伯努利方程推導(dǎo)

1、宗燕兵1第三章第三章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 流體流動(dòng)的描述、流體流動(dòng)的描述、分類分類 流體流動(dòng)的連續(xù)性方程流體流動(dòng)的連續(xù)性方程3.3 3.3 理想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程3.4 3.4 理想流體沿流線的伯努例方程理想流體沿流線的伯努例方程3.5 3.5 理想流體沿流線的伯努例方程理想流體沿流線的伯努例方程3 3.6 .6 粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程宗燕兵21xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt說明：對(duì)不可壓縮的和可壓縮的理想流體均適用。說明：對(duì)不可壓縮的和可壓縮的理想流體均適用。一般地，質(zhì)量力是已知的，式中共有未知數(shù)五個(gè)：一般地，質(zhì)量力

2、是已知的，式中共有未知數(shù)五個(gè)：以上三個(gè)方程式，若加上連續(xù)性方程及狀態(tài)方程就構(gòu)成以上三個(gè)方程式，若加上連續(xù)性方程及狀態(tài)方程就構(gòu)成問題的完備方程組，再根據(jù)具體問題的初始和邊界條件，問題的完備方程組，再根據(jù)具體問題的初始和邊界條件，就從理論上提供了求解這五個(gè)未知數(shù)的可能性。就從理論上提供了求解這五個(gè)未知數(shù)的可能性。,xyzpvvv3.4 理想流體沿流線的伯努利方程理想流體沿流線的伯努利方程bc1aa2cbC總水頭線總水頭線靜水頭線靜水頭線gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z意義：反映了在意義：反映了在重力作用下重力作用下的的理想理想不可壓縮不可壓縮流體流體穩(wěn)定穩(wěn)定流流動(dòng)中，動(dòng)中，沿同一流

3、線沿同一流線上，單位重量流體具有的上，單位重量流體具有的位能、壓能位能、壓能和動(dòng)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換和守恒關(guān)系。的相互轉(zhuǎn)換和守恒關(guān)系。 22vgCzp在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不鮮見，然而，鮮見，然而，伯努利伯努利家族家族3代人中產(chǎn)生了代人中產(chǎn)生了10 多位數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，出類拔萃的至少有多位數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位。位。宗燕兵5宗燕兵5對(duì)于歐拉方程，考慮以下特殊條件：對(duì)于歐拉方程，考慮以下特殊條件：1.理想流體；理想流體； 2.穩(wěn)定流動(dòng)；穩(wěn)定流動(dòng)； 3.不可壓縮流體；不可壓縮流體；4.質(zhì)量力只有重力；質(zhì)量力只有重力；5.質(zhì)點(diǎn)沿一條特定

4、流線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)沿一條特定流線運(yùn)動(dòng)。1xdvpXxdtxxxxxyzvvvvvvxyvtz0 xvt穩(wěn) 定 流 動(dòng)1xxxxyzvvvpXvvvxxyz兩邊乘以dx1xxxxyzvvvpXdxdxvdxvdxvdxxxyz一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)宗燕兵61xxxzxyvvvvdxpXdvdxxdxyvxzxdx 沿沿流線移動(dòng)流線移動(dòng)，流線微分方程式，流線微分方程式,yxyzxzv dyv dzvvvddddxyxvz21()()2xxxxxxxvvvpXdxdxvdxdydzxxyzvv dvd類似的，類似的，221()21()2yzvpYdydydyvpZdzdzdzxyzdxdydzvvv宗

5、燕兵72221()21()21()2xyzvpXdxdxdxvpYdydydyvpZdzdzdz三式相加，三式相加，2222xyzvvvv（）21()()()2pppXdxYdyZdzdxdydzdxyzv0,pppdpdxdydzxyzXYZgconst 穩(wěn)定流下：質(zhì)量力只有重力：不可壓縮流：2()()2pvgdzdd宗燕兵82()()2pvgdzdd22112221122122()()()2222pvpvpvg dzddpvpvzzggpvzCg21zz積分：有或1和和2同一流線上的兩點(diǎn)同一流線上的兩點(diǎn);C3流體的重度，N/m常數(shù)；理想流體沿流線的伯努利方程理想流體沿流線的伯努利方程l1、

6、寫出理想流體沿流線的伯努利方程l2、寫出理想流體在Y方向上的歐拉方程l3、試從歐拉方程推導(dǎo)伯努利方程（要求以微元體在Y方向上的受力為例作詳細(xì)推導(dǎo)）宗燕兵9宗燕兵10伯努利方程中各項(xiàng)的物理意義和幾何意義伯努利方程中各項(xiàng)的物理意義和幾何意義bc1aa2cbC總水頭線總水頭線靜水頭線靜水頭線gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z22pvzCgz 流體對(duì)于基準(zhǔn)面的位置高度；流體對(duì)于基準(zhǔn)面的位置高度；單位重量單位重量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)相對(duì)于基準(zhǔn)面的流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)相對(duì)于基準(zhǔn)面的位能位能。三項(xiàng)具有長(zhǎng)度的量綱，三項(xiàng)具有長(zhǎng)度的量綱，表示某種高度表示某種高度。單位重量流體的三種不同流量形式。單位重量流體的三

7、種不同流量形式。p流體因具有壓強(qiáng)流體因具有壓強(qiáng)p而可在管中上升的而可在管中上升的高度；高度；單位重量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)相對(duì)單位重量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)相對(duì)于基準(zhǔn)面的于基準(zhǔn)面的壓能壓能。22vg流體以速度流體以速度v反抗重力向上自由噴射所能達(dá)到反抗重力向上自由噴射所能達(dá)到的高度；的高度；單位重量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)所具有的單位重量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)所具有的動(dòng)動(dòng)能能。宗燕兵11意義：反映了在意義：反映了在重力作用下重力作用下的的理想理想不可壓縮不可壓縮流體流體穩(wěn)定穩(wěn)定流流動(dòng)中，動(dòng)中，沿同一流線沿同一流線上，單位重量流體具有的上，單位重量流體具有的位能、壓能位能、壓能和動(dòng)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換和守恒關(guān)系。的相互轉(zhuǎn)換和守恒關(guān)

8、系。 22vgCzp宗燕兵1222vgCzp伯努利方程成立的伯努利方程成立的5條件：條件：1.理想流體；理想流體； 2.穩(wěn)定流動(dòng)；穩(wěn)定流動(dòng)； 3.不可壓縮流體；不可壓縮流體；4.質(zhì)量力只有重力；質(zhì)量力只有重力；5.質(zhì)點(diǎn)沿一條特定流線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)沿一條特定流線運(yùn)動(dòng)。流速大的位置壓強(qiáng)小，流速小的位置壓強(qiáng)大。流速大的位置壓強(qiáng)小，流速小的位置壓強(qiáng)大。宗燕兵13宗燕兵141.飛機(jī)升空的原理飛機(jī)升空的原理宗燕兵15例題：例題：如圖所示為一虹吸管，如圖所示為一虹吸管，水從一個(gè)大容器經(jīng)虹吸管流入水從一個(gè)大容器經(jīng)虹吸管流入大氣中，若大氣中，若出口截面上流速均出口截面上流速均勻分布勻分布，試求出口處的流速及，試求出

9、口處的流速及A點(diǎn)處流體的壓強(qiáng)。點(diǎn)處流體的壓強(qiáng)。設(shè)液面高設(shè)液面高度保持不變。度保持不變。解解:（1）選定虹吸管的出口處為基準(zhǔn)面，沿選定虹吸管的出口處為基準(zhǔn)面，沿流線的流線的1、2點(diǎn)列出伯努利方程：點(diǎn)列出伯努利方程：2112221222pvpgvzzg因?yàn)橐驗(yàn)橐好娓叨缺３植蛔円好娓叨缺３植蛔?故故v1相對(duì)于相對(duì)于v2來來說可以忽略不計(jì)，即說可以忽略不計(jì)，即1120;avppp又宗燕兵16221221222 ()2 9.81 7 11.7 /vzzgvg zzm s 于 是或（2）為了確定）為了確定A點(diǎn)的壓強(qiáng)，沿流線點(diǎn)的壓強(qiáng)，沿流線1點(diǎn)和點(diǎn)和A點(diǎn)列出點(diǎn)列出伯努利方程：伯努利方程：1122122AAA

10、vgpzvgpz12222220,.AAAAvv Av AAAvvvv在A點(diǎn)和2點(diǎn)處應(yīng)用連續(xù)性方程由于有，因?yàn)槌隹诠芙孛嫔纤俣染鶆蚍植?，故宗燕?7212122112532()2()211.7( 1)9810 1.01 1098102 9.812.31 10/AAAAppvzzgvpzzpgN m （小于大氣壓）（小于大氣壓）宗燕兵18二、伯努利方程的應(yīng)用二、伯努利方程的應(yīng)用畢托管畢托管用途：測(cè)量流場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)流速的儀器。用途：測(cè)量流場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)流速的儀器。依據(jù)：沿流線的伯努利方程。依據(jù)：沿流線的伯努利方程。原型原型: : 直角管兩端開口，一端面向來流，另一端向上，直角管兩端開口，一端面向來流，另一端

11、向上， 管內(nèi)液面高出水面管內(nèi)液面高出水面H H。 A A端形成一駐點(diǎn)（速度為端形成一駐點(diǎn)（速度為0 0），駐點(diǎn)處的壓力稱為總壓力。），駐點(diǎn)處的壓力稱為總壓力。 B B點(diǎn)在點(diǎn)在A A點(diǎn)的上游，與點(diǎn)的上游，與A A點(diǎn)位于同一水平流線，不點(diǎn)位于同一水平流線，不 受側(cè)管影響。受側(cè)管影響。BAHH000()ABpHHpH宗燕兵1920002BBApvpg2()2BABgvppgH22BABvppg22()Bvg2動(dòng)壓，N/m由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的壓力00()AABBppHHppH式中總壓，靜壓，應(yīng)用伯努利方程于應(yīng)用伯努利方程于A、B兩點(diǎn)：兩點(diǎn)：2()2pvzCgBAHH000()ABpHHpH因?yàn)椋鹤谘啾?0A

12、Bpp式中總壓，靜壓22BABvppg22BAUvPHgB -P2動(dòng)壓，N/m2UBvgHH宗燕兵21例題例題:一畢托管安裝在某煙道內(nèi)一畢托管安裝在某煙道內(nèi),與畢托管連接的酒精壓差計(jì)讀數(shù)與畢托管連接的酒精壓差計(jì)讀數(shù)為為h=5mm,酒精的相對(duì)密度為酒精的相對(duì)密度為d=0.8,若煙氣溫度若煙氣溫度400時(shí)其重時(shí)其重度為度為g=5.13N/m3,求測(cè)點(diǎn)處煙氣求測(cè)點(diǎn)處煙氣的流速。的流速。30.8 109.8122 9.810.0055.1312.3/UvgHm s宗燕兵223.5 粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 （實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)的微分方程（實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)的微分方程;N-S方程）方程）基于牛頓

13、第二基于牛頓第二定律推導(dǎo)了理定律推導(dǎo)了理想流體運(yùn)動(dòng)的想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程微分方程歐拉方程歐拉方程理想流體的伯努利理想流體的伯努利方程方程粘性流體的伯努粘性流體的伯努利方程利方程1xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt22pvzCg2211221222pvpvzzpggX、Y、Z：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體所受的質(zhì)：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體所受的質(zhì)量力在坐標(biāo)軸方向上的三個(gè)分量。量力在坐標(biāo)軸方向上的三個(gè)分量。應(yīng)用廣泛應(yīng)用廣泛.但不能解決諸如二維但不能解決諸如二維流動(dòng)、三維流動(dòng)的問題。流動(dòng)、三維流動(dòng)的問題。故還需要用粘性流體運(yùn)動(dòng)的微故還需要用粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程。分方程。宗燕兵23增加一個(gè)粘性項(xiàng)增加一個(gè)粘性項(xiàng)

14、1xdvpXxdt11yzdvpYydtdvpZzdt1xxdvpXTxdt11yyzzdvpYTydtdvpZTzdt實(shí)際流體的流動(dòng)實(shí)際流體的流動(dòng)xyzTTT、 、 是作用在單位質(zhì)量流體上的粘性力在x、y、z軸上的投影。N/kg下面來求三個(gè)坐標(biāo)軸上粘性力的投影。下面來求三個(gè)坐標(biāo)軸上粘性力的投影。理想流體運(yùn)動(dòng)的微分理想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程方程歐拉方程歐拉方程宗燕兵242:/xyxN mvy內(nèi)摩粘性應(yīng)擦應(yīng)力或力，TANA：流體層接觸面的面積，：流體層接觸面的面積，m2。牛頓內(nèi)摩擦定律（又稱牛頓粘性定律）：牛頓內(nèi)摩擦定律（又稱牛頓粘性定律）：流體流動(dòng)時(shí)流體的內(nèi)摩擦力（又稱流體流動(dòng)時(shí)流體的內(nèi)摩擦力（又

15、稱粘性力粘性力）沿沿x軸方向的粘性力由軸方向的粘性力由 在在三個(gè)方向上的在在三個(gè)方向上的速度梯度產(chǎn)生。速度梯度產(chǎn)生。xv()由速度梯度產(chǎn)生,作用于流體接觸面上，方向在x 軸上。BACyx宗燕兵25,xAC xvxAC面上的粘性面上的粘性應(yīng)應(yīng)力：力：EG面上的粘性應(yīng)力：面上的粘性應(yīng)力：2,2()EG xxxvxvdxx所以，所以， 在在AC和和EG兩個(gè)面上產(chǎn)生的粘性兩個(gè)面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力應(yīng)力之和為之和為22xvdxx,AC xEG x與方向相反x軸方向上的粘性力（由軸方向上的粘性力（由 產(chǎn)生）：產(chǎn)生）：xv粘性力為：粘性力為：22xvdxxdydzxv相對(duì)的兩表面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力方向相反，相對(duì)的

16、兩表面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力方向相反，xv宗燕兵26同理，在在BE和和CH二面上產(chǎn)生的粘性二面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力之應(yīng)力之和為和為22xvdyy粘性力為：粘性力為：22xvdxdydzy在在DE和和CF兩個(gè)面上產(chǎn)生的兩個(gè)面上產(chǎn)生的粘性力粘性力在在x軸上軸上之和為之和為22xvdxdydzz在在AC和和EG兩個(gè)面上產(chǎn)生的粘性兩個(gè)面上產(chǎn)生的粘性力力之和為之和為22xvdxxdydzxvxv宗燕兵27沿沿x軸方向的粘性力（由軸方向的粘性力（由 產(chǎn)生）產(chǎn)生）xv222222xxxxvvvdxdydzdxdydzdxdydzxyz三式相加，得微元體六個(gè)面上的粘性力在 軸上的投影：222222()xxxxvdxdy

17、dvvxyzzx用除上式，得T單位質(zhì)量流體在 軸方向上的粘性力222222222222()()yyyzzzvvvxyzvvvxyzyzyz單位質(zhì)量用相同的方法可以得流體在 軸和 軸方向到，TT上的粘性力宗燕兵281xxdvpXTxdt11yyzzdvpYTydtdvpZTzdt實(shí)際流體的流動(dòng)實(shí)際流體的流動(dòng)222222(1)xxxxvvd vpXxxtzdvy222222222222()(11)zyyyyzzzd vpYyd td vpZvvvxyzvvvxyzzd t不可壓縮實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，亦稱納維不可壓縮實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，亦稱納維斯托克斯方程，斯托克斯方程，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱N-S方程。方程。222222()xxxvvvxyzxT22222