信號與系統(tǒng) 課件 奧本海姆 第一章

1、第第1 1章章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)Signals and Systemsn信號的描述信號的描述n信號的自變量變換信號的自變量變換n基本信號基本信號n系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型n系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)本章的基本內(nèi)容本章的基本內(nèi)容: :1.0 引言引言 ( Introduction ) 討論信號與系統(tǒng)的基本概念，建立其討論信號與系統(tǒng)的基本概念，建立其 相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述方法，以便利用這種數(shù)學(xué)相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述方法，以便利用這種數(shù)學(xué)描述及其表示方法，建立一套信號與系統(tǒng)描述及其表示方法，建立一套信號與系統(tǒng)的分析體系。的分析體系。目的：目的： 1.1 連續(xù)時間與離散時間信號連續(xù)時間與離散時間信號（Cont

2、inuous-Time and Discrete-Time Signals）一一. .信號的分類：信號的分類： 信號可以描述范圍極其廣泛的物理現(xiàn)象。信信號可以描述范圍極其廣泛的物理現(xiàn)象。信號可以分為確知信號與隨機(jī)信號，也可以分為連號可以分為確知信號與隨機(jī)信號，也可以分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。續(xù)時間信號與離散時間信號。 確知信號可以表示成一個或幾個自變量的函確知信號可以表示成一個或幾個自變量的函數(shù)。作為信號分析的基礎(chǔ)，本課程只研究確知信數(shù)。作為信號分析的基礎(chǔ)，本課程只研究確知信號。號。1、確定信號與隨機(jī)信號、確定信號與隨機(jī)信號 按照信號的確定性劃分，信號可以分為確定信按照信號的確定性劃分，

3、信號可以分為確定信號與隨機(jī)信號。號與隨機(jī)信號。 若信號能夠被表示為確定的時間函數(shù)，在定義若信號能夠被表示為確定的時間函數(shù)，在定義域內(nèi)的任意自變量都有確定的函數(shù)值，這種信號稱域內(nèi)的任意自變量都有確定的函數(shù)值，這種信號稱之為確定信號，例如我們熟悉的正弦信號。之為確定信號，例如我們熟悉的正弦信號。 但是，傳遞信息的信號往往具有不可預(yù)知的不但是，傳遞信息的信號往往具有不可預(yù)知的不確定性，這種信號稱之為隨機(jī)信號。隨機(jī)信號不能確定性，這種信號稱之為隨機(jī)信號。隨機(jī)信號不能給出確切的函數(shù)表示，只能用統(tǒng)計規(guī)律來描述。給出確切的函數(shù)表示，只能用統(tǒng)計規(guī)律來描述。 2、連續(xù)時間信號與離散時間信號、連續(xù)時間信號與離散時

4、間信號 按照信號自變量取值的連續(xù)性劃分，信號可按照信號自變量取值的連續(xù)性劃分，信號可以分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。以分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。 如果信號的自變量是連續(xù)可變的，除若干個如果信號的自變量是連續(xù)可變的，除若干個不連續(xù)點以外，任意自變量都對應(yīng)確定的函數(shù)值，不連續(xù)點以外，任意自變量都對應(yīng)確定的函數(shù)值，則此信號稱為連續(xù)時間函數(shù)。則此信號稱為連續(xù)時間函數(shù)。 如果信號的自變量是離散取值的，只在某些如果信號的自變量是離散取值的，只在某些不連續(xù)的時間值上給出函數(shù)值，在其他時間沒有不連續(xù)的時間值上給出函數(shù)值，在其他時間沒有定義，則此信號稱為離散時間信號，有時稱為離定義，則此信號稱為離散時間

5、信號，有時稱為離散時間序列。散時間序列。 連續(xù)時間信號的例子：連續(xù)時間信號的例子：離散時間信號的例子：離散時間信號的例子： 連續(xù)時間信號在離散時刻點上的樣本可以構(gòu)成連續(xù)時間信號在離散時刻點上的樣本可以構(gòu)成一個離散時間信號。一個離散時間信號。信號的描述：信號的描述： ( ),x t12( , ).x t t離散時間信號離散時間信號( ),x n12( ,).x n n人口人口年份年份190019001930193019301930196019601960196020002000人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號3、模擬信號與數(shù)字信號、模擬信號與數(shù)字信號 按照信號自變量和幅值取值的連

6、續(xù)性劃分，按照信號自變量和幅值取值的連續(xù)性劃分，信號可以分為模擬信號與數(shù)字信號。信號可以分為模擬信號與數(shù)字信號。 連續(xù)時間信號與離散時間信號的幅值可以是連續(xù)時間信號與離散時間信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，自變量和幅值都是連連續(xù)的，也可以是離散的，自變量和幅值都是連續(xù)的信號稱之為模擬信號，自變量和幅值都是離續(xù)的信號稱之為模擬信號，自變量和幅值都是離散的信號稱之為數(shù)字信號。與數(shù)字計算機(jī)相關(guān)的散的信號稱之為數(shù)字信號。與數(shù)字計算機(jī)相關(guān)的信號總是數(shù)字信號。信號總是數(shù)字信號。信號的能量與功率：信號的能量與功率：12 , t t212( )ttEx tdt連續(xù)時間信號在連續(xù)時間信號在 區(qū)間的平均功

7、率定義為：區(qū)間的平均功率定義為：12 , t t212211( )ttPx tdttt連續(xù)時間信號在連續(xù)時間信號在 區(qū)間的能量定義為：區(qū)間的能量定義為：4、能量信號與功率信號、能量信號與功率信號離散時間信號在離散時間信號在 區(qū)間的能量定義為區(qū)間的能量定義為12 ,n n212( )nn nEx n離散時間信號離散時間信號在在 區(qū)間的平均功率為區(qū)間的平均功率為12 ,n n212211( )1nn nPx nnn在無限區(qū)間上也可以定義信號的總能量：在無限區(qū)間上也可以定義信號的總能量：dtdtEtxtxTTT)()(lim22 連續(xù)時間情況下連續(xù)時間情況下:離散時間情況下離散時間情況下: :22)

8、()(limnxnxENNN在無限區(qū)間內(nèi)的平均功率可定義為：在無限區(qū)間內(nèi)的平均功率可定義為：NNNnxNP2)(121lim21lim2( )TTTPdtTx t1. 能量信號能量信號信號具有有限的總能量，信號具有有限的總能量， 即：即：三類重要信號（三類重要信號（按照信號的可積性或可和性劃分）：,0EP 2. 功率信號功率信號信號有無限的總能量，但平均功率信號有無限的總能量，但平均功率 有限。即：有限。即：,0EP3. 信號的總能量和平均功率都是無限的。信號的總能量和平均功率都是無限的。 即：即：,EP 如果信號是周期信號，如果信號是周期信號，則則()( )x tTx t()( )x nNx

9、 n5、 周期信號與非周期信號：周期信號與非周期信號：或或連續(xù)時間周期信號連續(xù)時間周期信號離散時間周期信號離散時間周期信號201( )TPx tdtT（以（以T為周期）為周期） 或或21( )2TTPx tdtT1201( )NnPx nN（以（以N為周期）為周期）或或21( )21NnNPx nN如果信號是非周期的，且能量有限則稱為如果信號是非周期的，且能量有限則稱為能量信號能量信號。 這種信號也稱為這種信號也稱為功率信號功率信號，通常用它，通常用它的平均功的平均功率來表征。率來表征。6、一維信號與多維信號、一維信號與多維信號 按照信號自變量的維數(shù)劃分，信號可以分為按照信號自變量的維數(shù)劃分，

10、信號可以分為一維信號與多維信號。一維信號與多維信號。 語音信號可以表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，語音信號可以表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，這是一維信號。黑白照片可以表示為亮度隨空間這是一維信號。黑白照片可以表示為亮度隨空間位置變化的函數(shù)，這是二維信號。動態(tài)圖像除了位置變化的函數(shù)，這是二維信號。動態(tài)圖像除了考慮空間位置，還要考慮時間變量，是三維函數(shù)?？紤]空間位置，還要考慮時間變量，是三維函數(shù)。本書一般情況下只研究一維信號。本書一般情況下只研究一維信號。1.2 信號的基本運(yùn)算信號的基本運(yùn)算1.2.1 自變量變換自變量變換 （Transformations of the Independent Vari

11、able)由于信號可視為自變量的函數(shù)，當(dāng)自變量改變時，由于信號可視為自變量的函數(shù)，當(dāng)自變量改變時，必然會使信號的特性相應(yīng)地改變。必然會使信號的特性相應(yīng)地改變。( )x t0()x tt當(dāng)當(dāng) 時，信號向右平移時，信號向右平移00t 0t00t 時，信號向左平移時，信號向左平移0t( )x n0 x nn當(dāng)當(dāng) 時，信號向右平移時，信號向右平移00n 0n00n 時，信號向左平移時，信號向左平移0|n1. 時移變換：時移變換：Shift of Signals2. 反轉(zhuǎn)變換：反轉(zhuǎn)變換：Reflection of Signals ( )x t()xt信號以信號以 為軸呈鏡像對稱。為軸呈鏡像對稱。0t (

12、 )x n()xn與連續(xù)時間的情況相同。與連續(xù)時間的情況相同。3. 尺度變換：尺度變換： Scaling( )x t()x at1a 時時, 是將是將 在時間上壓縮在時間上壓縮a倍，倍，()x at( )x t01a 時時, 是將是將 在時間上擴(kuò)展在時間上擴(kuò)展1/a倍。倍。()x at( )x t實例：實例： 照片放大。照片放大。離散時間信號的尺度變換離散時間信號的尺度變換 離散時間信號尺度變換是指將離散時間樣本序列離散時間信號尺度變換是指將離散時間樣本序列減少或增加，分別稱為抽取與內(nèi)插零。減少或增加，分別稱為抽取與內(nèi)插零。 抽取是指離散時間變量抽取是指離散時間變量n變換為變換為Mn（M為正整

13、數(shù)），為正整數(shù)），由此由此xn變換成變換成xMn ，又稱，又稱M：1抽取。抽取。 xMn只保留只保留原序列在原序列在M整數(shù)倍時刻的序列值，其余序列值均被丟棄整數(shù)倍時刻的序列值，其余序列值均被丟棄了。了。 內(nèi)插零是指在原序列中每兩個相鄰的序列值之間插內(nèi)插零是指在原序列中每兩個相鄰的序列值之間插入入M-1個零值，即個零值，即xn變成變成x（M）n （為正整數(shù)），定義（為正整數(shù)），定義為為n,2,1,00)(llMnlMnMnxnxM11( )()(3)22x tx txt綜合示例：綜合示例：這里有一種有條不紊的途徑：據(jù)值先時移這里有一種有條不紊的途徑：據(jù)值先時移，再據(jù)值進(jìn)行尺度變換，再做時間反轉(zhuǎn)。

14、，再據(jù)值進(jìn)行尺度變換，再做時間反轉(zhuǎn)。 由由1( )(3)2x txt0 01 1( )x tt1 10 0t1 11/21/23/23/20 0t1 11/21/21/61/61()2x t 1(3)2xt 12tt 3tt做法一：做法一：做法二做法二 ：1( )(3 )(3)2x tx tx t做法三做法三 ：11( )()(3()66x tx txt0 01 1( )x tt1 10 0t1 11/31/3(3 )xt0 0t1 11/61/6 1/21/216tt 3tt1(3)2xt 1 10 0 1 1( )x tt0 0t1 11/61/67/67/61()6x t 0 0t1 1

15、1/61/6 1/21/21(3)2xt 16tt 11362tt先右移2/6再壓縮三倍1.2.2相加與相乘相加與相乘 信號的相加與相乘也是經(jīng)常遇到的兩種運(yùn)算。信號的相加與相乘也是經(jīng)常遇到的兩種運(yùn)算。例如，在語音或圖像中疊加背景就是信號相加的例如，在語音或圖像中疊加背景就是信號相加的例子，而在通信中可以依靠信號相乘來實現(xiàn)調(diào)幅、例子，而在通信中可以依靠信號相乘來實現(xiàn)調(diào)幅、混頻和檢波等功能?；祛l和檢波等功能。 兩個信號的相加（乘）即為兩個信號的時間兩個信號的相加（乘）即為兩個信號的時間函數(shù)相加（乘），反映在波形上則是將相同時刻函數(shù)相加（乘），反映在波形上則是將相同時刻所對應(yīng)的函數(shù)值相加（乘）。圖所

16、對應(yīng)的函數(shù)值相加（乘）。圖1-11(a)和圖和圖1-11(b)別是兩信號相加與相乘的例子。別是兩信號相加與相乘的例子。 1.2.3 微分與積分微分與積分 對連續(xù)時間信號進(jìn)行銳化與平滑處理時，常對連續(xù)時間信號進(jìn)行銳化與平滑處理時，常常用到信號的微分與積分運(yùn)算。圖常用到信號的微分與積分運(yùn)算。圖(a)和和(b)分別是分別是連續(xù)時間信號微分與積分的例子。連續(xù)時間信號微分與積分的例子。 由圖由圖(a)可見，信號經(jīng)微分后突出了它的變化可見，信號經(jīng)微分后突出了它的變化部分，沒有變化的部分微分結(jié)果為部分，沒有變化的部分微分結(jié)果為0。若是圖像。若是圖像信號，那么微分運(yùn)算的結(jié)果就是突出圖像的邊緣信號，那么微分運(yùn)算

17、的結(jié)果就是突出圖像的邊緣輪廓。輪廓。 由圖由圖(b)可見，信號積分的效果剛好與微分可見，信號積分的效果剛好與微分的效果相反，平滑了信號的變化部分，利用這一的效果相反，平滑了信號的變化部分，利用這一作用可消弱混入信號的毛刺（噪聲）的影響。作用可消弱混入信號的毛刺（噪聲）的影響。1.2.4 差分與累加差分與累加 離散時間信號的差分與累加分別對應(yīng)于連續(xù)離散時間信號的差分與累加分別對應(yīng)于連續(xù)時間信號的微分與積分。圖時間信號的微分與積分。圖(a)和和(b)分別是離散分別是離散時間信號差分與累加的例子。時間信號差分與累加的例子。例例1-1判斷下列信號是否為能量信號、功率信號判斷下列信號是否為能量信號、功率

18、信號 n(1) n(2) n(3) ttxcos)(1)88(1njenxtetx)(2解：解：(1) 是周期為 的周期信號，其能量與功率分別為能量無限而功率有限，因此是功率信號。)(1tx2dttdttxE221cos)(21cos1cos221cos21)(1)(212/2/222/2/222/2/121limdttdttdttdttxTdttxTPTTTTT（2） 是離散時間周期信號，其能量與功率分別為能量無限而功率有限，因此是功率信號。 1nxnnnjnenxE12)88(21111211211211212)88(2121limNNnNNnNNnnjNNnNNeNnxNnxNP例1-2

19、已知 波形如圖所示，試畫出 的波形。 )(tx)32()(1txtx解1：解2：1.3 復(fù)指數(shù)信號與正弦信號復(fù)指數(shù)信號與正弦信號 （Exponential and Sinusoidal Signals ）一一. 連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號( )atx tCe其中其中 C, a 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號：實指數(shù)信號： C，a 為實數(shù)為實數(shù)0a 呈單調(diào)指數(shù)上升。呈單調(diào)指數(shù)上升。0a 0 0t( )x tc c0a呈單調(diào)指數(shù)下降。呈單調(diào)指數(shù)下降。0a ( )x tC是常數(shù)。是常數(shù)。2. 周期性復(fù)指數(shù)信號與正弦信號周期性復(fù)指數(shù)信號與正弦信號:0aj，不失一般性取，不失

20、一般性取1C 000( )cossinjtx tetjt實部與虛部都是正弦信號。實部與虛部都是正弦信號。( )x t顯然是周期的，其基波周期為：顯然是周期的，其基波周期為：002T0 0一般情況下一般情況下0( )cos()x tAt0022jtjtjjAAe eee其基波周期為其基波周期為 , 基波頻率為基波頻率為 ，當(dāng)，當(dāng) 時時通常稱為直流信號。通常稱為直流信號。002T000對對 而言，它在一個周期內(nèi)的能量是而言，它在一個周期內(nèi)的能量是它的平均功率為：它的平均功率為：0( )jtx te00020001TTjtTEedtdtT1TP 3. 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集

21、:0( )jktkte,0, 1, 2k 當(dāng)當(dāng)k取任何整數(shù)時，該信號集中的每個信號都是取任何整數(shù)時，該信號集中的每個信號都是彼此彼此獨立的。只有獨立的。只有該信號集中的所有信號才能構(gòu)成該信號集中的所有信號才能構(gòu)成一個完備的正交函數(shù)集。一個完備的正交函數(shù)集。0k0 該信號集中的每個信號都是周期的，它們的頻率該信號集中的每個信號都是周期的，它們的頻率分別分別為為 ，都是，都是 的整數(shù)倍，因而稱它們是的整數(shù)倍，因而稱它們是成成諧波關(guān)系諧波關(guān)系的。的。0002T02kTk0T 信號集中信號的基波頻率為信號集中信號的基波頻率為 ，基波周期為，基波周期為 ， 各次諧波的周期分別為各次諧波的周期分別為 ，它

22、們的公共周期，它們的公共周期是是 。4. 一般復(fù)指數(shù)信號一般復(fù)指數(shù)信號:( )atx tCe其中其中 C, a 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)令令 則則 jCC e0arj00()( )jtjtjrtrtx tC e e eC e e 該信號可看成是振幅按實指數(shù)信號規(guī)律變化的該信號可看成是振幅按實指數(shù)信號規(guī)律變化的周期性復(fù)指數(shù)信號。它的實部與虛部都是振幅呈實周期性復(fù)指數(shù)信號。它的實部與虛部都是振幅呈實指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。當(dāng)當(dāng) 時，是指數(shù)增長的正弦振蕩。時，是指數(shù)增長的正弦振蕩。 時，是指數(shù)衰減的正弦振蕩。時，是指數(shù)衰減的正弦振蕩。 時，是等幅的正弦振蕩。時，是等幅的正弦振蕩。0r 0

23、r 0r 0r 0r 0r ( )nx nC當(dāng)當(dāng) 時，呈單調(diào)指數(shù)增長時，呈單調(diào)指數(shù)增長 時，呈單調(diào)指數(shù)衰減時，呈單調(diào)指數(shù)衰減 時，呈擺動指數(shù)衰減時，呈擺動指數(shù)衰減 時，呈擺動指數(shù)增長時，呈擺動指數(shù)增長10110 1 二二. 離散時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號離散時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號( )nx nC,C 一般為復(fù)數(shù)一般為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號：實指數(shù)信號： 均為實數(shù)均為實數(shù),C10110 1 2. 正弦信號：正弦信號：0( )jnx ne其中其中 為實數(shù)。為實數(shù)。0000( )cossinjnx nenjn( )cos(2/12)x nn( )cos(8/31)x nn( )cos( /6)x nn

24、 離散時間正弦信號不一定是周期的離散時間正弦信號不一定是周期的，這是與連，這是與連續(xù)時間正弦信號的重大區(qū)別。續(xù)時間正弦信號的重大區(qū)別。0 離散時間信號的頻率表示為離散時間信號的頻率表示為 ，其量綱是弧度。，其量綱是弧度。3. 一般復(fù)指數(shù)信號：一般復(fù)指數(shù)信號：( )nx nCjCC e0je0()( )njnx nCe00cos()sin()nCnjn令令則則 其實部與虛部都是幅度按實指數(shù)規(guī)律變化的正弦其實部與虛部都是幅度按實指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。序列。當(dāng)當(dāng) 時幅度呈指數(shù)增長，時幅度呈指數(shù)增長， 時時幅度呈指數(shù)衰減。幅度呈指數(shù)衰減。1111 離散時間復(fù)指數(shù)序列離散時間復(fù)指數(shù)序列 不一定是周期性

25、不一定是周期性的，要具有周期性，必須具備一定條件。的，要具有周期性，必須具備一定條件。 0( )jnx ne()( )x nNx n0000()jn NjnjNjneeee01jNe即即02Nm于是有于是有02mN三三. .離散時間復(fù)指數(shù)序列的周期性離散時間復(fù)指數(shù)序列的周期性設(shè)設(shè) 則有：則有： 表明表明只有在只有在 與與 的比值是一個有理數(shù)時的比值是一個有理數(shù)時， 才具有周期性才具有周期性。020jne0( )jtx te0 對對 ，當(dāng)，當(dāng) 時，對應(yīng)的信號振蕩頻率越時，對應(yīng)的信號振蕩頻率越來越高不會發(fā)生逆轉(zhuǎn)。來越高不會發(fā)生逆轉(zhuǎn)。 而對而對 ， 當(dāng)當(dāng) 時，只要是時，只要是 變化變化 的的范圍，如

26、范圍，如 ，則由于，則由于 ，總是，總是會有會有 。這表明：當(dāng)。這表明：當(dāng) 變化時，并非變化時，并非所有的所有的 都是互相獨立的。都是互相獨立的。離散時間信號的有離散時間信號的有效頻率范圍只有效頻率范圍只有 區(qū)間。區(qū)間。其中其中 ， 處都對應(yīng)最低頻率；處都對應(yīng)最低頻率； 或或 處都對應(yīng)處都對應(yīng)最高頻率。最高頻率。 0jne00202kk21jkne0kjnjnee00jne202 k 2 k( )cos(0)1x nn( )cos(/8)x nn( )cos(/4)x nn( )cos(/2)x nn( )cos()x nn( )cos(3/2)x nn( )cos(7/4)x nn( )co

27、s(15/8)x nn( )cos(2)x nn 在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質(zhì)數(shù)在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質(zhì)數(shù)的兩個正整數(shù)的兩個正整數(shù) m, N 使得：使得：02mN（m與與N無公因子）無公因子） 此時此時 即為該信號的周期即為該信號的周期, , 也稱為也稱為基波周期基波周期, ,因此該信號的基波頻率為因此該信號的基波頻率為 。02Nm02Nm 離散時間周期性復(fù)指數(shù)信號也可以構(gòu)成一個成諧離散時間周期性復(fù)指數(shù)信號也可以構(gòu)成一個成諧波關(guān)系的信號集。波關(guān)系的信號集。2( )jknNkne0, 1, 2k 該信號集中的每一個信號都是以該信號集中的每一個信號都是以N為周期的為周期

28、的, N是它們的基波周期。是它們的基波周期。稱為直流分量，稱為直流分量， 稱為基波分量。稱為基波分量。0k 1k 稱為二次諧波分量等等。稱為二次諧波分量等等。2k 每個諧波分量的頻率都是每個諧波分量的頻率都是 的整數(shù)倍。的整數(shù)倍。2N 特別值得指出的是：特別值得指出的是：該信號集中的所有信號并不該信號集中的所有信號并不是全部獨立的。是全部獨立的。( )( )k Nknn 這表明：這表明：該信號集中只有該信號集中只有N個信號是獨立的個信號是獨立的。即。即當(dāng)當(dāng)k 取相連的取相連的N個整數(shù)時所對應(yīng)的各個諧波才是彼此個整數(shù)時所對應(yīng)的各個諧波才是彼此獨立的。因此，獨立的。因此，由由N個獨立的諧波分量就能

29、構(gòu)成一個個獨立的諧波分量就能構(gòu)成一個完備的正交函數(shù)集完備的正交函數(shù)集。 顯然有：顯然有：這是與連續(xù)時間的情況有重大區(qū)別的。這是與連續(xù)時間的情況有重大區(qū)別的。 信號信號 和和 的比較的比較n 不同，信號不同不同，信號不同n對任何對任何 信號都是周信號都是周期的期的n基波頻率基波頻率n基波周期：基波周期：T0頻差頻差 的整數(shù)倍時，信號相同的整數(shù)倍時，信號相同僅當(dāng)僅當(dāng) 時，時， 信號是周期的信號是周期的基波頻率基波頻率基波周期：基波周期：N2002mN002T02Nm00jte0jne一一. 離散時間單位脈沖與單位階躍離散時間單位脈沖與單位階躍1. 單位脈沖序列單位脈沖序列( )n:1.4 單位沖激

30、與單位階躍單位沖激與單位階躍（The Unit Impulse and Unit Step Functions）( )n10n 00n 定義定義( )n1n0 2. 單位階躍序列單位階躍序列 :( )u n，定義定義( )u n 100n 0n ，( )n( )u n與與 之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：( )( )(1)nu nu n一次差分一次差分( )u nn100( )( )()nkku nknk( )n具有提取信號具有提取信號 中某一點的樣值的作用。中某一點的樣值的作用。( )x n( ) ( )(0) ( )x nnxn000( ) ()() ()x nnnx nnn1()nknk 單位階

31、躍單位階躍( )u t( )u t 10，0t 0t 10( )u tt2. 單位沖激單位沖激( ) t 定義：定義： 定義的不嚴(yán)密性，由于定義的不嚴(yán)密性，由于 在在 不連續(xù)，因不連續(xù)，因而在該處不可導(dǎo)。而在該處不可導(dǎo)。( )( )du ttdt( )( )tu td ( )u t0t 二二. 連續(xù)時間單位階躍與單位沖激連續(xù)時間單位階躍與單位沖激定義：定義：定義定義 如圖所示如圖所示:( )ut10( )utt0( )ut( )u t可認(rèn)為可認(rèn)為( )( )duttdt( ) t01t0lim( )( )tt( ) t即即 可視為一個面積始終為可視為一個面積始終為1的矩形，當(dāng)其寬度的矩形，當(dāng)其

32、寬度趨于零時的趨于零時的極限極限。顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時時( ) t表示為表示為10( ) tt00()tt0tt1 矩形面積稱為矩形面積稱為沖激強(qiáng)度沖激強(qiáng)度。( )1t dt0( )( )()tu tdtd 顯然有：顯然有：三、沖激函數(shù)的性質(zhì)三、沖激函數(shù)的性質(zhì) （1）與單位階躍信號的關(guān)系）與單位階躍信號的關(guān)系 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) 的積分等于單位階躍信的積分等于單位階躍信號號 ，即，即 反之，連續(xù)時間單位沖激函數(shù)反之，連續(xù)時間單位沖激函數(shù) 是單位階躍是單位階躍信號信號 的一次微分，即的一次微分，即 tdtu)( ( )du ttdt)(t)(t)(tu)(tu 類似地，離散時間中單位沖激函數(shù)求

33、和得到類似地，離散時間中單位沖激函數(shù)求和得到單位階躍信號，是的一階差分單位階躍信號，是的一階差分 nkknu 1nunun（2）單位沖激信號具有單位面積）單位沖激信號具有單位面積 1)( dtt 1nn（3）單位沖激信號的抽樣性質(zhì)）單位沖激信號的抽樣性質(zhì) 任何信號與函數(shù)相乘，所產(chǎn)生的仍是一個沖任何信號與函數(shù)相乘，所產(chǎn)生的仍是一個沖激函數(shù)，只是沖激的位置與強(qiáng)度發(fā)生變化。激函數(shù)，只是沖激的位置與強(qiáng)度發(fā)生變化。 )()0()()(txttx0nxnnx進(jìn)一步可得出進(jìn)一步可得出)0()()0()()(xdttxdtttxnnxnxnnx00更一般地更一般地 0000txdttttxdttttxnnnx

34、nnnxnnnx0000( ) ( )(0) ( )x ttxt000( ) ()( ) ()x tttx ttt0lim0(0)()(0) ( )xttxt0t1(0)x(0)( )xt( ) t也具有提取連續(xù)時間信號樣本的作用。也具有提取連續(xù)時間信號樣本的作用。n 單位沖激函數(shù)具有抽樣出信號中任意單位沖激函數(shù)具有抽樣出信號中任意函數(shù)值的特性。函數(shù)值的特性。n 由于單位沖激函數(shù)具有抽樣特性，因由于單位沖激函數(shù)具有抽樣特性，因而許多信號可以表示為單位沖激信號的線而許多信號可以表示為單位沖激信號的線性組合，從而引出信號與系統(tǒng)分析的新方性組合，從而引出信號與系統(tǒng)分析的新方法。法。 （4）單位沖激信

35、號是偶函數(shù)）單位沖激信號是偶函數(shù) )()(ttnn（5）尺度變換性質(zhì)）尺度變換性質(zhì) )(|1)(taat 按照階躍函數(shù)的定義，任何函數(shù)與階躍函按照階躍函數(shù)的定義，任何函數(shù)與階躍函數(shù)相乘后將切除函數(shù)的一部分，稱為階躍函數(shù)的數(shù)相乘后將切除函數(shù)的一部分，稱為階躍函數(shù)的切除特性，即切除特性，即 利用階躍函數(shù)的切除特性，可以方便地歸納利用階躍函數(shù)的切除特性，可以方便地歸納一些分段函數(shù)一些分段函數(shù)。 0000)()()(tttttxttutx0000nnnnnxnnunx四、階躍函數(shù)的性質(zhì)四、階躍函數(shù)的性質(zhì) 用階躍表示矩形脈沖用階躍表示矩形脈沖)()()(tututG)()()(001ttuttutGG(

36、t) 0 tG1(t) 0 t0 t五、其它奇異函數(shù)五、其它奇異函數(shù) 奇異函數(shù)不僅僅包括奇異函數(shù)不僅僅包括連續(xù)時間沖激函數(shù)與階躍連續(xù)時間沖激函數(shù)與階躍函數(shù)，它們的若干次積分函數(shù)，它們的若干次積分與若干次導(dǎo)數(shù)也屬于奇異與若干次導(dǎo)數(shù)也屬于奇異函數(shù)。例如，對單位階躍函數(shù)。例如，對單位階躍函數(shù)進(jìn)行積分，可得函數(shù)進(jìn)行積分，可得 000)()(tttdutrt 單位沖激函數(shù)的微分稱為單位沖激偶，定義為單位沖激函數(shù)的微分稱為單位沖激偶，定義為dttdt)()(單位沖激偶的重要性質(zhì)單位沖激偶的重要性質(zhì)n1n2)( )()(00txdttttx式中 為 在點 的導(dǎo)數(shù)值。)( 0tx)(tx0t0)(dtt即面積

37、為零，這是因為正、負(fù)兩個沖激的面積相互抵消了。1.5信號的分解信號的分解 1、 分解為偶部與奇部分解為偶部與奇部n偶信號定義為偶信號定義為 n奇信號定義為奇信號定義為)()(txtxnxnx)()(txtxnxnx 一般地，可以將任何信號分解為偶部與奇部，一般地，可以將任何信號分解為偶部與奇部，各自滿足偶對稱和奇對稱的條件。各自滿足偶對稱和奇對稱的條件。 )()()(txtxtxOdEv)()(21)()()(21)(txtxtxtxtxtxOdEv連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號離散時間信號離散時間信號2121nxnxnxnxnxnxOdEvnxnxnxOdEv2、分解為實部與虛部、分解為實部與虛部

38、 復(fù)信號可以分為實部與虛部，即復(fù)信號可以分為實部與虛部，即其共軛函數(shù)為其共軛函數(shù)為)()()(txjtxtxImRe)()()(*txjtxtxImRe)()(21)()()(21)(*txtxtxtxtxtxImRe)()()()()(*2txtxtxtxtx22ImRe3、分解為沖激信號、分解為沖激信號 nmnxnmmxmmnxnmnxnmmx輸入信號與輸出響應(yīng)都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)。輸入信號與輸出響應(yīng)都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)( )x t( )y t1.5 連續(xù)時間與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間與離散時間系統(tǒng) 一一. 系統(tǒng)系統(tǒng)（Continuous-Time and Dis

39、crete-Time Systems）連續(xù)時間系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)： 系統(tǒng)是非常廣泛的概念。通常將若干相互依賴，系統(tǒng)是非常廣泛的概念。通常將若干相互依賴，相互作用的事物所組成的具有一定功能的整體稱為相互作用的事物所組成的具有一定功能的整體稱為系統(tǒng)。它可以是物理系統(tǒng)，也可以是非物理系統(tǒng)。系統(tǒng)。它可以是物理系統(tǒng)，也可以是非物理系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的基本思想：系統(tǒng)分析的基本思想：1. 根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為描述輸入輸出關(guān)系的方程。通常表現(xiàn)為描述輸入輸出關(guān)系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。離散時間系統(tǒng)離散時間

40、系統(tǒng)( )x n( )y n離散時間系統(tǒng)：離散時間系統(tǒng)：輸入信號與輸出響應(yīng)都是離散時間信號的系統(tǒng)。輸入信號與輸出響應(yīng)都是離散時間信號的系統(tǒng)。 本課程所研究的對象本課程所研究的對象LTI（Linear TimeInvariant Systems）系統(tǒng)就是這樣的一類系統(tǒng)。系統(tǒng)就是這樣的一類系統(tǒng)。 （2）很多工程實際中的系統(tǒng)都能夠利用這類系統(tǒng)很多工程實際中的系統(tǒng)都能夠利用這類系統(tǒng)的方法建模（即具有普遍性）。的方法建模（即具有普遍性）。為此要求所研究的系統(tǒng)具有以下為此要求所研究的系統(tǒng)具有以下兩點重要特性兩點重要特性: :（1）這一類系統(tǒng)應(yīng)該具有一些性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過這一類系統(tǒng)應(yīng)該具有一些性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過

41、它們能夠?qū)ο到y(tǒng)的行為作出透徹的描述，并能對這它們能夠?qū)ο到y(tǒng)的行為作出透徹的描述，并能對這一類系統(tǒng)建立有效的分析方法（即可行性）。一類系統(tǒng)建立有效的分析方法（即可行性）。 可以通過對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析并通可以通過對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析并通過子過子系統(tǒng)互聯(lián)而達(dá)到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的。系統(tǒng)互聯(lián)而達(dá)到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的。 也可以通過將若干個簡單子系統(tǒng)互聯(lián)起來而實現(xiàn)也可以通過將若干個簡單子系統(tǒng)互聯(lián)起來而實現(xiàn)一個相對復(fù)雜的系統(tǒng)。這一思想對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)一個相對復(fù)雜的系統(tǒng)。這一思想對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合都是十分重要的。綜合都是十分重要的。二二. . 系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)的互聯(lián) （Interconnectio

42、n of Systems） 現(xiàn)實中的系統(tǒng)是各式各樣的，其復(fù)雜程度也大相現(xiàn)實中的系統(tǒng)是各式各樣的，其復(fù)雜程度也大相徑庭。但許多系統(tǒng)都可以分解為若干個簡單系統(tǒng)的徑庭。但許多系統(tǒng)都可以分解為若干個簡單系統(tǒng)的組合。組合。2. 并聯(lián)并聯(lián) ( parallel interconnection )( )x t( )x n( )y t( )y n1. 級聯(lián)級聯(lián) (cascade interconnection)( )x t( )x n( )y t( )y n3. 反饋聯(lián)結(jié)反饋聯(lián)結(jié) ( Feedback interconnection )( )x n( )x t( )y t( )y n工程實際中也經(jīng)常將級聯(lián)、并

43、聯(lián)混合使用，如：工程實際中也經(jīng)常將級聯(lián)、并聯(lián)混合使用，如：III 在任何時刻，系統(tǒng)的輸出都只與當(dāng)前時刻的輸入在任何時刻，系統(tǒng)的輸出都只與當(dāng)前時刻的輸入有關(guān)，而與該時刻以外的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)是有關(guān)，而與該時刻以外的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)無記憶系統(tǒng)。否則就是。否則就是記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)，即，即（memory systems 或或 systems with memory )。 如果一個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與當(dāng)時的輸入有關(guān)如果一個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與當(dāng)時的輸入有關(guān), ,而且與該時刻以外的其它時刻的輸入有關(guān)，則系而且與該時刻以外的其它時刻的輸入有關(guān)，則系統(tǒng)是記憶的。統(tǒng)是記憶的。1.6 系統(tǒng)的基

44、本性質(zhì)系統(tǒng)的基本性質(zhì) ( Basic System Properties ) 1. 記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng) (memory systems and memoryless systems)例如：例如：1( )( )ty txdC（電容）（電容）( )(1)y tx tRC、RLC電路電路( )( )nky nx k（累加器）（累加器）( )( )(1)y nx nx n（差分器）（差分器）等都是等都是記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng) 在無記憶系統(tǒng)中有一種特例，即任何時刻系統(tǒng)在無記憶系統(tǒng)中有一種特例，即任何時刻系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入信號都相同，即有的輸出響應(yīng)與輸入信號都相同，即有 , 或或 。這樣

45、的無記憶系統(tǒng)稱為。這樣的無記憶系統(tǒng)稱為恒等系統(tǒng)恒等系統(tǒng) ( identity system )。 ( )( )y tx t( )( )y nx n2. 可逆性與逆系統(tǒng)可逆性與逆系統(tǒng) (Inveritibility and inverse systems) 如果一個系統(tǒng)對任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同如果一個系統(tǒng)對任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對應(yīng)的，則稱該系統(tǒng)的輸出，即輸入與輸出是一一對應(yīng)的，則稱該系統(tǒng)是是可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng)( invertible systems )。 如果一個系統(tǒng)對兩個或兩個以上不同的輸入信如果一個系統(tǒng)對兩個或兩個以上不同的輸入信號能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是

46、不可逆的，稱為號能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是不可逆的，稱為不不可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng)( noninvertible systems )。 如果一個可逆系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)級聯(lián)后構(gòu)成一如果一個可逆系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)級聯(lián)后構(gòu)成一個恒等個恒等系統(tǒng)，則稱后者是前者的系統(tǒng)，則稱后者是前者的逆系統(tǒng)逆系統(tǒng) ( inverse system )。( )x t( )x n( )y t( )y n( )x t( )x n例如例如:1( )( )2y tx t 是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是:( )2 ( )y tx t( )( )nky nx k 是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是:( )( )(1)y

47、 nx nx n還原為還原為 。輸入輸入 時時, ；輸入；輸入 時時, 。2( )( )y tx t是不可逆系統(tǒng)，是不可逆系統(tǒng)，因為有兩個不同的因為有兩個不同的( )x t( )x t( )( ) (1)y nx n x n也是不可逆的，也是不可逆的，因為因為 ( )n( )0y n (1)n( )0y n ( )(2 )y nxn是不可逆系統(tǒng)，是不可逆系統(tǒng)，因為無法從因為無法從 (2 )xn( )x n( )( )dx ty tdt不可逆；不可逆； 也是不可逆系統(tǒng)。也是不可逆系統(tǒng)。( )0y t 調(diào)制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統(tǒng)是解調(diào)調(diào)制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統(tǒng)是解調(diào)器或解碼器。

48、器或解碼器。而而輸入輸入 和和 能產(chǎn)生相同的輸出。能產(chǎn)生相同的輸出。 如果一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出都只與當(dāng)時這個時如果一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出都只與當(dāng)時這個時刻的輸入以及該時刻以前的輸入有關(guān)，而和該時刻以刻的輸入以及該時刻以前的輸入有關(guān)，而和該時刻以后的輸入無關(guān)就稱該系統(tǒng)是后的輸入無關(guān)就稱該系統(tǒng)是因果的因果的( causal )。否則就否則就是是非因果的非因果的( noncausal )。3. 因果性因果性 (causality) 一般說來，一般說來，非因果系統(tǒng)是物理不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)是物理不可實現(xiàn)的。這體。這體現(xiàn)了因果性對系統(tǒng)實現(xiàn)的重要性。但對非實時處理現(xiàn)了因果性對系統(tǒng)實現(xiàn)的重要性。但對非

49、實時處理信號的離散時間系統(tǒng)，或信號的自變量并不具有時信號的離散時間系統(tǒng)，或信號的自變量并不具有時間概念的情況，因果性并不一定成為系統(tǒng)能否物理間概念的情況，因果性并不一定成為系統(tǒng)能否物理實現(xiàn)的先決條件。實現(xiàn)的先決條件。 例如在圖像處理中例如在圖像處理中, , 自變量是圖像中各點的坐標(biāo)自變量是圖像中各點的坐標(biāo)位置，而并非代表時間。對某些數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，如位置，而并非代表時間。對某些數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，如股市分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測等股市分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測等 , ,實際上是以足夠的延時來實際上是以足夠的延時來換取非因果性的實現(xiàn)。換取非因果性的實現(xiàn)。( )()y nxn0n 時時 決定于以后時刻的輸入。決定于以后時刻的輸入

50、。( )y n( )( )(1);y nx nx n( )(2 )y txt是非因果系統(tǒng)。是非因果系統(tǒng)。RLC電路電路, , ,都是因果系統(tǒng)。都是因果系統(tǒng)。 ( )( )(1)y nx nx n( )( )nky nx k4. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 ( stability ) 如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入有界時，產(chǎn)生的輸出也是有如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入有界時，產(chǎn)生的輸出也是有界的，則該系統(tǒng)是界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)(stable system)。否則，否則，就是就是不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)(unstable system)。例如：單擺、例如：單擺、RC電路都是穩(wěn)定系統(tǒng)；電路都是穩(wěn)定系統(tǒng)； 也是穩(wěn)定系統(tǒng)。也是穩(wěn)定系

51、統(tǒng)。( )(1)y nx n( )( ),nky nx k( )( ),( )( )ty txdy ttx t都是不穩(wěn)定系統(tǒng)。都是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入信號有一個時移時，輸出響如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入信號有一個時移時，輸出響應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時移。除此之外，輸出響應(yīng)無任何應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時移。除此之外，輸出響應(yīng)無任何其它變化，則稱該系統(tǒng)是其它變化，則稱該系統(tǒng)是時不變的時不變的(time-invariant)。否則就是否則就是時變的時變的( time-varying )。 工程實際中總希望所設(shè)計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此工程實際中總希望所設(shè)計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此穩(wěn)定性對系統(tǒng)來說是非常重要的。穩(wěn)定性對系統(tǒng)

52、來說是非常重要的。5. 時不變性時不變性 ( Time-invariance )即：若即：若 ( )( ),x ty t00()()x tty tt則系統(tǒng)是時不變的。則系統(tǒng)是時不變的。檢驗一個系統(tǒng)時不變性的步驟檢驗一個系統(tǒng)時不變性的步驟: : 令輸入為令輸入為 ，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時的輸，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時的輸出出 。 將輸入信號變?yōu)閷⑤斎胄盘栕優(yōu)?，再根據(jù)系統(tǒng)的描述確定輸，再根據(jù)系統(tǒng)的描述確定輸出出 。 3. 令令 根據(jù)自變量變換，檢驗根據(jù)自變量變換，檢驗 是否等于是否等于 。1( )x t1( )y t210( )(),x tx tt2( )y t2( )y t10()y tt2

53、( )x t如如當(dāng)當(dāng) 時，時，( )(1) ( )y nnx n1( )( )x nx n11( )(1)( )y nnx n2( )( )x nx n時，時，22( )(1)( )y nnx n由于由于100102()(1)()( )y nnnnx nny n系統(tǒng)是時變的。系統(tǒng)是時變的。當(dāng)當(dāng)令令210( )()x nx nn則有：則有：210( )(1)()y nnx nn又如：又如：( )()y txt1( )( )x tx t11( )()y txt210( )()x tx tt22( )()y txt該系統(tǒng)是時變的。該系統(tǒng)是時變的。1010102() ()()( )y ttxttx t

54、ty t當(dāng)當(dāng) 時，時，當(dāng)當(dāng) 時，時，2( )( )x tx t令令則有：則有：210( )()y txtt 而而6. 線性線性（Linearity） 11( )( )x ty t22( )( )x ty t1212( )( )( )( )ax tbx tay tby t 其中其中a,b是常數(shù)是常數(shù)（包括復(fù)數(shù)），滿足此關(guān)系的系統(tǒng)是線性的。（包括復(fù)數(shù)），滿足此關(guān)系的系統(tǒng)是線性的。若若 例如：例如： , ,滿足可加性，但不滿足齊滿足可加性，但不滿足齊次性。當(dāng)次性。當(dāng) 時其實部變?yōu)樘摬?，虛部變?yōu)閷嵅繒r其實部變?yōu)樘摬浚摬孔優(yōu)閷嵅俊? )Re( )y tx taj滿足齊次性但不滿足可加性。滿足齊次性但不滿足可加性。21( ) ( )( )y tx tx t因為，若輸入為因為，若輸入為 則則12( )( )x tx t2212121( )( )( ) ( )( )y tx tx tx tx t22212121212( )( )( )(