大學(xué)物理角動量3

1、 剛體的角動量剛體的角動量=剛體上各個質(zhì)點(diǎn)的角動量之和。設(shè)剛剛體上各個質(zhì)點(diǎn)的角動量之和。設(shè)剛體以角速度體以角速度繞固定軸繞固定軸z轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, Li=miviri=mi ri2L=( mi ri2) I= mi ri2,稱為稱為mivirioL Z IL上次內(nèi)容回顧I= mi ri2dmrI2質(zhì)量連續(xù)分布剛體質(zhì)量連續(xù)分布剛體和轉(zhuǎn)軸有關(guān)和轉(zhuǎn)軸有關(guān),和物體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān)和物體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān)上次內(nèi)容回顧質(zhì)量為質(zhì)量為m、長度為、長度為L的細(xì)直棒，通過質(zhì)的細(xì)直棒，通過質(zhì)心心C且垂直于棒的軸且垂直于棒的軸2121mLI 2mR21I 均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，繞中心軸轉(zhuǎn)動時，上次

2、內(nèi)容回顧 剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量I等于剛體通過質(zhì)心的等于剛體通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量平行軸的轉(zhuǎn)動慣量Ic加上剛體的總質(zhì)量加上剛體的總質(zhì)量M乘以兩平行乘以兩平行軸間距離軸間距離d的平方，即的平方，即 I=Ic+Md2 IL IdtdIM對定軸轉(zhuǎn)動來說對定軸轉(zhuǎn)動來說,剛體的角加速度與它所受到的力矩正剛體的角加速度與它所受到的力矩正比比,與轉(zhuǎn)動慣量成反比與轉(zhuǎn)動慣量成反比剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量定理dtdLM 上次內(nèi)容回顧 剛體的進(jìn)動非定軸轉(zhuǎn)動問題dtLdMIL IdtdIMmgO例題例題1 以以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，的恒力矩作用在有

3、固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩，轉(zhuǎn)輪經(jīng)此時撤去該力矩，轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對該軸的轉(zhuǎn)動慣量對該軸的轉(zhuǎn)動慣量,及摩擦力距。及摩擦力距。2IMrm.N8 . 1Mkgm3 .17Ir222t 20-Mr=I 1， 1= /t1 o對對m: mg-T=ma對柱：對柱： TR=I ， 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg 例題例題2 質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體

4、邊緣繞有一根不能伸長軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。體的角加速度及繩中的張力。221MRI 解： a=R x mg-T2= ma a=R 1=r 2 , T1R= m1R21 2121 T2r-T1r = m2r2 2T1T1T2mgm1m2mRr12例題例題3 質(zhì)量質(zhì)量m1半徑為半徑為R的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為動，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為m2半徑半徑r的具有水平光滑軸的圓盤形定

5、滑輪后掛有質(zhì)量為的具有水平光滑軸的圓盤形定滑輪后掛有質(zhì)量為m的的物體，如圖所示。求當(dāng)物體物體，如圖所示。求當(dāng)物體m由靜止開始下落了由靜止開始下落了h時，時，求求:物體物體m的速度及的速度及 繩中的張力。繩中的張力。 解解 : v2=2ah，x 例題例題4 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m、長為、長為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB，可繞，可繞一水平光滑軸一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，o軸離軸離A端的距離端的距離為為 l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞o軸轉(zhuǎn)動，軸轉(zhuǎn)動，求棒轉(zhuǎn)過角求棒轉(zhuǎn)過角 時的角加速度和角速度。時的角加速度和角速度。 ABoCmgcos6lm

6、gMo22291)6(121mllmmlIocos23lgIMoo 解解 dtdddddcos23lgdtd所以dlgdcos2300完成積分得lgsin3討論討論: (1)當(dāng)當(dāng) =0時，時， =3g/2l， =0 ； (2)當(dāng)當(dāng) =90時，時， =0， =(3g/l)1/2。 dtddtdddddcos23lgABoCmg 例題例題5 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以心且垂直于盤面的光滑軸正以 o的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為為

7、，求圓盤經(jīng)轉(zhuǎn)幾圈將停下來？求圓盤經(jīng)轉(zhuǎn)幾圈將停下來？ rdro計算出來摩計算出來摩擦力矩是關(guān)鍵擦力矩是關(guān)鍵rdrRmgrMR202mgR32221mRI rdrRmgrMR202rdro221mRI RgIM34于是得于是得 又由又由 2- o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為gRNoo1632222mgR32 定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律dtdLM ILdtLdMdt)I (d 若物體所受的合外力矩為零若物體所受的合外力矩為零(即即0)時，則時，則 I =常量常量 這表明：當(dāng)合外力矩為零時這表明：當(dāng)合外力矩為零時,物體的角動量將保持不物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動的

8、角動量守恒定律變，這就是定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律說明：在慣性系下成立說明：在慣性系下成立恒定角速度剛體，則定軸轉(zhuǎn)動的物體如果是是剛體定軸轉(zhuǎn)動的物體如果不增大減小則減小增大則若III I =常量常量零，系統(tǒng)總角動量守恒矩矢量和為只要系統(tǒng)所受到的外力系統(tǒng)，如果是幾個物體組成的系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒dtLdMo量保持不變。則物體對這個軸的角動心的軸的力矩為零，到的合外力對通過其質(zhì)），只要物體所受下（既有平動又有轉(zhuǎn)動體運(yùn)動的情況可以證明：在物體有整轉(zhuǎn)軸存在運(yùn)動的情況 系統(tǒng)角動量守恒的條件是：系統(tǒng)角動量守恒的條件是： 系統(tǒng)動量守恒的條件是：系統(tǒng)動量守恒的條件是：時當(dāng)外 0M常矢量iiP時當(dāng)外0F系統(tǒng)的

9、機(jī)械能守恒的條件是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的條件是:時當(dāng)非保內(nèi)外0AA常數(shù)kpEE三大守恒定律的守恒條件常矢量L 解解 .ommvv 例題例題6 粗糙的水平桌面上，有一長為粗糙的水平桌面上，有一長為2L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的勻的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸質(zhì)細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸o自由轉(zhuǎn)動，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為自由轉(zhuǎn)動，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，起初桿靜止。桌起初桿靜止。桌面上有兩個質(zhì)量均為面上有兩個質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同的速率正對著桿的一端，以相同的速率v相向運(yùn)動，并與桿的兩相向運(yùn)動

10、，并與桿的兩端同時發(fā)生完全非彈性碰撞端同時發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時間極短設(shè)碰撞時間極短), 如圖如圖,求求: (1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？ (2)桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？(不計兩小球重力造成的摩擦不計兩小球重力造成的摩擦力矩）力矩）碰撞過程中有角動量守恒碰撞過程中有角動量守恒Lv762231)2(121mLLmI2mvL .ommvv (2)xgdxLmML220LgIM143由= o+t：gvt42Lmg碰撞過程中有角動量守恒碰撞過程中有角動量守恒dm.ox dxfr)2(2mLI 解解 oR/2 例題例題

11、7 勻質(zhì)園盤勻質(zhì)園盤(m、R)與一人與一人(m/10,視為質(zhì)點(diǎn)視為質(zhì)點(diǎn))一起一起以角速度以角速度 o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動,如圖如圖所示所示。如果此人相對于盤以速率。如果此人相對于盤以速率v、沿半徑為、沿半徑為R/2的園的園周運(yùn)動周運(yùn)動(方向與盤轉(zhuǎn)動方向相反方向與盤轉(zhuǎn)動方向相反), 求求:(1)圓盤對地的角速圓盤對地的角速度度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？向？盤地人盤人地VVV2Rv設(shè)盤對地的角速度為oRmmR)21(102122221mR體系初態(tài)角動量體系初態(tài)角動量末態(tài)盤的角動量末態(tài)盤

12、的角動量oRmmR)21(102122221mRRvo212(2) 欲使盤靜止，可令欲使盤靜止，可令0212RvooRv221 oR/22)2(10RvRm當(dāng)剛體在力矩當(dāng)剛體在力矩M的作用下由角的作用下由角 1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 2時時,力矩所作的功為力矩所作的功為FZdsdrop21MdA力矩的功率是力矩的功率是 P=dA/dt=Md /dt=M 定軸轉(zhuǎn)動的功和能程功為：角度，在此過作用下轉(zhuǎn)過點(diǎn)，剛體在的作用在與轉(zhuǎn)軸距離為轉(zhuǎn)動，外力剛體繞dFprFozrdFdAsinrdF Md221iivmi22iikrm21E 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動能之和剛體上各質(zhì)點(diǎn)動能之和,設(shè)剛體設(shè)剛體繞

13、一定軸以角速度繞一定軸以角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,第第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi,它它到轉(zhuǎn)軸的距離為到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,它的線速度它的線速度vi=ri. 相應(yīng)的動能相應(yīng)的動能定軸轉(zhuǎn)動中的動能iriv2I21剛體的動能是轉(zhuǎn)動慣量乘以角速度剛體的動能是轉(zhuǎn)動慣量乘以角速度平方的一半平方的一半2221iirmdtdIIMdM21在上式兩邊同乘以在上式兩邊同乘以d 并積分得并積分得：合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動的動能定理量。這便是定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 2122212121IIMdA剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理dI21因此剛體的機(jī)械能為：因

14、此剛體的機(jī)械能為： 221ImgzEc機(jī)械能守恒定律如果一個包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng)如果一個包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng),在運(yùn)動過程中在運(yùn)動過程中外力功和非保守內(nèi)力功代數(shù)和為零外力功和非保守內(nèi)力功代數(shù)和為零,則此系統(tǒng)則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的機(jī)械能守恒cPMgzE 的大小力矩米的 輪的輪緣上為的看作均分布在半徑近似轉(zhuǎn)，若飛輪的質(zhì)量可以轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)后飛輪的轉(zhuǎn)動，經(jīng)用下由靜止開下由靜止的作在恒力矩輪質(zhì)量為，例M求，0.51205Mkg,200m飛821222121IIMdA2221IMA01mN6 .125M2LmgChco231mLI L)sin-(13gdtddtdddddcos2L3g 例例9一質(zhì)量為一質(zhì)量為

15、m、長為、長為L的均勻細(xì)直棒可繞其一端且的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸與棒垂直的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動。開始時，棒靜止轉(zhuǎn)動。開始時，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成 角時的角速度和角時的角速度和角加速度角加速度 sin2Lmg221I 例題例題10 如圖所示，有一由彈性系數(shù)為如圖所示，有一由彈性系數(shù)為k的彈簧、勻的彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，滑輪質(zhì)量為組成的系統(tǒng)，滑輪質(zhì)量為m半徑為半徑為r，該系統(tǒng)在彈簧為原長時被靜止釋放。運(yùn)動過程中繩該系統(tǒng)在彈簧為原長時被靜止釋放。運(yùn)動過程中繩與滑輪間無滑動。求與滑輪間無滑動。求:(1)重物重

16、物M下落下落h時的速度；時的速度；(2)彈簧的最大伸長量。彈簧的最大伸長量。 MghhMmrk零勢面221mrI ，v= rmMkhMghv2122 解解 kMg2hMax222212121khIMv 解解 ABORo 例題例題11 空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為動，轉(zhuǎn)動慣量為Io ,半徑為半徑為R，初始角速度為，初始角速度為 o 。質(zhì)量。質(zhì)量為為m的小球靜止在環(huán)的最高處的小球靜止在環(huán)的最高處A點(diǎn)，由于某種擾動，點(diǎn)，由于某種擾動，小球沿環(huán)向下滑動，求小球滑到與環(huán)心小球沿環(huán)向下滑動，求小球滑到與環(huán)心O在同一高度在同一高度的的B點(diǎn)時，環(huán)的角速

17、度及小球相對于環(huán)的速度各為多點(diǎn)時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少。少。(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)2000mRIIC00I角動量守恒角動量守恒)(20mRI ABORo 上式中的上式中的v是小球相對于地的速是小球相對于地的速度，它應(yīng)為度，它應(yīng)為222)(BvRvvB表示小球在表示小球在B點(diǎn)時相對于地面的豎直分點(diǎn)時相對于地面的豎直分速度速度(即相對于環(huán)的速度即相對于環(huán)的速度)。 mgRI20021022200BImRRIgR2v機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2202121mvI 解解 2l/3mvooA32lmvo)43(6mMlmvo(2)桿在

18、轉(zhuǎn)動過程中顯然機(jī)械能守恒：桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機(jī)械能守恒： 例題例題12 長為長為l、質(zhì)量為質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端的的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入桿上的的子彈以水平速度射入桿上的A點(diǎn)，并嵌點(diǎn)，并嵌在桿中，在桿中，oA=2l/3, 求求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度子彈射入后瞬間桿的角速度; (2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度桿能轉(zhuǎn)過的最大角度 。)32(3122lmMl 角動量守恒角動量守恒)cos2-Mg(ll)322()32(31 2)32(1cos222lm

19、glMglmMllmvo2l/3mvooA以桿的下端點(diǎn)為零勢點(diǎn)以桿的下端點(diǎn)為零勢點(diǎn)222)32m(M3121mg32Mgllll)cos32-mg(ll 剛體力學(xué)小結(jié)剛體力學(xué)小結(jié)質(zhì)點(diǎn)的角質(zhì)點(diǎn)的角動量定理動量定理質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的角動量角動量質(zhì)點(diǎn)的角動質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理角動量定理定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動角動量角動量定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理的轉(zhuǎn)動定理剛體的角剛體的角動量守恒動量守恒定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動動能定理動能定理定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動動能和功動能和功剛體的機(jī)剛體的機(jī)械能守恒械能守恒在繼承的在繼承的基礎(chǔ)上創(chuàng)新基礎(chǔ)上創(chuàng)新狹義振動：狹義振動：物體在一定位置附近作物體在一定位置附近作周

20、期性周期性往復(fù)運(yùn)動往復(fù)運(yùn)動廣義振動：任一物理量廣義振動：任一物理量(如電壓、電如電壓、電 流等流等)在某一數(shù)值在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。附近反復(fù)變化。 第四章第四章 振動學(xué)基礎(chǔ)振動學(xué)基礎(chǔ)廣義振動：隨時間的變化有一定的周期性的事物盡管振動有各種形式，但卻具有同樣的規(guī)律性，盡管振動有各種形式，但卻具有同樣的規(guī)律性，這種規(guī)律可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)這種規(guī)律可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)本章重要性的體現(xiàn) 振動學(xué)一個基本的思路振動學(xué)一個基本的思路振動疊加原理振動疊加原理任何一個復(fù)雜的振動都可以看成任何一個復(fù)雜的振動都可以看成是一種最基本的振動合成的是一種最基本的振動合成的簡諧振動簡諧振動研究清楚了簡諧振動，

21、再清楚了它們的研究清楚了簡諧振動，再清楚了它們的合成問題，就可以研究任何復(fù)雜振動了合成問題，就可以研究任何復(fù)雜振動了第一節(jié)：簡諧振動的運(yùn)動學(xué)第一節(jié)：簡諧振動的運(yùn)動學(xué)彈簧振子彈簧振子的運(yùn)動如的運(yùn)動如圖所示圖所示一，一，彈簧振子彈簧振子kmoxX當(dāng)振子位移為當(dāng)振子位移為x時時kxF由牛頓定律：由牛頓定律：kxdtxdm22令令2mk于是有：于是有：0222xdtxdkmoxXma簡諧振動的運(yùn)動方程簡諧振動的運(yùn)動方程方程的一般解為：方程的一般解為：)cos(tAx簡諧振動的運(yùn)動方程簡諧振動：相對與平衡位置的位移是時間簡諧振動：相對與平衡位置的位移是時間的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動就是簡諧振動的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動就是簡諧振動方程的一般解為：方程的一般解為：)cos(tAx簡諧振動的定義簡諧振動的定義oTtx、 、ax 2A 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 AA-A- A- 2A a)sin(tAdtdxv)cos(222tAdtxda)cos(tAx位置、速度和加速度