振動第2章(1)

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動第五節(jié) 簡諧激勵受迫振動理論的應(yīng)用第六節(jié) 周期激勵作用下的受迫振動第七節(jié) 任意激勵作用下的受迫振動 第八節(jié) 響應(yīng)譜第一節(jié) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動第二節(jié) 計算固有頻率的能量法第三節(jié) 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動第四節(jié) 簡諧激勵作用下的受迫振動2 21 1 無無阻阻尼尼系系統(tǒng)統(tǒng)的的自自由由振振動動設(shè)有質(zhì)量為 m 的物塊(可視為質(zhì)點)掛在彈簧的下端， 彈簧的自然長度為l0,彈簧常量為 k， 如不計彈簧的質(zhì)量， 這就構(gòu)成典型的單自由度系統(tǒng)， 稱之為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如圖 21 所示。工程中許多振動問題都可簡化成這種力學(xué)模型。例如，梁上固定一臺電動機(圖 22)，當電機

2、沿鉛直方向振動時， 梁和電機組成一個振動系統(tǒng)， 如不計梁的質(zhì)量，則它在該系統(tǒng)中的作用相當于一根無重彈簧， 而電機可視為集中質(zhì)量。 于是這個系統(tǒng)可簡化成如圖21 所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一、自由振動方程以圖 21 所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為研究對象。取物塊的靜平衡位置為坐標原點 O，x 軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當 物 塊 在 靜 平 衡 位 置 時 ， 由 平衡 條 件X 0，得到 mgkst （A）st稱為彈簧的靜變形。當物塊偏離平衡位置為 x 距離時，物塊的運動微分方程為mxmgkxst()即 mxkx （21）將式（21）兩邊除以 m，并令 pkmn （22）則式（21）可寫成 xp xn20

3、（23）這就是彈簧質(zhì)量系統(tǒng)只在線彈性力kx 的作用下所具有的振動微分方程，由微分方程理論可知，式（23）的通解為 xCp tCp tnn12cossin其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。設(shè)t 0時，xxxx00，。得 Cx10 Cxpn20 xxp txpp tnnn00cossin （24）式（24）亦可寫成下述形式 )sin(tpAxn （25）其中 )arctan()(002020 xxppxxAnn （26）式（2-4） 、 （2-5）是物塊振動方程的兩種形式，稱為無無阻阻尼尼自自由由振振動動，簡稱自自由由振振動動。ApxAxn00cos,sin:令二、振幅、初相位和

4、頻率式（25）表明，無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為中心的簡簡諧諧振振動動。系統(tǒng)的靜平衡位置稱為振振動動中中心心，其振振幅幅 A 和初初相相位位角角由式（26）決定系統(tǒng)振動的周期 Tpmkn22 （27）系統(tǒng)振動的頻率 fTpkmn122 （28）而系統(tǒng)振動的圓頻率為 pfn 2 （29）這表明，圓頻率pn是物塊在自由振動中每2秒內(nèi)振動的次數(shù)。還可以看出，fpn、只與振動系統(tǒng)的彈簧常量 k 和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率 f 稱為固有頻率，將圓頻率pn稱為固有圓頻率。由式（A）知，kmgst,代入式（22）得 pgnst （210）這是用彈簧靜變形時的變形量

5、st表示自由振動固有圓頻率的計算公式。三、等效彈簧常量(剛度)剛度:系統(tǒng)的某點沿確定方向產(chǎn)生單位位移(或角位移)時,在該點同一方向所要施加的力(或力矩),稱為系統(tǒng)在該點沿指定方向的剛度.FKx已知桿A,l,J,I,G,E, 試確定自由確B處在x方向,y方向和繞x軸轉(zhuǎn)動的方向的剛度3:3:xyEAKlEIklGJKl拉壓剛度彎曲剛度:扭轉(zhuǎn)剛度簡支梁中點剛度？三、等效彈簧常量例 21 在圖 23 和 24 中， 已知物塊的質(zhì)量為 m，彈簧的彈簧常量分別為kk12、，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。如果用一根彈簧常量為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所

6、產(chǎn)生的靜變形相等如圖 23（b）所示，則 mgkst （b）比較式（a）與（b） ，得 kkk12 （c）k 稱為并聯(lián)彈簧的等效彈簧常量稱為并聯(lián)彈簧的等效彈簧常量。式（c）表明，并聯(lián)后的等效彈簧常量是各并聯(lián)彈簧常量的算術(shù)和。彈簧并聯(lián)的特征是：二二彈簧變形相等彈簧變形相等。由式（28） ，可求出系統(tǒng)的固有頻率 fkmkkm121212計算系統(tǒng)的等效剛度和固有頻率1212FK xK xFKKKx112221121211K mKmfmmm m例 22 一個質(zhì)量為 m的物塊從 h的高處自由落下，與一根抗彎剛度為 EI、長為l的簡支梁作塑性碰撞(圖 25)， 不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和

7、最大撓度。解：當梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)可簡化成如圖 21 所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形st，則由式（210）可求出系統(tǒng)的固有頻率 fgst12由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點的靜撓度為 stmglEI348可求出系統(tǒng)的固有頻率為 fEIml12483因此，中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧常量為 kEIl483例 23 質(zhì)量為 m 的物塊懸掛如圖 26 所示。設(shè)桿 AB 的質(zhì) 量 不 計 ， 兩 彈 簧 的 彈 簧 常 量 分 別 為k1和k2, 又ACaABb，,求物塊的自由振動頻率。解：應(yīng)用等效彈簧常量求解。為此，要將各彈簧的彈簧

8、常量按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。先將彈簧常量k2換算至質(zhì)量 m 所在處 C 的等效彈簧常量k。設(shè)在 C 處作用一力 F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在 B 處的力應(yīng)為Fab，由此力使彈簧k2產(chǎn)生的變形Fabk2，而此變形使 C 點發(fā)生的變形為 cabFak b222由此得到作用在 C 處而與k2彈簧等效的彈簧常量 kFkbac222 然后再將其與彈簧k1串聯(lián)，可得整個系統(tǒng)的等效彈簧常量 kk kbakkbak k ba kb k122212221222122物塊的自由振動頻率為 pkmbk km a kb kn122122()四、 單自由度系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動前面研究的單自由度振動系統(tǒng)，主要是彈簧

9、質(zhì)量組成的直線振動系統(tǒng)。在工程實際中還有許多其它形式的振動系統(tǒng)，如內(nèi)燃機的曲軸、輪船的傳動軸等等。在運轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)振振動動，簡稱扭扭振振。圖 27 所示為一扭振系統(tǒng)。其中 OA 為一鉛直圓軸，上端 A 固定，下端 O固結(jié)一水平圓盤，圓盤對中心軸 OA 的轉(zhuǎn)動慣量為Io。如果在圓盤的水平面內(nèi)加一力偶，然后突然撤去，圓軸就會帶著圓盤作自由扭振，這種裝置稱為扭扭擺擺。綜上所述，對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管直線振動和扭振的結(jié)構(gòu)形式、振動形式不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，將 m、k 理解為等效質(zhì)量mq和等效彈簧常量kq,將其坐標看成廣義坐標q，則對于單自由振動系

10、統(tǒng)來說，它的自由振動微分方程的典型形式為 qp qpkmnnqq20 （214）圖 28(a)所示為扭振系統(tǒng)兩個軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況； 圖(c)則為進一步簡化的等效系統(tǒng)。 根據(jù)例 21 中有關(guān)串、并聯(lián)彈簧的結(jié)論，可得到并聯(lián)軸系的等效彈簧常量為 kkknnn12串聯(lián)軸系的等效彈簧常量為 kk kkknnnnn1212一個剛體由于本身自重作用而繞某一軸作微擺動,稱為復(fù)擺此時轉(zhuǎn)軸稱為擺的懸掛軸.設(shè)剛體重量為W,對懸點O的轉(zhuǎn)動慣量為Io,重心C至懸點O距離為a22sin01,2(2)ooooocoIWaWaIWaWapfIIWaIfWIIag 2 22 2 計計算算固固有有頻頻率率的

11、的能能量量法法計算振動系統(tǒng)的固有頻率，是研究振動系統(tǒng)特征的重要任務(wù)之一。在上節(jié)中，一般是在求出振動系統(tǒng)的運動微分方程的基礎(chǔ)上確定其固有頻率的。在本節(jié)中，將介紹計計算算固固有有頻頻率率的的能能量量法法。能量法的理論基礎(chǔ)是機械能守恒定律。應(yīng)用能量法能夠比較容易地求出保守系統(tǒng)的固有頻率。在圖 21 所示無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，作用在該系統(tǒng)上的重力和彈性力都是保守力。根據(jù)保守力場中的機械能守恒定律，該系統(tǒng)在振動過程中，其勢能與動能之和保持不變。即 TV常量式中 T 是動能，V 是勢能。如果取平衡位置 O 為勢能的零點，現(xiàn)以圖 21 所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例， 應(yīng)用此公式計算系統(tǒng)的固有頻率。由式（25）知

12、，系統(tǒng)的自由振動方程和速度分別為 xAp tvxApp tnnnsin()cos()速度的最大值 maxxApn該系統(tǒng)的動能、勢能的最大值分別為 TmxmA pVkxkAnmaxmaxmaxmax1212121222222代入式（216），得 1212222mA pkAn pkmn它與式（22）完全相同。 例 24 船舶振動記錄儀的原理圖如圖 29 所示。 重物 P 連同桿 BD 對于支點 B 的轉(zhuǎn)動慣量為IB ,求重物 P 在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧 AC 的彈簧常量是 k。解：這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿 BD 自水平的平衡位置量起的角來決定。系統(tǒng)的動能為122IB。如取平

13、衡位置為系統(tǒng)的勢能零點。設(shè)在平衡位置時，彈簧的伸長量為st 。此時，彈性力Fkstst ,方向向上。 mB(F) 0, F bPlst 0 kbPlst 0 （b）設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，則其運動方程 sin()p tn角速度及系統(tǒng)的最大動能分別為 cos()ddtpp tnn 22maxmax2121nBBpIIT （a）該系統(tǒng)的勢能VkbPlkbkbPlststst12122222() () （c）式（b）代入式（c）得 Vkb1222 Vkbkbmaxmax12122222 （d）式（a）、式（d）代入式（216） 12122222IpkbBn （d） pkbInB2瑞雷法運用能量原理,把一個

14、分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個單自由度系統(tǒng),從而把彈簧分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考慮進去,得到相當準確的固有頻率值.假設(shè)彈簧各截面在振動過程中任一瞬時的位移和一根軸向受力的等直桿相近.x處的位移為:xlx設(shè)在某一瞬時質(zhì)量塊m的速度為x 彈簧相應(yīng)的速度為:xlx則彈簧該微段的動能為:21()2xdlxx整根彈簧的動能為:222011122 32 3lxlmTdxxlxx222maxmaxmaxmax:111()22 323mmTmxxmx系統(tǒng)最大動能為2maxmaxmaxmaxmaxmax2221:2,:()33UKxTUxAxApmmA pKAKpmm系統(tǒng)最大勢能為系統(tǒng)的對于簡諧振動代入式得試計算簡

15、支梁的等效質(zhì)量 2 2 3 3 單單 自自 由由 度度 系系 統(tǒng)統(tǒng) 的的 衰衰 減減 振振 動動在自由振動中，振動的振幅是不變的，振動將無限地延續(xù)下去。但是，實際觀察到的結(jié)果并非完全如此。例如，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的物塊在其平衡位置附近的自由振動并非無限地延續(xù)下去，隨著時間的推移，它的振幅將逐漸衰減， 最后趨于零而停止振動。 這說明，在振動過程中，物塊除受恢復(fù)力的作用外，還受到阻力的作用。振動過程中的阻力通稱阻尼。xnxp xn202 xert與式（222）對應(yīng)的運動圖如圖 211 所示，可以看到，物塊在平衡位置附近作往復(fù)運動，具有振動的性質(zhì)。但它的振幅不是常數(shù)，隨時間的推延而衰減。因此，有阻尼的自由

16、振動并非按同樣的條件循環(huán)往復(fù)的周期振動，習(xí)慣上把它視為準周期振動，通常稱為衰衰減減振振動動。xAep tntdsin()xAep tntdsin()21dTTnpn 四 npn 臨界阻尼的情形這時，特征方程的根是兩個相等的實根 rrn12 因此，方程（218）的通解為 xeCC tnt()12 （229）其中CC12、為積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。 這種情形與過阻尼的情形相似，運動已無振動的性質(zhì)。但它是過阻尼情形的下邊界，同一個系統(tǒng)，受相同的運動初始條件激勵，臨界阻尼情形中位移最大，而且返回平衡位置最快。rnnprnnpnn122222 值得注意的是，臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的

17、臨界狀態(tài)。因此，這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，由于npn1，即 cnmp mkmcn222 （230）可見，cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由 ccnmp mnpcnn22即阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，這就是稱為阻尼比的原因。lndnNT21dTT2nnnTpp212 N lnsinxnxp xhtn22Bhpj nBenj2222222)2()(nphBBnBB0222112()()BB0222112()()BB0222112()()BB0222112()()tgnpn222221tg例 26 質(zhì)量為 M 的電機安裝在

18、彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為 e，偏心質(zhì)量為 m。轉(zhuǎn)子以勻角速轉(zhuǎn)動如圖 214（a）所示，試求電機的運動。彈性基礎(chǔ)的作用相當于彈簧常量為k 的彈簧。設(shè)電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為 c。解： 取電機的平衡位置為坐標原點 O，x 軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力 Mg、彈性力 F、阻尼力 R、虛加的慣性力QQer、，受力圖如圖 214（b）所示。根據(jù)達朗貝爾原理，有 cxMgk xMxmetst()sin20 Mxcxkxmetsin2 令pkMncMn22，則上式可寫成 sin()xnxp xmMetn222 （a）式（a）中mMe2與式（231）中的 h 相當。BBhpnn()()22222 2222214()例 27 在圖 216 所示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為 c，物塊的質(zhì)量為 m，彈簧的彈性常量為 k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運動，且支撐的運動為y tbt( )sin,試求物塊的運動規(guī)律。解： 選取 y=0 時物塊的平衡位置為坐標原點 O， 建立固定坐標軸 Ox鉛直向上為正。由圖 216 所示的受力圖，建立物塊的運動微分方程mxc xyk xy()() 0即mxcxkxcyky （a）或?qū)懗?mxcxkxcbtkbtcossin （b）可見，由于支撐運動而使質(zhì)量 m 受到的激振