拉氏變換基本性質(zhì)

1、四四.拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)(1)線性線性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分微分)0()( fsSF積分積分tdf)(sfssF)0()(時(shí)移時(shí)移)()(00ttuttf)(0sFest頻移頻移atetf)()(asF拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換尺度變換)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst終值終值定理定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷積卷積定理定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFj4.4.時(shí)域平移時(shí)域平移 2.2.

2、對對t t微分微分3.3.對對t t積分積分7.7.初值初值8.8.終值終值( (一一).).時(shí)域平移特性和應(yīng)用時(shí)域平移特性和應(yīng)用1.1.時(shí)移性時(shí)移性設(shè)設(shè))()(sFtf則則otsFettuttfostoo)()()(0P189.表表4.2 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論0t)(tf)(0ttf0t0)()(:)()(:0tjejFttfjFtf則則若若這個(gè)性質(zhì)表明信號在時(shí)域中的延時(shí)和頻域中這個(gè)性質(zhì)表明信號在時(shí)域中的延時(shí)和頻域中的移相是相對應(yīng)的的移相是相對應(yīng)的.傅立葉變換的時(shí)移性質(zhì)傅立葉變換的時(shí)移性質(zhì)2.四個(gè)不同的函數(shù)四個(gè)不同的函數(shù))()(.)()(.)()(.)()(.0000

3、ttuttfdttutfctuttfbtutfa)()(sin)()()(sin)()()()(sin)()()()(sin)()(sin)(0000000000000ttuttttuttftttuttutftutttuttftuttutfttf設(shè) )()(sin00tutt)()(sin000ttutt0tt0)(sin0tutt0)(sin00ttut0tt00tt0ttfsin)(設(shè)2Tt0sint)(. 1tf為其它值時(shí)t0)2()(sin)(:Ttututtf解3.時(shí)移特性的應(yīng)用時(shí)移特性的應(yīng)用p250.4-2 (1)2T-tu(tsin-tu(t)sin)1 ()2()2(sin)(

4、sin)()2()2(sin()(sin)(sin)2(sin2sincoscossin)sin(222sTesTtuTtttuLtfLTtuTtttutftTtTB和利用 *臺階函數(shù)臺階函數(shù))()43(4)2(4)4(4)(4)(TtEuTtuETtuETtuEtuEtfsEtuE4)(4414)(4324sTsTsTsTeeeesEtf*單邊周期函數(shù)的拉氏變換定理單邊周期函數(shù)的拉氏變換定理:若接通的若接通的周期函數(shù)周期函數(shù)f(t)的第一個(gè)周期的拉氏變換為的第一個(gè)周期的拉氏變換為 則函數(shù)則函數(shù)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為)(1sF01)()(1sTesFsFET例：周期信號的拉氏變換例：

5、周期信號的拉氏變換)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏變換第一周期的拉氏變換利用時(shí)移特性利用時(shí)移特性利用無窮遞減等比利用無窮遞減等比級數(shù)求和級數(shù)求和q-1as1求全波整流周期信號的拉氏變換求全波整流周期信號的拉氏變換例例1：)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(sinTtututT22)1(2SeTLTT222211)1(2TSeSeT信號加窗信號加窗第一周期第一周期)21(12 ssees)(tf 單對稱方波單對稱方波 周期對稱方波周期對稱方波 乘衰減指數(shù)乘衰減指數(shù)s22se11)e

6、1(s1包絡(luò)函數(shù)包絡(luò)函數(shù)te12) 2() 1(2)(tututu)1()1()1(1)1()1(SSees.求圖示信號的拉氏變換求圖示信號的拉氏變換ssees111抽樣信號的拉氏變換0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽樣序列抽樣序列的拉氏變換時(shí)域抽樣信號抽樣信號的拉氏變換*抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換 00000)()()()()()()(11)()()()(nnTsSTnStTnTnTtnTfnTtnTfttftfedtentttLnTtt 000)()()()(nnsTnStSenTfdtenTtnTft

7、fL抽樣信號的拉氏變換可表示為抽樣信號的拉氏變換可表示為S域級數(shù)域級數(shù)10)(11210)0()()0()0()0()()0()(),()(. 1nrrrnnnnnnnnefssFsffsfssFsdtfdsRfssFdtdfsFtf和和則則若若證明證明:時(shí)域微分積分特性時(shí)域微分積分特性二二).(式）和見可以推廣到高階是指數(shù)階函數(shù)令31429-p183,4()0()()(0)(lim )()()()()(0)()()()(:)()()(lim000fssFdttdfLtfetfssFoftfedtsetftfetfLvduuvudvsedutfvtdfdveutdfedtedttdftfLst

8、tsttstststststst*幾點(diǎn)說明a.如果所處理里的函數(shù)為有始函數(shù)即00)(ttf)0(),0(),0()1(nfff則都為零.那么)()()(sFsdttfdLssFdtdfLnnn但若f(t)在t=0有躍變,應(yīng)嵌入一個(gè)沖激.相相等等。不不一一定定和和但但雖雖然然)()()()()()(:tfdtdLtutfdtdLtutfLtfL?)0(有有關(guān)關(guān)與與為為什什么么微微分分得得變變換換式式里里f)(2tf0.1t0. teat)(1tf)(2tf)(a1)()(111ssFasdtdfLtuaetdtdfat)()(22tuaetdtdfat)0()(1222fssFassasadtd

9、fL) t (ue) t (fat1設(shè)：設(shè)：這里還要說明一個(gè)基本問題,即不要把單邊拉氏變換理解為只能用于因果信號. 如在利用微分和積分定理求非因果信號的單邊拉氏變換時(shí),這樣理解，可能會得出錯誤的結(jié)果,如.結(jié)結(jié)果果就就錯錯了了若若誤誤認(rèn)認(rèn)為為0) t (f1) t (f0t20t2c.為了不使t=0點(diǎn)的沖激丟失,在單邊拉氏變換中一般采用 系統(tǒng).而且采用 系統(tǒng),對解決實(shí)際問題較為方便.002.時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性若若 則則)()(sFtfsdfssFdfssFdftt00)()()()()(:且且拉拉tjFjdfjFtf)(1)(),()(:則則付付0)(,2)0()()(2)(3dfftud

10、ftfdtdftt求求:ssdfssFsFfssFt1)()( 2)(3)0()(3)(23112312)(22tteetfssssssF解解:初始條件自動包含在變換式中，一步初始條件自動包含在變換式中，一步求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。三.初值和終值定理1.初值定理若f(t) 及其導(dǎo)數(shù) 可以進(jìn)行拉氏變換且)()(sFtfdtdf則)(lim)0()(lim0ssFftfst證明:利用時(shí)域微分特性)0()(0fssFdtedtdfdtdfLst先假定f(t)在原點(diǎn)連續(xù),則 在原點(diǎn)處不dtdf包含沖激包含沖激.于是于是00)0()(lim0limfssFdtedtdfssts即)(lim)

11、0 ()0 ()0 (ssFfffs再假定再假定f(t)在原點(diǎn)有躍變在原點(diǎn)有躍變,則則f(t)的導(dǎo)數(shù)可寫成的導(dǎo)數(shù)可寫成0)()0()0(1ttffdtdfdtdf其中其中 在在t=0連續(xù)連續(xù),于是于是)(1tf)0()0(0)()0()0(limlim)(lim0001ffdtetffdtedtdfdtedttdfstsstssts即即)(lim)0()0()0()0()(limssFffffssFss*幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明a.要注意初值要注意初值f(t) 為為t= 時(shí)刻的值時(shí)刻的值,而不是而不是f(t)在在t= 時(shí)刻的值時(shí)刻的值,無論拉氏變換無論拉氏變換F(s)是是00采用采用 系統(tǒng)還是采用系統(tǒng)

12、還是采用 系統(tǒng)系統(tǒng),所求得的初值所求得的初值總是總是 00)0 (fb.若若F(s)是有理代數(shù)式是有理代數(shù)式,則則F(s)必須是真分式必須是真分式即即F(s)分子的階次應(yīng)低于分母的階次分子的階次應(yīng)低于分母的階次,若不是若不是真分式真分式,則應(yīng)用長除法則應(yīng)用長除法,使使F(s)中出現(xiàn)真分式中出現(xiàn)真分式,而而初值初值 等于真分式等于真分式 逆變換逆變換 .)0 (f)(0tf)(0sFc.物理解釋物理解釋:)(js相當(dāng)于接入信相當(dāng)于接入信號的突變高頻分量號的突變高頻分量.所以可以給出相應(yīng)的初值所以可以給出相應(yīng)的初值)0(fd.由上式也說明由上式也說明,根據(jù)象函數(shù)根據(jù)象函數(shù)F(s)判斷原函數(shù)判斷原函

13、數(shù)是否否包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)存在是否否包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)存在2.終值定理終值定理若若f(t)及其導(dǎo)數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換且及其導(dǎo)數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換且 存在存在,則則)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst證明見證明見p188終值定理表明信號在時(shí)域中終值定理表明信號在時(shí)域中 值值,可以可以通過復(fù)頻域中的通過復(fù)頻域中的F(s)乘以乘以s取取 的極的極限得到而不必求限得到而不必求F(s)的反變換的反變換 )(f0s*兩點(diǎn)說明兩點(diǎn)說明:a. 存在等價(jià)于限制存在等價(jià)于限制F(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)在在s左半平面內(nèi)和原點(diǎn)僅有單階極點(diǎn)左半平面內(nèi)和原點(diǎn)僅有單階極點(diǎn))(limtftb.物理解釋：物理

14、解釋：00js相當(dāng)于直流狀態(tài)相當(dāng)于直流狀態(tài)因而得到電路穩(wěn)定的終值因而得到電路穩(wěn)定的終值.54 .251值值和和終終值值分分別別求求下下列列逆逆變變換換的的初初p)2() 1()3(. 2)5)(2()6(. 12ssssss0)5)(2()6(lim)(lim1)5)(2()6(lim)0(. 1:0sssstfssssfsts解解3)1()()(:ssNtfL已已知知(1)如果如果N(s)=3 利用初值定理求利用初值定理求f(t)f(t)的展開的展開式式332210)(tatataatf中前兩項(xiàng)中中前兩項(xiàng)中 非零項(xiàng)非零項(xiàng).0)2() 1()3(lim)(lim0)2() 1(3lim)0(.

15、 2202sssstfssssfsts0) 1(3lim)0() 1(3)(:303sSafstfLS由題義可知解32 32 3s133) 1(3)0() 1(3)(0) 1(3lim)0() 1(3)0() 1(3)(f ssfsstfLsssafssfsstL3233 33332322 )1()133(33)1(3)0()1(3)(233)1(32)0(limSSSSSfSSdttfdLaSSSafS323323)3(2323)(239)1()133(36)0(limtttfassssafs3)1(3)0()1(3)(33 33)3(ssfsstfL:點(diǎn)評是否為真分式。需要判斷象函數(shù)利用初

16、值定理時(shí))(,. 1sF).0(,);0(,ff的初值即為然后利用初值定理求出則首先將其化為真分式假分式若為初值可直接利用初值定理求為真分式式時(shí)的所有極只有當(dāng)先判斷終值是否存在利用終值定理前)(,. 2sF).(,f定理求終值存在。才可以利用終值其終值才點(diǎn)只有一階極點(diǎn)時(shí)點(diǎn)均在左半平面或在原11lim)(1)()(0ssfstuLsFs如求終值。等卻不能應(yīng)用終值定理但teatsin,*卷積定理卷積定理dzzsFzFjtftfLsFsFdtffLsFtfsFtfjjt)()(21)()()()()()()()(),()(2121212012211則若為一復(fù)頻域中的圍線積分。為一復(fù)頻域中的圍線積分。

17、求圖示三角 波f(t)的拉氏變換.解:方法一:按定義式積分 221210)1 (1)2()()(0sstststesdtetdttedtetfsF方法二:利用線性迭加和時(shí)移定理2202)1 (1)()()(1)()2()2()1()1(2)()(0ssessFtesFtfLsttuLtuttutttutft112)(tf方法三方法三:利用微分積分定理將利用微分積分定理將f(t)微分二次微分二次222)1 ()2() 1(2)()(setttLdttfdL根據(jù)微分定理根據(jù)微分定理:2212121222)1 (1)()1 ()(0)0(0)0()0()0()()(ssessFesFsffsffsF

18、sdttfdL方法四方法四:利用卷積定理利用卷積定理f1(t)可以看作是可以看作是f1(t)自身的卷積自身的卷積.22111111)1 (1)()1 (1)()()()()(*)()(ssessFessFsFsFsFtftftf )(1tf)(1tf*利用所示矩形脈沖的利用所示矩形脈沖的 Laplace 變換式變換式和本章所述拉氏變換的性質(zhì)和本章所述拉氏變換的性質(zhì),求圖示函求圖示函數(shù)的拉氏變換數(shù)的拉氏變換.1f2222224(a)(b)( c)(d)(e)(f)2f4f3f5f6f：)(12)(21)()()2()()()()()1(1)()2()()()(221212211ssssxxssseeeeeeshxsheessFsFtttfdtdtfbessFtututfa)1(1/)()()()()()()()2()()()()()2(2)2()()()(221011331/3133sttesssFsdttfssFdfLtfLsFtftututfdftft