，下行的是拉伸波，則反射的一定是壓縮波。樁身阻抗減少的界面反射波的規(guī)律與自由端類似。（25）、（28）2V VVV即在桿端由于波的疊加，使桿端質點速度增加一倍。（27）（28）（29）（30） 當桿或樁的端部為固定端時，其邊界條件為0VVVVV 將式（20）和式（24）帶入式（31）得FF類似地2FFFF公式（32）、（33）、（34）表示應力波到達固定端后，將產(chǎn)生一

10、個與入射波相同的反射波，即入射的壓力波產(chǎn)生壓力反射波，入射的拉力波產(chǎn)生拉力反射波。在桿端處由于波的疊加使反力增加一倍。（31）（32）（33）（34）1.2.5 基樁或桿件阻抗變化引起的反射波當基樁或桿件阻抗發(fā)生突變時，如圖2所示，由變阻抗處的連續(xù)條件可得：11221122FFFFVVVV將式（20）和（24）代入式（35），可得2111121212212212121222ZZZFFFZZZZZZZFFFZZZZ圖2 阻抗變化引起的反射波（35）（36）當只有下行波通過界面時：211112221122ZZFFZZZFFZZ當只有上行波通過界面時：112121222122 ZFFZZZZFFZZ

11、同理可以推出211112221122ZZVVZZZVVZZ （36）（36）（37）（38）（39） 由上式可得： （1）當原有的下行波通過阻抗變化的截面時，反射波的幅值為原入射波的（Z2Z1）/(Z1+Z2)倍，并根據(jù)（Z2Z1）的正負決定反射波的性質是否變化。 （2）應力波反射和透射能力大小取決于兩種介質波阻抗的差異情況。兩種介質波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈小；波阻抗相等，只有透射沒有反射。 （3）波的性質：壓力波，拉力波的變換 （4）當樁身縮徑、夾泥、離析、斷樁等缺陷時，Z2Z1，入射波與反射波反號；1.2.6土阻力對應力波的影響如圖，假定有一沖擊力作用在樁頂，產(chǎn)生的應力波沿

12、樁身往下傳播，在距樁頂x處遇到一阻力R，應力波將發(fā)生反射和透射。設阻力作用截面以上標記為1,以下標記為2。根據(jù)力的平衡條件得1122xFFFFR將式(20)、（24）帶入式（40）可得1212()xFFZ VVR1212()xFFZVVR圖圖3 土阻力波在樁中的傳播土阻力波在樁中的傳播（40）（41）（42）由截面的連續(xù)條件可得1122VVVV聯(lián)立方程式（41）式（43）可得1221/ 2/ 2xxFFRFFR式（44）表示，下行入射波通過x截面時，由于阻力作用，將在界面處產(chǎn)生幅值均為Rx/2的向上傳播的壓力波和向下傳播的拉力波。 同理，可以推出1221/ 2/ 2xxVVRZVVRZ式（45

13、）表示，下行入射波通過x截面時，阻力將使速度曲線下降Rx/2Z。如果在深度x處的阻力Rx于x/c時刻開始作用，則在2x/c時刻樁頂力和速度之間的差為R，因為上行波的力和速度的大小均為R/2,總和為R。（43）（44）（45）u 如果阻力在L/C時刻作用在樁尖，根據(jù)力的平衡條件，將產(chǎn)生一個上行的應力波，其值為R。質點速度為R/Z。u如果在時段x/c2L/c內有一阻力R持續(xù)作用，則在2L/C時刻，力和速度記錄中將包含下列影響：在2L/C時刻之前由初始的下行壓縮波在樁底反射產(chǎn)生的上行拉伸波 F(d, t1)；2. 全部上行的壓縮阻力波（R/2）的總和；3. 初始的下行的拉伸阻力波經(jīng)樁底反射后以壓縮波

14、形式上行，與1 項的上行波同時到達樁頂；4. 所有上行波到達樁頂后反射形成的全部下行波F(d, t2)。 2、3項的應力波之和為R，其中包括了兩個二分之一側阻力和全部的端阻力。因此，全部上行波的總和將包括阻力波和t1時刻的沖擊波在樁底的反射波（取負值）。()()u td t21,FRF12( , )( , )1122()/2d tu tR FFF ZV FZV式中，下標1和2表示時刻t1和時刻t2=t1+2L/CR是遇到的總阻力，包括動阻力和靜阻力，這個總阻力和樁的極限承載力之間仍存在差別，為了預估樁的承載力，需要作多方面的考慮：即（46）（47） 去除土阻尼的影響; 在對P和V曲線采樣時，正

15、確選擇t1時刻，使阻力充分激發(fā)； 對由于樁的過早回彈（在2L/c時刻之前產(chǎn)生負的速度）而導致樁側和樁端阻力下降 做出修正；考慮土的強度和時間的關系，樁在打入或壓入土體過程中，一般都要擾動周圍土體，使土體強度降低，要得到樁使用條件下的極限承載力，必須經(jīng)過一定時間的間歇，使土體強度恢復到正常使用狀態(tài)后測試。不同的土體擾動后恢復的時間不同，具體詳見建筑基樁檢測技術規(guī)范JGJ106-2003。土阻力的發(fā)揮在一定范圍內與樁土之間的相對位移成正比，因此測試時，樁必須獲得永久性的貫入度，如果樁沒有被打動，或者貫入度極小，則得到的承載力僅僅是一種激發(fā)值，就好像不做到破壞的靜載試驗一樣。1.2.7 去除土阻尼的

16、影響 CASE法分析時，假設土的動阻力集中在樁尖，樁周不存在動阻力。動阻力與樁土相對運動速度和阻尼有關，CASE法中一般假設動阻力與速度和阻尼成正比，即dto ecto eRJ VJZ V 式中，J為粘滯阻尼系數(shù)，Jc為CASE阻尼系數(shù)；阻尼系數(shù)和樁底附近的土的顆粒尺寸有經(jīng)驗關系 樁端的運動速度可以通過樁頂實測結果計算出來，設由樁頂下行的力波在t時刻到達樁底，則11( )(/ )/(/ )/( ( )( )/toeVtF tL c ZF tL c ZF tZV tR Z（48）（49）11( ( )( )dcRJ F tZV tR（50）由于sdRRR可得CASE法的靜阻力公式 1122(1)

17、/2 (1)/2sccRJ FtZ VtJ FtZ Vt （51）（52）1.2.8 CASE法的最大阻力修法s/mR/kN0Ru圖4 土阻力的力學模型 對于每一時刻t，可以確定一個R，通常把第一個速度主峰選作t1時刻，一般認為t12L/c時刻阻力已被充分激發(fā)。但是，當樁端的最大彈性位移很大時，需要土的壓縮相當大時方能激發(fā)出全部承載力，這種情況下，全部的阻力或最大的Rs將延遲發(fā)生，可以在峰值后延時t1的方法找出Rs的最大值。這就是CASE法的最大阻力修正法。這種修正方法主要適于端承型樁且端阻力發(fā)揮所需位移較大的情況。1.2.9 卸載修正法圖5 需卸載修正的曲線 對于圖5所示的曲線，用CASE法

18、確定承載力時，當較高荷載水平的激勵脈沖有效持續(xù)時間小于2L/C時，例如對于長樁，大部分阻力來自樁身摩阻力，在樁難以打入時，都會使樁上部一小段或較大一段范圍在2L/c前出現(xiàn)過早回彈，即回彈樁段的摩阻力卸載，使CASE法低估了承載力。 CASE使用下列方法修正這種情況，首先確定樁頂速度變成零的時間和沖擊后應力波于2L/C時刻返回的差，稱之為tu，產(chǎn)生卸載的樁身長度LutuC/2，為了估算卸載阻力，先得出長度Lu段激發(fā)的側阻力。這個阻力值等于實測曲線上沖擊后tu時刻力和速度差值的一半。為了估計卸載土阻力Run,令t1+tu時刻力和速度曲線之差為xu段激發(fā)的總阻力Rx，取RunRx/2將加到總阻力R上

19、，以補償由于提前卸載所造成的R的減小，然后從其中減去阻尼分量而得到修正后的靜阻力，這個方法稱為RSU法。 1.3 高應變時程曲線的判讀1.3.1 利用F和V曲線查找系統(tǒng)故障 要想正確判讀F、V曲線，必須首先了解各種樁型的“標準”曲線。不同的樁型其“標準”曲線也不盡相同，下面列出目前我國使用較多的幾種樁型的正常的F、V曲線?；炷令A制樁（柴油錘作為動力系統(tǒng)，否則同灌注樁）的標準曲線如圖6所示，圖7是使用自由落錘錘擊混凝土灌注樁時測試的正常曲線。圖6正常的混凝土預制樁信號圖7常的混凝土灌注樁信號 高應變法檢測基樁的現(xiàn)場采集工作比較復雜和繁瑣，要順利完成整個試驗過程，牽涉到各方面的準備和協(xié)調工作，如

20、傳感器的安裝、儀器連線、參數(shù)的輸入、錘擊系統(tǒng)的調整、錘墊的選擇等，如何協(xié)調這么多環(huán)節(jié)，可以通過F、V曲線的判讀邊做邊指導。試驗時可現(xiàn)將錘落距調低一點，或者采用輕錘錘擊樁頂，觀察所測得的F、V存在什么問題，以便及時校正系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)。圖8 力傳感器松動時的信號圖9 雙邊力嚴重偏心信號（1）由于力傳感器安裝不牢而松動引起的振蕩如圖8；（2）由于錘擊偏心引起的力信號幅值相差偏大如圖9；（3）波速設置過高或過低，樁底反射位置偏移2L/C位置較多；（4）F、V曲線缺失，或局部曲線嚴重突變，可能是連線故障；（5）觀察樁底動位移積分曲線，調整錘擊力的大小。以下是幾種試驗中常見的現(xiàn)象：1.3.2 判讀樁身完整

21、性 由于錘擊所產(chǎn)生的壓力波向下傳播，在有樁側阻力處或界面突然增大處會一個反射壓力波，這一壓力波返回到樁頂時，將使樁頂處的力增大，使速度減小。同時，下行的壓力波在樁截面突然減小處或有負側阻力處，將反射一個拉力波。拉力波返回到樁頂時，使樁頂處的力值減小，速度增加。這就是利用實測的力波曲線和速度波曲線判斷樁身完整性的依據(jù)。圖10 樁身完整性判定txta 如圖10所示，當速度幅值突然增加，力值突然減小時，如圖中16.5m處，傳感器突然接收到一個拉力波，根據(jù)收到拉力波的時刻就可以估計出拉力波產(chǎn)生的位置，即樁身阻抗減小的位置。樁身阻抗的變化我們用樁身完整性系數(shù)表示：21ZZ（53）當界面變化時，下行波的入

22、射壓力波和反射拉力波的比值為：212111FZZZZF考慮土力波，缺陷截面處入射波的波幅為max12FFR 如果在ta時刻以后沒有任何回波疊加，則自ta以后，速度波和力波將保持平行，圖中超出平行線的部分就是由拉力波的疊加所產(chǎn)生的，大小用U表示。 由于定義壓力為正，故上行的拉力波幅值F是負的，上行的速度為/F Z是正值。上行的拉力波與原來的波疊加時，使力波幅值減小F，使速度波幅值增加F，所以兩條曲線的差值的變化量為2UP 。（54）所以公式（54）可以改寫為12m a x12UFFRFCAPWAP程序實際應用中對上述公式進行了修改如下：max12UFFRF于是得11（55）（56）（57）缺陷距傳感器的距離X1. .2xXc t當樁中的缺陷是輕微時，G.Goble, Rauche 建議了一個估算裂縫寬度的近似計算公式：1()2batxwtF RVdtZ圖11 淺層嚴重缺陷樁（58）（59）圖12 樁接頭不好圖13 某工程單節(jié)樁中部損傷圖14 淺層擴徑樁圖15 中部縮徑灌注樁1.3.3 判讀樁周土阻力分布 根據(jù)前面應力波傳播理論，應力波在在傳播過程中遇到樁周土阻力時，將發(fā)生反射的特性，反射波經(jīng)過一段時間傳到樁頂后從實測曲線上反映出來。在未受到摩阻力時，樁身阻抗和速度的乘積與傳感器測試的力相等，速度曲線和力曲線重合，當受到摩阻力R時，摩阻力將產(chǎn)生兩種波，一是向