傳熱學(xué)-第三章

1、第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2研究非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的實(shí)際意義研究非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的實(shí)際意義 許多工程實(shí)際問題需要確定物體內(nèi)部的溫度場隨時(shí)間的變許多工程實(shí)際問題需要確定物體內(nèi)部的溫度場隨時(shí)間的變化，或確定其內(nèi)部溫度到達(dá)某一限定值所需要的時(shí)間。例如：化，或確定其內(nèi)部溫度到達(dá)某一限定值所需要的時(shí)間。例如：在機(jī)器啟動(dòng)、停機(jī)及變動(dòng)工況時(shí)，急劇的溫度變化會(huì)使部件因在機(jī)器啟動(dòng)、停機(jī)及變動(dòng)工況時(shí)，急劇的溫度變化會(huì)使部件因熱應(yīng)力而破壞，因而需要確定物體內(nèi)部的瞬時(shí)溫度場；鋼制工熱應(yīng)力而破壞，因而需要確定物體內(nèi)部的瞬時(shí)溫度場；鋼制工件的熱處理要掌握溫度變化的速率。金屬在加熱爐內(nèi)加熱時(shí)，

2、件的熱處理要掌握溫度變化的速率。金屬在加熱爐內(nèi)加熱時(shí)，需要確定它在加熱爐內(nèi)停留的時(shí)間，以保證達(dá)到規(guī)定的中心溫需要確定它在加熱爐內(nèi)停留的時(shí)間，以保證達(dá)到規(guī)定的中心溫度?？梢姡欠€(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是個(gè)有很大實(shí)際意義的課題。度?？梢?，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是個(gè)有很大實(shí)際意義的課題。 本章的主要內(nèi)容及研究目的本章的主要內(nèi)容及研究目的 本章從介紹非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念入手，依次討論本章從介紹非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念入手，依次討論（1 1）零維的分析解法）零維的分析解法（2 2）一維及多維問題的分析解法及其主要結(jié)果。主要是諾模圖法）一維及多維問題的分析解法及其主要結(jié)果。主要是諾模圖法（3 3）簡要介紹所謂的半無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問

3、題。）簡要介紹所謂的半無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。 主要應(yīng)掌握確定瞬時(shí)溫度場的方法及在一段時(shí)間間隔內(nèi)物體主要應(yīng)掌握確定瞬時(shí)溫度場的方法及在一段時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱33-1 3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義 . ),(rft 物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。 根據(jù)物體溫度隨著時(shí)間的推移而變化的特性可以區(qū)分為兩類非根據(jù)物體溫度隨著時(shí)間的推移而變化的特性可以區(qū)分為兩類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： 物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值

4、物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值 。即瞬態(tài)非。即瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 物體溫度隨時(shí)間而作周期性的變化。即周期性的非物體溫度隨時(shí)間而作周期性的變化。即周期性的非 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱4t1t001234著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 1 1 過程的特征及溫度分布：過程的特征及溫度分布： 考察一個(gè)平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程?？疾煲粋€(gè)平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。其初時(shí)溫度為其初時(shí)溫度為t t0 0, ,令左側(cè)表面的溫度令左側(cè)表面的溫度突然升高到突然升高到t t1 1并保持不變，而右側(cè)仍并保持不變，而右側(cè)仍與溫度為與溫度為t t0 0的空氣接觸

5、。首先物體緊的空氣接觸。首先物體緊挨高溫表面部分的溫度很快上升，而挨高溫表面部分的溫度很快上升，而其余部分仍保持原來的溫度其余部分仍保持原來的溫度t t0 0，如圖，如圖HBDHBD。隨著時(shí)間的推移，溫度變化的。隨著時(shí)間的推移，溫度變化的波及范圍不斷擴(kuò)大，在一定的時(shí)間以波及范圍不斷擴(kuò)大，在一定的時(shí)間以后，右側(cè)表面的溫度也逐漸升高，如后，右側(cè)表面的溫度也逐漸升高，如HCDHCD，HEHE， HFHF。最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)。最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)HGHG。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱5 非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的三個(gè)階段導(dǎo)熱過程的三個(gè)階段2

6、 2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別 （1 1）上述非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中，存在著右側(cè)面不參與換熱和參與換熱）上述非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中，存在著右側(cè)面不參與換熱和參與換熱的兩個(gè)不同階段。在右側(cè)面不參與換熱的階段里，溫度分布呈現(xiàn)出的兩個(gè)不同階段。在右側(cè)面不參與換熱的階段里，溫度分布呈現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，在部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，在這個(gè)階段中物體中的溫度分布受初始溫度分布很大的影響。這一初這個(gè)階段中物體中的溫度分布受初始溫度分布很大的影響。這一初始階段稱為非正規(guī)狀況階段。右側(cè)表面參與換熱后，初始溫度分布始階段稱為非正規(guī)狀況階段

7、。右側(cè)表面參與換熱后，初始溫度分布的影響逐漸消失，溫度分布主要取決于邊界條件及物性。此時(shí)非穩(wěn)的影響逐漸消失，溫度分布主要取決于邊界條件及物性。此時(shí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入到了正規(guī)狀況階段。態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入到了正規(guī)狀況階段。 正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律將是本章討論的重點(diǎn)。存在這有正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律將是本章討論的重點(diǎn)。存在這有區(qū)別的兩個(gè)不同的階段是這一類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱區(qū)別于周期性導(dǎo)熱的區(qū)別的兩個(gè)不同的階段是這一類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱區(qū)別于周期性導(dǎo)熱的特點(diǎn)。特點(diǎn)。 另外，存在周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。例如地球表面季節(jié)的變化。另外，存在周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。例如地球表面季節(jié)的變化。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱61 1板左側(cè)導(dǎo)入的熱

8、流量板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量2 2板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量 （2 2）在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中，在）在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中，在熱量傳遞的路經(jīng)中，物體各處本熱量傳遞的路經(jīng)中，物體各處本身溫度的變化要積累或削耗熱量，身溫度的變化要積累或削耗熱量，熱流量處處不等。陰影部分就代熱流量處處不等。陰影部分就代表了平板升溫過程中所積聚的能表了平板升溫過程中所積聚的能量。量。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱73 3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解 導(dǎo)熱微分方程式連同定解條件一起完整地描寫了一個(gè)特定的非穩(wěn)導(dǎo)熱微分方程式連同定解條件一起完整地描寫了一個(gè)特定的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為在規(guī)定的初始條態(tài)

9、導(dǎo)熱問題。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為在規(guī)定的初始條件及邊界條件下求解導(dǎo)熱微分方程式。件及邊界條件下求解導(dǎo)熱微分方程式。初始條件的一般形式是初始條件的一般形式是 t(x,y,z,0)=f(x,y,z) t(x,y,z,0)=f(x,y,z) 經(jīng)常遇到的特例是初始溫度均勻，即經(jīng)常遇到的特例是初始溫度均勻，即 t(x,y,z,0)=t0 根據(jù)解的唯一性定理，滿足導(dǎo)熱微分方程式及定解條件的函根據(jù)解的唯一性定理，滿足導(dǎo)熱微分方程式及定解條件的函數(shù)具有唯一性。數(shù)具有唯一性。 本節(jié)主要討論物體處于恒溫介質(zhì)中的第三類邊界條件下的非穩(wěn)本節(jié)主要討論物體處于恒溫介質(zhì)中的第三類邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的問題。態(tài)導(dǎo)

10、熱的問題。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱8(1) 溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律(2) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：(3) 求解方法：求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法、近似分析法、數(shù)值解法) ; ),(f(zyxft)()()(ztzytyxtxtc分析解法：分析解法： 分離變量法分離變量法、相似變換法、格林函數(shù)法、拉普、相似變換法、格林函數(shù)法、拉普 拉斯變換、拉斯變換、近似分析法：近似分析法： 集總參數(shù)法集總參數(shù)法、積分方程法、積分方程法數(shù)值解法：數(shù)值解法： 有限差分法有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、蒙特

11、卡洛法、有限元法、 分子動(dòng)力學(xué)模擬分子動(dòng)力學(xué)模擬第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱9(1) 問題的分析問題的分析 如圖所示，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié)：如圖所示，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié)：tfhtfhxt 0 tfhxt 0a 流體與物體表面的對流換熱環(huán)節(jié)流體與物體表面的對流換熱環(huán)節(jié) b 物體內(nèi)部的導(dǎo)熱物體內(nèi)部的導(dǎo)熱hrh1rhhrrBih1(2) 畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)的定義：4 4 第三類邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)第三類邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)物體中的溫度變化特性與邊界條件物體中的溫度變化特性與邊界條件參數(shù)的關(guān)系參數(shù)的關(guān)系設(shè)有厚為2的金屬平板，初始溫度為t0，。突然將它置于t、h的流體中冷卻。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱10hhrrBih

12、1無量綱數(shù)無量綱數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，因此，可以忽略對流換熱熱阻，因此，可以忽略對流換熱熱阻當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，因此，可以忽略導(dǎo)熱熱阻，因此，可以忽略導(dǎo)熱熱阻Bihrr 0Bihrr Bi0？(3) Bi數(shù)對溫度分布的影響數(shù)對溫度分布的影響第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱11B Bi i 準(zhǔn)則對溫度分布的影響準(zhǔn)則對溫度分布的影響t iBiB00Bi 1223121201010000tt 0tt 0tt Bi Bi 準(zhǔn)則對無限大平壁溫度分布的影響準(zhǔn)則對無限大平壁溫度分布的影響第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱12(4) 無量綱數(shù)的簡要介紹無量綱數(shù)的簡要介紹 基本思想：基本思想：當(dāng)所研究的問題非常復(fù)雜，涉及到的參當(dāng)所研究的問題非常

13、復(fù)雜，涉及到的參數(shù)很多，為了減少問題所涉及的參數(shù)，于是人們將數(shù)很多，為了減少問題所涉及的參數(shù)，于是人們將這樣一些參數(shù)組合起來，使之能表征一類物理現(xiàn)象，這樣一些參數(shù)組合起來，使之能表征一類物理現(xiàn)象，或物理過程的主要特征，并且沒有量綱?；蛭锢磉^程的主要特征，并且沒有量綱。 因此，這樣的無量綱數(shù)又被稱為因此，這樣的無量綱數(shù)又被稱為特征數(shù)特征數(shù)，或者，或者準(zhǔn)則數(shù)，準(zhǔn)則數(shù)，比如，畢渥數(shù)又稱比如，畢渥數(shù)又稱畢渥準(zhǔn)則。畢渥準(zhǔn)則。以后會(huì)陸續(xù)遇到許多類似以后會(huì)陸續(xù)遇到許多類似的準(zhǔn)則數(shù)。特征數(shù)涉及到的幾何尺度稱為特征長度，一的準(zhǔn)則數(shù)。特征數(shù)涉及到的幾何尺度稱為特征長度，一般用符號(hào)般用符號(hào) l 表示。表示。 對于一

14、個(gè)特征數(shù)，應(yīng)該掌握其定義式物理意義，對于一個(gè)特征數(shù)，應(yīng)該掌握其定義式物理意義，以及定義式中各個(gè)參數(shù)的意義。以及定義式中各個(gè)參數(shù)的意義。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱133-2 集總參數(shù)法的簡化分析集總參數(shù)法的簡化分析2 溫度分布溫度分布如圖所示，任意形狀的物體，如圖所示，任意形狀的物體，參數(shù)均為已知。參數(shù)均為已知。00tt 時(shí)，t將其突然置于溫度恒為將其突然置于溫度恒為 的流體中。的流體中。1.1.概括性說明概括性說明 當(dāng)固體內(nèi)部的熱阻遠(yuǎn)小于其表面的換熱熱阻時(shí)，固體內(nèi)部的溫當(dāng)固體內(nèi)部的熱阻遠(yuǎn)小于其表面的換熱熱阻時(shí)，固體內(nèi)部的溫度趨于一致，一致可以認(rèn)為整個(gè)固體在同一瞬間均處于同一溫度下。度趨于一致，一致可以

15、認(rèn)為整個(gè)固體在同一瞬間均處于同一溫度下。這時(shí)溫度僅是時(shí)間的一元函數(shù)而與坐標(biāo)無關(guān)，好像該固體原來連續(xù)這時(shí)溫度僅是時(shí)間的一元函數(shù)而與坐標(biāo)無關(guān)，好像該固體原來連續(xù)分布的質(zhì)量與熱容量匯總到一點(diǎn)上，而只有一個(gè)溫度值那樣。這種分布的質(zhì)量與熱容量匯總到一點(diǎn)上，而只有一個(gè)溫度值那樣。這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的分析方法稱為集總參數(shù)法。當(dāng)忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的分析方法稱為集總參數(shù)法。當(dāng)大、或大、或h h極低、或幾何尺寸極低、或幾何尺寸L很小時(shí)屬于此類問題。例如，測量變化著的溫很小時(shí)屬于此類問題。例如，測量變化著的溫度的熱電偶就是個(gè)典型的實(shí)例。度的熱電偶就是個(gè)典型的實(shí)例。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱14當(dāng)物體被冷卻時(shí)（當(dāng)物

16、體被冷卻時(shí)（tt ）,由能量守恒可知由能量守恒可知ddtVctthA-)(dVchAd方程式改寫為：方程式改寫為：過余溫度令： tt，則有，則有00)0(-ttddVchA第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1500dVchAdVchA ln0dVchAd積分積分VchAetttt00其中的指數(shù)：其中的指數(shù)：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱162)()(AVaFoAVhBivvvFo是是傅立葉數(shù)傅立葉數(shù)vvFoBiVchAee0物體中的溫度物體中的溫度呈指數(shù)分布呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：方程中指數(shù)的量綱：2233Wm1m KkgJkgm KmhAwVcJs 第三章

17、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱17%8 .36 10e即與即與 的量綱相同，當(dāng)?shù)牧烤V相同，當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則1hAVc1VchA此時(shí)，此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于 時(shí)，物體的過時(shí)，物體的過余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的36.8。稱稱 為時(shí)間常數(shù)，用為時(shí)間常數(shù)，用 表示。表示。hAVchAVcc第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱180%8.36e10cvvFoBi 應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過余溫度的變化曲線應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過余溫度的變化曲線第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱19對于測溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說明熱電偶對對于測溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說明熱電偶對流體溫度變化的響應(yīng)

18、越快。這是測溫技術(shù)所需要的流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測溫技術(shù)所需要的（微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻）（微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻）%83. 1 40時(shí)，當(dāng)hAVc工程上認(rèn)為工程上認(rèn)為 =4 Vc / hA時(shí)時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài) 在熱電偶測定流體溫度的場合，熱電偶的時(shí)間常數(shù)是說明熱電在熱電偶測定流體溫度的場合，熱電偶的時(shí)間常數(shù)是說明熱電偶對流體溫度變動(dòng)響應(yīng)快慢的指標(biāo)。時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅偶對流體溫度變動(dòng)響應(yīng)快慢的指標(biāo)。時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速反映出流體溫度的變動(dòng)。時(shí)間常數(shù)不僅取決于熱電偶的幾何參數(shù)速反映出流體溫度的變動(dòng)。時(shí)間常數(shù)不僅取決于熱電偶的幾何參數(shù)（V/AV/A

19、）、物理性質(zhì)（）、物理性質(zhì)（、C C），還同換熱條件（），還同換熱條件（h h）有關(guān)。從物理）有關(guān)。從物理意義上來說，熱電偶對流體溫度變化響應(yīng)的快慢取決于自身的熱容意義上來說，熱電偶對流體溫度變化響應(yīng)的快慢取決于自身的熱容量（量（cVcV）及表面換熱條件（）及表面換熱條件（hAhA）。熱容量越大，溫度變化得越慢；）。熱容量越大，溫度變化得越慢；表面換熱條件越好，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的熱量越多，則越能使熱電偶表面換熱條件越好，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的熱量越多，則越能使熱電偶的溫度迅速接近被測流體的溫度。的溫度迅速接近被測流體的溫度。cVcV與與hAhA的比值反映了這兩種影的比值反映了這兩種影響的綜合結(jié)果。響的

20、綜合結(jié)果。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱203 3 瞬態(tài)熱流量：瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間導(dǎo)熱體在時(shí)間 0 內(nèi)傳給流體的總熱量：內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)當(dāng)物體被加熱時(shí)(t0.2 時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可(1)先畫先畫),(0BiFofm第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱35(2) 再根據(jù)公式再根據(jù)公式(3-23) 繪制其線算圖繪制其線算圖),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為00mm同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以利用同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以利用（324）和（）和（325）繪制出。）繪制出。解的應(yīng)用范圍解的應(yīng)用范

21、圍書中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第書中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且過程，并且F00.2第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱364 4 分析解應(yīng)用范圍的推廣和討論分析解應(yīng)用范圍的推廣和討論（1）分析解應(yīng)用范圍的三點(diǎn)推廣。 對物體冷卻也可適用。 對一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊界條件的平板也可適用。 當(dāng)對流換熱系數(shù)趨于無窮大時(shí)，固體的表面溫度就趨近于流體的溫度，因而Bi時(shí)就是物體表面溫度突然變化后保持不變的第一類邊界條件的解。（2）Fo及Bi對溫度場的影響 隨著Fo（）數(shù)的增加，物體中各點(diǎn)的過余溫度減少。 Bi 數(shù)

22、的影響可以從兩個(gè)方面說明： 在相同的Fo數(shù)條件下，Bi 數(shù)越大，m/0的值越小。Bi 數(shù)越大，意味著表面上的換熱條件越強(qiáng)，導(dǎo)致物體中心溫度越迅速接近周圍介質(zhì)的溫度。在極限情況下，Bi，這相當(dāng)于在過程開始瞬間物體表面就達(dá)到了周圍介質(zhì)的溫度，物體中心溫度的變化當(dāng)然也最迅速。相當(dāng)于壁溫保持恒定的第一類邊界條件。 另一方面，Bi 數(shù)的大小還決定物體中溫度的扯平程度。當(dāng)Bi 0.1時(shí)，截面上的過余溫度差值已小于5，可忽略內(nèi)阻，用集總參數(shù)法。 由此可見：介質(zhì)溫度恒定的第三類邊界條件下的分析解，在Bi時(shí)轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件下的解，而在Bi0時(shí)與集總參數(shù)法的解相同。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱373-4 二維及三維問

23、題的求解二維及三維問題的求解 對于二維及三維典型幾何形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解，對于二維及三維典型幾何形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解，可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解的組合求得。例如：長方柱可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解的組合求得。例如：長方柱體、短園柱體及短方柱體。體、短園柱體及短方柱體。1 1 以無限長方柱體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題來分析以無限長方柱體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題來分析已知：初始溫度已知：初始溫度t0，過程開始時(shí)被置于，過程開始時(shí)被置于t、h的流體中。求溫的流體中。求溫度場。度場。只分析只分析1/41/4的截面就夠的截面就夠 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱382212考察一無限長方柱體考察一

24、無限長方柱體(其截面為其截面為 的長方形的長方形)2122ft00),(fftttyxt)(2222yxa10 xyxyhx),(),(11yyxxhy),(),(220),(00 xxyxx0),(00yyyxy第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱39),(),(0),(01)0 ,(02022hxxxxxxxxaxxx),(),(yx其中其中其中其中及及ffxtttxt0),(),(),(0),(01)0 ,(022022hyyyyyyyyayyyffytttyt0),( 如果如果 分別是處于與長方體同樣定解條件下的厚度分別是處于與長方體同樣定解條件下的厚度分別為分別為2 21 1及及2 22 2的無限大平

25、板的分析解，那么它們必須分別滿足的無限大平板的分析解，那么它們必須分別滿足各自的導(dǎo)熱微分方程及定解條件。各自的導(dǎo)熱微分方程及定解條件。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱40則：這兩個(gè)無限大平板分析解的乘積就是上述長方柱體的解。具體則：這兩個(gè)無限大平板分析解的乘積就是上述長方柱體的解。具體證明見書本（先證明符合導(dǎo)熱微分方程式，然后證明符合定解條證明見書本（先證明符合導(dǎo)熱微分方程式，然后證明符合定解條件）。件）。 即證明了即證明了 是無限長方柱體導(dǎo)熱微分方程的是無限長方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，這樣便可用一維無限大平壁公式、謨圖或擬合函數(shù)解，這樣便可用一維無限大平壁公式、謨圖或擬合函數(shù)求解二維導(dǎo)熱問題求解二維導(dǎo)熱問

26、題),(),(yx),(),(),(yxyx2 2 推廣推廣 對于短園柱體及短方柱體也可以用兩個(gè)或三個(gè)一維問題的解的對于短園柱體及短方柱體也可以用兩個(gè)或三個(gè)一維問題的解的乘積來表示其溫度分布，這就是多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的乘積解法。乘積來表示其溫度分布，這就是多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的乘積解法。 短園柱體的解是無限長園柱體的解與厚度為短園柱體的解是無限長園柱體的解與厚度為L L的大平板的解的的大平板的解的乘積。乘積。 短方柱體（短方柱體（2 21 12 22 22 23 3）的解是三個(gè)厚度分別為）的解是三個(gè)厚度分別為2 21 1、2 22 2、2 23 3的大平板解的乘積。的大平板解的乘積。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

27、410),x(0),v(Rl2221232 21),(),(),(PPyxyx 321),(),(),(),(PPPzyxzyx cPyxyx),(),(),(第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱42限制條件：限制條件：（1 1） 一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類（2 2） 兩側(cè)均為一類兩側(cè)均為一類（3 3） 初始溫度分布必須為常數(shù)初始溫度分布必須為常數(shù)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱433 模擬方法的基本原理模擬方法的基本原理 對于幾何條件或邊界條件復(fù)雜的問題，分析解法無能為力?？蓪τ趲缀螚l件或邊界條件復(fù)雜的問題，分析解法無能為力?？刹捎脭?shù)值解法或?qū)嶒?yàn)?zāi)M法求解。這里以熱電模擬為例，簡要說明采用數(shù)值解法或?qū)嶒?yàn)?zāi)M法

28、求解。這里以熱電模擬為例，簡要說明模擬方法的基本原理模擬方法的基本原理。 描寫物體溫度分布的導(dǎo)熱微分方程與描寫導(dǎo)體中電壓分布的微描寫物體溫度分布的導(dǎo)熱微分方程與描寫導(dǎo)體中電壓分布的微分方程的類同是熱電模擬的基礎(chǔ)。以穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，用模擬方法求分方程的類同是熱電模擬的基礎(chǔ)。以穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，用模擬方法求解時(shí)，需按照模擬的原則布置一個(gè)與要研究的導(dǎo)熱系統(tǒng)等效的導(dǎo)電解時(shí)，需按照模擬的原則布置一個(gè)與要研究的導(dǎo)熱系統(tǒng)等效的導(dǎo)電系統(tǒng)。令電系統(tǒng)中的總電壓對應(yīng)于熱系統(tǒng)中的總溫壓，則電壓分布系統(tǒng)。令電系統(tǒng)中的總電壓對應(yīng)于熱系統(tǒng)中的總溫壓，則電壓分布就代表了熱系統(tǒng)中的溫度分布，電流強(qiáng)度代表了熱系統(tǒng)中的熱流量。就代表了熱

29、系統(tǒng)中的溫度分布，電流強(qiáng)度代表了熱系統(tǒng)中的熱流量。根據(jù)對電系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測定結(jié)果就可以換算出相應(yīng)導(dǎo)熱問題的溫度分根據(jù)對電系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測定結(jié)果就可以換算出相應(yīng)導(dǎo)熱問題的溫度分布及熱流量。布及熱流量。 熱電模擬逐漸被數(shù)值計(jì)算所代替，但熱電模擬的基本思想對分熱電模擬逐漸被數(shù)值計(jì)算所代替，但熱電模擬的基本思想對分析問題很有幫助。析問題很有幫助。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱443-5 半無限大的物體半無限大的物體 半無限大物體是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱研究中的一個(gè)特有的概念。其特點(diǎn)半無限大物體是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱研究中的一個(gè)特有的概念。其特點(diǎn)是從是從x=0的界面開始可以向正的的界面開始可以向正的x方向及其他兩個(gè)坐標(biāo)（方向及其他兩個(gè)坐標(biāo)（y

30、,z）方向無）方向無限延伸。限延伸。 現(xiàn)實(shí)中不存在這樣的半無限大物體，但是在研究物體中非穩(wěn)態(tài)現(xiàn)實(shí)中不存在這樣的半無限大物體，但是在研究物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，則有可能把實(shí)際物體當(dāng)作半無限大物體來處理。導(dǎo)熱的初始階段，則有可能把實(shí)際物體當(dāng)作半無限大物體來處理。例如：初始溫度均勻的有限厚度的平板，其一側(cè)表面突然所到熱擾例如：初始溫度均勻的有限厚度的平板，其一側(cè)表面突然所到熱擾動(dòng)動(dòng)或者壁溫突然升高到一定值并保持不變，或者突然受到恒定或者壁溫突然升高到一定值并保持不變，或者突然受到恒定的熱流密度加熱，或者受到溫度恒定的流體的加熱或冷卻。當(dāng)擾動(dòng)的熱流密度加熱，或者受到溫度恒定的流體的加熱或冷卻。當(dāng)擾

31、動(dòng)的影響還局限在表面附近而尚未深入到平板內(nèi)部中去時(shí)，就可有條的影響還局限在表面附近而尚未深入到平板內(nèi)部中去時(shí)，就可有條件地把該平板視為一件地把該平板視為一“半無限大物體半無限大物體”。 1.1.半無限大物體的概念半無限大物體的概念第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱450tt0 xttxtat0w22)a4x(erfdy2tta4x0y0we2 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 無量綱變量無量綱變量wtt0tx2 2 第一類邊界條件下半無限大物體的理論求解第一類邊界條件下半無限大物體的理論求解（1 1）溫度場的求解）溫度場的求解 一個(gè)半無限大物體初始溫度均勻（一個(gè)半無限大物體初始溫度均勻（t0t0），），在在=0 =0 時(shí)刻，

32、時(shí)刻，x=0 x=0的一側(cè)表面溫度突然升高到的一側(cè)表面溫度突然升高到twtw并保持不變，求物并保持不變，求物體內(nèi)部的溫隨時(shí)間的變化。體內(nèi)部的溫隨時(shí)間的變化。 第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱46誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小時(shí)，)(0erf令令ax4說明：說明：(1) 無量綱溫度僅與無量綱坐標(biāo)無量綱溫度僅與無量綱坐標(biāo) 有關(guān)有關(guān) (2) 一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無論經(jīng)歷多么短的一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無論經(jīng)歷多么短的 時(shí)間無論時(shí)間無論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。有多么大，該處總能感受到溫度的化。？ (3) 但解釋但解釋Fo,a 時(shí)，

33、仍說熱量是以一定速度傳播的，這時(shí)，仍說熱量是以一定速度傳播的，這 是因?yàn)?，?dāng)溫度變化很小時(shí)，我們就認(rèn)為沒有變化。是因?yàn)?，?dāng)溫度變化很小時(shí)，我們就認(rèn)為沒有變化。無量綱無量綱坐標(biāo)坐標(biāo)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱47)y(erfa4xy 令令 若若 即即 可認(rèn)為該處溫度沒有變化可認(rèn)為該處溫度沒有變化 9953. 09953. 0)2(erf2ya4xy0第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱48兩個(gè)重要參數(shù)兩個(gè)重要參數(shù): 從幾何位置上說，如果從幾何位置上說，如果 ，則時(shí)刻，則時(shí)刻時(shí)時(shí)x x處的溫度可處的溫度可以認(rèn)為尚未發(fā)生變化。因而對于其半厚度以認(rèn)為尚未發(fā)生變化。因而對于其半厚度 的平板，則的平板，則在在時(shí)刻之前該平板中瞬時(shí)溫度

34、場的計(jì)算均可采用半無限大物體的時(shí)刻之前該平板中瞬時(shí)溫度場的計(jì)算均可采用半無限大物體的模型。模型。ax 4a4 從時(shí)間上看，如果從時(shí)間上看，如果x x2 2/16a,/16a,則此時(shí)則此時(shí)x x處的溫度可認(rèn)為完全處的溫度可認(rèn)為完全不變，因而可以把不變，因而可以把x x2 2/16a/16a視為惰性時(shí)間，即當(dāng)視為惰性時(shí)間，即當(dāng)x x2 2/16a/16a時(shí)時(shí)x x處的溫處的溫度可認(rèn)為仍等于度可認(rèn)為仍等于t t0 0。第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱49即任一點(diǎn)的熱流通量：即任一點(diǎn)的熱流通量：令令 即得邊界面上的熱流通量即得邊界面上的熱流通量0,0, 內(nèi)累計(jì)傳熱量內(nèi)累計(jì)傳熱量2401xaxqxae 002cdzqqw吸熱系數(shù)吸熱系數(shù)0 x0wqa （2 2）物體表面上的瞬時(shí)熱流密度）物體表面上的瞬時(shí)熱流密度q qw w及在及在00， 時(shí)間間隔內(nèi)放出或時(shí)間間隔內(nèi)放出或吸收的熱量的求取吸收的熱量的求取第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱50cc 半無限大物體受第一類邊界條件的影響而被加熱或冷卻時(shí)，界面半無限大物體受第一類邊界條件的影響而被加熱或冷卻時(shí)，界面上的瞬時(shí)