學生cha1三維歐氏空間中張量2

1、11.1 1.1 正交坐標系的轉(zhuǎn)動正交坐標系的轉(zhuǎn)動1.2 1.2 物理量在空間轉(zhuǎn)動變換下的分類物理量在空間轉(zhuǎn)動變換下的分類1.3 1.3 物理量在空間反演變換下的進一步分類物理量在空間反演變換下的進一步分類1.41.4 1.5 1.5 第一章第一章 三維歐氏空間中的張量三維歐氏空間中的張量21.1 1.1 正交坐標系的轉(zhuǎn)動正交坐標系的轉(zhuǎn)動曲線坐標系曲線坐標系: :三維空間交于一點不共面的三維空間交于一點不共面的 三條曲三條曲( (射射) )線線( (坐標軸坐標軸) )正交曲線坐標系正交曲線坐標系: : 方向矢量方向矢量( (基矢基矢) )記為記為 , ,滿足滿足ie1 2 3(, , )ixi

2、 ijijee 如：直如：直(斜斜)角坐標系角坐標系; 球坐標系球坐標系; ; 柱坐標系；柱坐標系； 1( )x x2()y x3()z xSO討論三維直角坐標系討論三維直角坐標系1.1.1 1.1.1 （三維）坐標系（三維）坐標系32()y x3()z xO1( )x x右旋右旋右旋坐標系右旋坐標系: :1230()eee 左旋坐標系左旋坐標系: :1230()eee 2()y x3()z xO1( )x x左旋左旋4考慮右旋直角坐標系。討論繞原點的坐標系轉(zhuǎn)動考慮右旋直角坐標系。討論繞原點的坐標系轉(zhuǎn)動ijije ea 1.1.21.1.2 轉(zhuǎn)動變換矩陣轉(zhuǎn)動變換矩陣有有轉(zhuǎn)動前坐標系為轉(zhuǎn)動前坐標

3、系為 ，基矢為，基矢為123:S Ox x x123,e e e轉(zhuǎn)動后坐標系為轉(zhuǎn)動后坐標系為 ，基矢為，基矢為123:SOx x x 123,e e e 則則111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3ea ea ea eea ea ea eea ea ea e 基矢的變換基矢的變換(1.2)(1.2)一對重復(fù)指標一對重復(fù)指標( (啞指標啞指標) )表示對從表示對從1 1到到3 3求和求和iijjea e 上式記為上式記為1 2 3, ,i (1.1)(1.1)511112131221222323313233eaaaeeaaaeeaaae 1112132122

4、2331323aaaaaaaaaa 矩陣表示形式矩陣表示形式(1.3)(1.3)(1.3)(1.3)可寫為可寫為記記eae (1.4)(1.4)坐標的變換坐標的變換考慮空間考慮空間P P點點, ,在在S S系中坐標為系中坐標為123(,)x x x 位矢位矢1 12 23 3iiOPxex ex exe 123(,)x x x在在 系中坐標為系中坐標為 ，位矢為，位矢為S iiOPxe 6kkjjx ex e 用用 點乘，有點乘，有ie kkijjix eex ee 得得iiijjxa x 即轉(zhuǎn)動后坐標滿足即轉(zhuǎn)動后坐標滿足112233iiiiijjxa xa xa xa x 1 2 3, ,i

5、 11112131221222323313233xaaaxxaaaxxaaax 可寫成可寫成(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)因為轉(zhuǎn)動前后位矢不變，故有因為轉(zhuǎn)動前后位矢不變，故有及及xax 1.1.31.1.3 變換矩陣的特性變換矩陣的特性2222123iiLxxxxx x OPOP的間距為的間距為因為間距與坐標系轉(zhuǎn)動無關(guān)，故因為間距與坐標系轉(zhuǎn)動無關(guān)，故22xx 7ijikjka a Ta aI 故有故有寫成矩陣形式寫成矩陣形式, ,有有I:3:3* *3 3單位矩陣單位矩陣三維轉(zhuǎn)動變換系數(shù)矩陣三維轉(zhuǎn)動變換系數(shù)矩陣a 是正交矩陣是正交矩陣(1.7)(1.7)(1.8)(1.8)()()i

6、iijjikkijikjkjjx xa xa xa a x xx x 將將(1.5)(1.5)式代入得式代入得基矢的轉(zhuǎn)動變換基矢的轉(zhuǎn)動變換jjjjx ex e ()()jjijjiijijx eex eexee x 點乘點乘ie 得得ijijaee 轉(zhuǎn)置有轉(zhuǎn)置有對對eae TTTee a 8jiijeea TTee a 上式右乘上式右乘a a可得可得其分量形式其分量形式(1.9)(1.9)jiijjixxaxx (1.12)(1.12)(1.7)(1.7)式的正交關(guān)系分別為式的正交關(guān)系分別為iijkjkxxxx (1.13)(1.13)(1.10)(1.10)對對(1.5)(1.5)式兩邊微商

7、后可將式兩邊微商后可將 寫成寫成對坐標變換成立，即對坐標變換成立，即TTTTe ae a ae 即即ijajiijxx a (1.11)(1.11)91.2 1.2 物理量在空間轉(zhuǎn)動變換下的分類物理量在空間轉(zhuǎn)動變換下的分類( (三維空間的三維空間的) )場：物理量是空間坐標的函數(shù)場：物理量是空間坐標的函數(shù)( )( )rr (2.1)(2.1)標量場標量場: : 一個量一個量 且空間轉(zhuǎn)動變換下不變且空間轉(zhuǎn)動變換下不變, ,即滿足即滿足 坐標坐標 一樣變換一樣變換, ,即即( )( )iijjA ra A r (2.2)(2.2)記為記為矢量場矢量場: : 三個量三個量 在空間轉(zhuǎn)動變換下像在空間轉(zhuǎn)

8、動變換下像1 2 3( ) (, , )iA ri ix( )A r( )iA r: :第第i i個分量個分量列矢形式列矢形式, , 行矢行矢: :123AAA 123,AAA10( (兩個坐標分量乘積的變換為兩個坐標分量乘積的變換為 ) )像兩個坐標分量的乘積像兩個坐標分量的乘積 一樣變換一樣變換1 2 3( , , )ijx xi j 即即( )( )ijiljmlmT ra a Tr (2.3)(2.3)二階張量二階張量: : 九個量九個量 且在空間轉(zhuǎn)動變換下且在空間轉(zhuǎn)動變換下1 2 3( ) ( , , )ijT ri j 記為記為( )T r( )ijT r: :第第 個分量個分量(

9、 , )i j3 3* *3 3矩陣表示矩陣表示ijiljmlmx xa ax x 111213212223313233TTTTTTTTT 11類似地類似地,3,3n n個量個量 在轉(zhuǎn)動變換下在轉(zhuǎn)動變換下1 2121 2 3( ) ( , , , )nni iiTri ii 像像n n個坐標分量的乘積個坐標分量的乘積12121 2 3( , , , )niiinx xxi ii 變換變換即即1 21 12 21 2( )( )nn nni iii ji ji jj jjTra aaTr 稱為稱為n n階張量階張量( )( )nTr(2.4)(2.4)1 2( )ni iiTr是是 第第 個分量

10、個分量12( , , )ni ii( )( )nTr標量是零階張量標量是零階張量, ,矢量為一階張量矢量為一階張量四維空間：四維空間：n n階張量階張量: : 個分量個分量4n12例例2.1 2.1 試證試證 是三維矢量是三維矢量/iix 證明證明: :例例2.2 2.2 試證試證 是三維歐氏空間中的二階張量是三維歐氏空間中的二階張量ij 張量的判斷張量的判斷證明證明: : 由由()jijjijiiijY x xxxYxxxxxx 即得即得iijja 三維矢量三維矢量 證明證明: : 由由iijjea e 可得可得ijiljmlmeea a ee 由于基矢正交性由于基矢正交性, ,得得ijil

11、jmlma a 有有 ,iilljjm mea eea e 13若張量若張量滿足滿足1 22 1nni iii iiTT 1 2ni iiT(2.5)(2.5)則分別稱張量則分別稱張量T T相當于指標相當于指標 是對稱的和反對稱的是對稱的和反對稱的12( , )i i構(gòu)造張量構(gòu)造張量T T關(guān)于指標關(guān)于指標 的對稱部分和反對稱部分的對稱部分和反對稱部分12( , )i i對稱部分對稱部分 1 21 22 12nnni iii iii iiTTT 反對稱部分反對稱部分 1 21 22 12nnni iii iii iiTTT 則則1 21 21 2nnni iii iii iiTTT 取取n=2n

12、=2可得結(jié)論：任意二階張量都可以表示為可得結(jié)論：任意二階張量都可以表示為一個對稱張量一個對稱張量( (矩陣）和一個反對稱張量矩陣）和一個反對稱張量( (矩陣矩陣) )之和之和(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)如二階張量的表示矩陣為對稱矩陣或反對稱矩陣如二階張量的表示矩陣為對稱矩陣或反對稱矩陣ijjiTT 141.3 1.3 物理量在空間反演變換下的分類物理量在空間反演變換下的分類空間反演空間反演特點：改變了坐標系的左、右旋特點：改變了坐標系的左、右旋xyzSOx y z S OP右旋右旋左旋左旋1.3.11.3.11 2 3, ,iixxi 2e1e3e定義為定義為15則為真正的張量則為

13、真正的張量, ,簡稱張量簡稱張量若若n階張量階張量T的分量的分量按照下式變換按照下式變換1 21 21( )nnni iii iiTT (3.3)(3.3)稱為贗張量稱為贗張量在空間反演下在空間反演下, ,若若 的分量按的分量按n個坐標乘積的個坐標乘積的反演變換規(guī)律變換反演變換規(guī)律變換, ,即即1 21 2( )nnni iii iiTT (3.2)(3.2)贗張量，贗矢量，贗標量贗張量，贗矢量，贗標量1.3.21.3.2( )nT( )nn 稱為場的空間宇稱稱為場的空間宇稱16贗標量贗標量1n ( (軸軸) )矢量矢量1n 二階贗張量二階贗張量1n 標量標量1n ( (極極) )矢量矢量1n

14、 二階張量二階張量1n 常見的空間宇稱為常見的空間宇稱為標量標量坐標系反演時數(shù)量和符號不變坐標系反演時數(shù)量和符號不變?nèi)缳|(zhì)量，電荷，溫度等如質(zhì)量，電荷，溫度等贗標量贗標量 反演時符號改變。如極矢量反演時符號改變。如極矢量 的混合乘積的混合乘積()CA B , ,A B C17不變張量不變張量: :1.3.31.3.3若張量若張量 在坐標轉(zhuǎn)動變換不變在坐標轉(zhuǎn)動變換不變1 21 2( )( )nni iii iiTrTr (3.4)(3.4)1 2ni iiT例例3.1 3.1 不變矢量是零矢量不變矢量是零矢量例例3.2 3.2 是一個二階對稱張量是一個二階對稱張量, ,而且是不變張量而且是不變張量

15、ij 證明證明: :0AaAAaAAaIA 證明證明: :ijjiijjieeee 又二階張量又二階張量 為一單位矩陣為一單位矩陣ij I故故TTIaIaaaI 不變張量不變張量二階對稱張量二階對稱張量18共共2727個分量，個分量，6 6個不為零個不為零110ijk i,j,ki,j,k為為(1,2,3)(1,2,3)的正循環(huán)的正循環(huán)i,j,ki,j,k為為(1,2,3)(1,2,3)的逆循環(huán)的逆循環(huán)其它情況其它情況(3.5)(3.5)1231 全反對稱張量全反對稱張量ijkjikikjkji (3.6)(3.6)1.3.4 1.3.4 符號符號 和和 的關(guān)系的關(guān)系ijk ij Levi-C

16、ivita符號的定義符號的定義1 12 23 3如：如：構(gòu)成三階全反對稱張量構(gòu)成三階全反對稱張量19 3 33 3矩陣的行列式的計算為矩陣的行列式的計算為123123123detijkijkAAABBBAB CCCC (3.7)(3.7)對于一個二階張量對于一個二階張量 , ,以其分量以其分量 為矩陣元的行列式為為矩陣元的行列式為ija111213212223123313233det( )detlmnlmnaaaaaaaa a aaaa (3.8)(3.8)det()detTAA 易驗證易驗證a20上式可寫成上式可寫成111222333detdetlmniliminlmnlmnijklmnjl

17、jmjnlmnklkmknaaaaaaaaaaaaaaaaaa 相鄰兩列交換改變符號相鄰兩列交換改變符號相鄰兩行交換改變符號相鄰兩行交換改變符號將將 移到等式左邊得移到等式左邊得: :111222333detdet( )lmnlmnlmnlmnaaaaaaaaaa lmn 21123123123detdet()det( )iiiTjjjlmnlimjnkijkijkkkkaaaaaaa a aaaaaa (3.10)(3.10)的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣a112131122232132333detTaaaaaaaaaa 123123123det( )detiiiijkjjjijklmniljmknk

18、kkaaaaaaaa a aaaa 類似地類似地相鄰兩行交換改變符號相鄰兩行交換改變符號(3.9)(3.9)22由此得由此得123111123222333123detdetiiilmnijklmnjjjlmnlmnkkk 當當1(,det( )ijijaaIa 則由則由(3.9)(3.10)(3.9)(3.10)兩式得兩式得123123123123123123detdetiiiiiiijkjjjjjjkkkkkk (3.11)(3.11)23利用公式利用公式 detdetdet( )ABAB 可得可得123111123222333123detdetiiilmniliminijklmnjjjlm

19、njljmjnlmnkkkklkmkn (3.12)(3.12)在在(3.12)(3.12)式中取式中取nk 3detdetilimikilimikijklmkjljmjkjljmjkklkmkkklkm 上式中第一行第一列滿足上式中第一行第一列滿足1 12233ilililipplil 24上式中取上式中取mj 332detdetilijilijijkljkjljjjlilijjlil 上式中取上式中取 ，有，有l(wèi)i 22 33!ijkijkii (3.15)(3.15)(3.16)(3.16)ijklmkiljmimjl (3.14)(3.14)3detdetdetdetilimiliki

20、mikkmkljljmjljkjmjkilimiljmimjljljm (3.13)(3.13)25例例3.3 3.3 證明證明 滿足滿足ijk ()ijkijkeee (3.17)(3.17)其中其中: “+”: “+”號適用右旋系號適用右旋系,“-” ,“-” 適用左旋系適用左旋系證明證明: : 正交坐標系中的基矢滿足關(guān)系正交坐標系中的基矢滿足關(guān)系ijkeee (3.18)(3.18)其中其中(i,j,k)(i,j,k)是是(1,2,3)(1,2,3)的正循環(huán)的正循環(huán)“+”:“+”:右旋系右旋系,“-” :,“-” :左旋系左旋系于是于是123123123deteeeA BAAABBB (

21、3.19)(3.19)26123123123()detAAAA BCBBBCCC (3.20)(3.20)而而()()()iijjkkijkijkA BCAeB eC eAB C eee 根據(jù)根據(jù)(3.7)(3.7)式式,(3.20),(3.20)式化為式化為123123123()detijkijkAAAA BCBBBAB CCCC 比較以上兩式比較以上兩式, ,有有()ijkijkeee (3.21)(3.21)(3.20a)(3.20a)27例例3.4 3.4 試證試證 的的2727個分量構(gòu)成一個三階贗張量個分量構(gòu)成一個三階贗張量ijk 證明證明: : 考慮右手系。注意在坐標轉(zhuǎn)動變換下不變

22、考慮右手系。注意在坐標轉(zhuǎn)動變換下不變iijjea e 有有利用基矢的轉(zhuǎn)動變換利用基矢的轉(zhuǎn)動變換()()ijkijkiljmknlmniljmknlmneeea a aeeea a a 三階三階( (不變不變) )張量張量空間反演空間反演, ,右旋系為左旋系右旋系為左旋系()() () ()()ijkijkijkijkijkeeeeeeeee 贗張量贗張量28利用利用(3.17)(3.17)和和(3.21)(3.21)可得可得()()iijjkkjkijkA BeAeB eA B (3.22)(3.22)對于一個二階反對稱張量對于一個二階反對稱張量 , ,可以利用可以利用()ijijji ijk

23、 構(gòu)造一個矢量構(gòu)造一個矢量 為為i 12iijkjk (3.24)(3.24)ijkjkiABA B e (3.23)(3.23)121312231323000 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系123213312 29則則A A和和B B的張量積用的張量積用 表示表示, ,定義為定義為: :1.4 1.4 張量代數(shù)張量代數(shù)代數(shù)運算代數(shù)運算1.1.加法加法: :張量的和張量的和( (差差) )為對應(yīng)分量的和為對應(yīng)分量的和( (差差) )， ( (須同階須同階) )AB 1 21 21 2()nnni iii iii iiABAB 2.2.數(shù)乘數(shù)乘: : 張量和標量的乘法張量和標量的乘法. :. :實（復(fù)）數(shù)實（

24、復(fù)）數(shù)1 21 2()nni iii iiAAA (4.1)(4.1)(4.2)(4.2)3.3.張量積張量積( (并矢并矢) ): : 若若A: mA: m階階;B: n;B: n階階, ,1 21 21 21 2()mnmni iij jji iij jjABAB (4.3)(4.3) m+nm+n階階ABBA 一般情況下一般情況下304.4.縮階縮階: : 運算運算兩個矢量的并矢兩個矢量的并矢ijijfgf gT 二階張量二階張量1 2rsnr si iiiii iT (4.4)(4.4)稱為稱為n n階階(n1)(n1)張量張量T T的指標的指標 與與 之間的收縮之間的收縮即對任意二指

25、標求和。即對任意二指標求和。risi5.5.二階張量的二階張量的跡跡: :ijijiitr TTT (4.5)(4.5)n n階張量的縮階可以得到一個階張量的縮階可以得到一個n-2n-2階張量階張量以下運算都屬于縮階運算以下運算都屬于縮階運算6.6.兩個矢量兩個矢量A A和和B B的的標積標積( (點乘點乘) ): :()iiijijijijA BABABT (4.6)(4.6)317.7.點乘點乘: : 一次點乘一次點乘iiT tTt (4.7)(4.7)兩個張量相鄰一對指標求和兩個張量相鄰一對指標求和一般地不滿足交換律一般地不滿足交換律二次點乘二次點乘:ij jiT tTt (4.8)(4

26、.8)多次點乘依此類推多次點乘依此類推:()()ab cdb c a d 若若 均為矢量均為矢量, ,有有標量標量, , ,a b c d8.8.叉積叉積: : 兩個張量的叉積可得兩個張量的叉積可得1212()()jiijkkTTT e eeT (4.9)(4.9)一般不滿一般不滿足交換律足交換律32證明：證明：特例特例: :兩個矢量兩個矢量ab ()()()abca c ba b c 9.9.利用關(guān)系式利用關(guān)系式 和和3.22,3.233.22,3.23兩式兩式ijklmkiljmimjl 可證可證()()()()()iijkjkiijkjklmlmijlmijklmkijlmiljmimj

27、lijijijjiabcea bceabce a bce a bce a bce a b ca c ba b c (4.10)(4.10)10. 10. 其它公式其它公式() ()()()()()abcda c b da d b c ()()ab cbca (4.11)(4.11)3311.11.單位張量單位張量: :ij (4.11)(4.11)坐標坐標100010001 特點特點:1):1)與任何矢量與任何矢量f f點乘點乘fff (4.14a)(4.14a)iijjkk 矩陣矩陣2)2)與任何張量點乘與任何張量點乘0( )( )( ),nnnTTTn (4.14b)(4.14b)3)3)與二階張量二次點乘為張量的跡與二階張量二次點乘為張量的跡222( )( )( ):()iiTTtr TT (4.14c)(4.14c)() ()()()abcdab d cab c d 2()()ikikkiTa ba bab 12iijkjkT (4.14)(4.14)341.5 1.5 張量分析張量分析在三維直角坐標系中在三維直角坐標系中, ,微分算子微分算子( (極矢量極矢量) )定義為定義為xyzxxyyzziieeeeeeexyz (5.1)(5.1)微分算子對張量場微分算子對張量場 的作用的作用( (微分運算微分運算) )( )T