《高等數(shù)學》(同濟六版)教學課件★第9章.多元函數(shù)微分法及其應用(2)

1、第六節(jié)復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學的幾何應用 第九章 復習復習: 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結

2、束 一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 位置.TM空間光滑曲線在點 M 處的切線切線為此點處割線的極限平面平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應設 ),(0000zzyyxxMttt對應)(0t)(0t)(0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 TMM:的方程割線MM)(00 xxt此處要求

3、)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進向量函數(shù) ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點的切向量.o)(trTzyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應點處的切線方程和法平面方程.,2時當切線方程 Rx法平面方

4、程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM對應的切向量為0)(2kzk在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),0,(kRT, 故2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 時, 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, 1

5、00 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF機動 目錄 上頁

6、 下頁 返回 結束 例例2. 求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對 x 求導, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2

7、, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )1,0, 1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0tt 設對應點 M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點 M 的切向量切向量為任意引一

8、條光滑曲線MT下面證明:此平面稱為 在該點的切平面切平面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT證:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0處求導兩邊在tt ,0Mtt對應點注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都

9、在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點 M 的法向量法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點),(zyx故當函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfy

10、yyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx特別特別, 當光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求球面3632222

11、zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM解解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有

12、000zyx2a相切.333a與球面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內容小結內容小結)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(000tttT切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0

13、),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情況.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 T空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面

14、與法線曲面的切平面與法線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1 ,(yxffn思考與練習思考與練習1. 如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示: 設切點為, ),(

15、000zyxM則223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 162 z(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)證明 曲面)(xyfxz 上任一點處的切平面都通過原點.提示提示: 在曲面上任意取一點, ),(000zyxM則通過此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 設 f ( u ) 可微,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明原點坐標滿足上述方程 .點的切平面為 1. 證明曲面0),(ynzymxF與定直線平行,.),(可微其中vuF證證: 曲面上任一點的法向量,1F, )()(21nFmF

16、 )2F取定直線的方向向量為,m,1)n則(定向量)故結論成立 .的所有切平面恒備用題備用題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (n(l,0nl2. 求曲線0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解: 點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl 第九章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向導數(shù)一、方向導數(shù) 機動 目錄 上

17、頁 下頁 返回 結束 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)與梯度l),(zyxP一、方向導數(shù)一、方向導數(shù)定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向導數(shù)方向導數(shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P記作記作 ,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向導數(shù)存在 ,flf0limcosc

18、oscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P故coscoscoszfyfxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向導數(shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當 l 與 x 軸同向有時,2,0 當 l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角例例1.

19、求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向導數(shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 向量 l 的方向余弦為例例2. 求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向導數(shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.

20、 設是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向導數(shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nn二、梯度二、梯度 方向導數(shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向導數(shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),co

21、s(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmax1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 G說明說明: 函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線等值線 .

22、,不同時為零設yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設P同樣, 對應函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當各偏導數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.3. 梯度的基本運算公式梯度的基本運算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.,)(可導設rf),(2

23、22zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r三、物理意義三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 注意注意: 任意一個向量場不一定是梯度場

24、.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 已知位于坐標原點的點電荷 q 在任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例4的結果 這說明場強:處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Eugrad)4(02rrqE 場強04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf內容小結內容小結1. 方向導數(shù)方向導數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向導數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向導數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l

25、(方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思考與練習思考與練習1. 設函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向導數(shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線

26、方向切線方向 的夾角 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)沿 l 的方向導數(shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l cosMfgradl備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2

27、, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d2. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ) 1 ,2,2(AB0A

28、Bl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應用問題二、最值應用問題三、條件極值三、條件極值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),

29、(),(00yxyxfz在點的某鄰域內有xyzxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 時, 具有極值定理定理2 (充分條

30、件)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.1. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx0963

31、2 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機動

32、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、最值應用問題二、最值應用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個只有一個極值

33、點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3 3.解解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.

34、有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內達到,而在域D 內只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0c

35、os212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設

36、記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zy

37、xfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 得唯一駐點,2230Vzyx302

38、4V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為,340Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價最省, 應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .內容小結內容小結1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1)

39、 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面

40、積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設 C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考與練習 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1. 求半徑為R 的

41、圓的內接三角形中面積最大者.解解: 設內接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對應的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標函數(shù)和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標函數(shù)目標函數(shù) :cos2cos222

42、22dcdcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案:,即四邊形內接于圓時面積最大 .2. 求平面上以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二元函數(shù)的泰勒公式 第九章 一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 記號記號 (設下面涉及的偏導數(shù)

43、連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 表示表示定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在點設的某一鄰域內有直到 n + 1 階連續(xù)偏導數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內任 一點, 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn

44、),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項朗日型余項 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 令),10(),()(00tktyhtxft則 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復合函數(shù)求導法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002

45、yxfkhyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn說明說明:(1) 余項估計式. 因 f 的各 n+1 階偏導數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh 令則有1)(! ) 1(nnkhnMRsin

46、coskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 當 n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個一階偏導數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求函數(shù))0 , 0()1ln(),(在點yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),

47、(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkh

48、Ryx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 時, 具有極值二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且令則: 1) 當A 0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分條件)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0

49、000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導數(shù)在點由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22221kCkhBhA其中其中 , , 是當h 0 , k 0 時的無窮小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時因此當kh.),(確定的正負號可由khQz(1) 當 ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACk

50、BkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時當從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(2o22221kkhh,0),(,0khQA時當從而 z0,在點因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當 ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨設 A0, 則 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當時, 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當,),(0000時接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.

51、可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負, 在點因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 +xy),(00yxo若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設 B0 , 此時 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點,同號時當kh,0),(khQ,異號時當kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負, 在點因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當ACB2 0 時, 若 A0, 則21)(),(kBhAkhQA若 A0 , 則 B0 ,2),(kCkhQ可能),(khQ為零

52、或非零機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此時)(),(221okhQz因此 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(,0),(2確定的正負號由時因為ozkhQ不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點 . 第九章 * *第十節(jié)第十節(jié)問題的提出問題的提出: 已知一組實驗數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個問題: 1. 確定近似函數(shù)的類型 根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律 根據(jù)問題的實際背景2. 確定近似函數(shù)的標準 )(iixfy 實驗數(shù)據(jù)有誤差,不能要求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ), 1n最小二乘法最小二乘法 oyx 偏差)(iiixfyr有正有負, 值都較小且便于計算, 可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy為使所有偏差的絕對來確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:設有一列實驗數(shù)據(jù)分布在某條曲線上, 通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法最小二乘法, 找出的函數(shù)關系稱為經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式 .), 1 ,0(),(nkyxkk, 它們大體 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別, 當數(shù)據(jù)點分布近似一條