第二章--序列算子與灰色序列生成

1、序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所第二章第二章 2第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成 引言灰色序列灰色序列算子算子: : 灰色系統(tǒng)基于序列算子的作用，通過對原始數(shù)據(jù)處理，挖掘其變化規(guī)律,是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑。3第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成 引言 舉例： 對于給定的看上去似乎沒有明顯的規(guī)律性的原始數(shù)據(jù)數(shù)列： 0(1, 2,1.5,3)X對原始數(shù)據(jù) 做一次累加生成，將所得新序列記為 ，則 0X 1X 1(1,3, 4.5,7.5)X4第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子

2、與灰色序列生成 引言 (0)XX(1)XX5第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成本章結(jié)構(gòu)2.12.2 均值生成算子2.32.42.5沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列累加生成算子與累減生成算子累加生成序列的灰指數(shù)律6第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成沖擊擾動系統(tǒng)與序列沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子算子7第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子緩沖算子的性質(zhì)緩沖算子的性質(zhì)沖擊擾動擊擾動系統(tǒng)預(yù)測統(tǒng)預(yù)測陷阱阱實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造緩緩沖算子公理本節(jié)主要內(nèi)容8第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生

3、成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子沖擊擾動系統(tǒng)預(yù)測陷阱 為系統(tǒng)真實(shí)行為序列 為沖擊擾動序列 :沖擊擾動項(xiàng)。0X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )XxxxnX(0)(0)(0)(0)12( (1), (2), ( ) (1),(2),( )nXxxx nxxxnX12( ,)n 9第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子沖擊擾動系統(tǒng)預(yù)測陷阱沖擊擾動沖擊擾動系統(tǒng)系統(tǒng)預(yù)測陷阱預(yù)測陷阱緩沖算子公理緩沖算子公理緩沖算子性質(zhì)緩沖算子性質(zhì)弱弱化緩沖算子化緩沖算子強(qiáng)強(qiáng)化緩沖算子化緩沖算子10第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動

4、系統(tǒng)與序列算子緩沖算子公理幾種典型序列 序列名稱 數(shù)據(jù)1 數(shù)據(jù)2 數(shù)據(jù)3 數(shù)據(jù)4 數(shù)據(jù)5 單調(diào)增長序列 3 5 8 12 14 單調(diào)衰減序列 15 13 12 10 8 振蕩序列 12 14 11 9 9.511第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子緩沖算子公理什么是算子作用序列？ 為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列， 為作用于 的算子，一階算子作用序列：二階算子作用序列：三階算子作用序列：以此類推。XXD( (1) , (2) , ( ) )XDxd xdx n d1 21 21 21 2( (1 ), (2), , ( )X DDx dd x ddxndd1 2

5、 31 2 31 2 31 2 3( (1 ), (2), , ( )XDDDx ddd x dddxnddd12第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子緩沖算子公理n不動點(diǎn)公理n信息充分利用公理n解析化、規(guī)范化公理緩沖算子三公理緩沖算子三公理13第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子緩沖算子公理n弱化緩沖算子：緩沖序列 比原始序列 的增長速度（或衰減速度）減緩或振幅減小。n強(qiáng)化緩沖算子：緩沖序列 比原始序列 的增長速度（或衰減速度）加快或振幅增大。什么是緩沖算子？滿足緩沖算子三公理的序列算子。XDXXDX1

6、4第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子緩沖算子性質(zhì)XXD定理定理2.2.1 設(shè) 為單調(diào)增長序列， 為其緩沖序列，則有（1）D為弱化算子（2）D為強(qiáng)化算子., 2 , 1,)()(nkdkxkx., 2 , 1,)()(nkdkxkx定理定理2.2.2 設(shè) 為單調(diào)增長序列， 為其緩沖序列，則有（1）D為弱化算子（2）D為強(qiáng)化算子XXD., 2 , 1,)()(nkdkxkx., 2 , 1,)()(nkdkxkx15第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子定理定理2.2.3 設(shè) 為振蕩序列， 為其緩沖序列，則

7、有（1）D為弱化算子（2）D為強(qiáng)化算子XXDdkxkxdkxkxnknknknk)(min)(min)(max)(max1111dkxkxdkxkxnknknknk)(min)(min)(max)(max111116第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造經(jīng)典緩沖算子（Sifeng Liu, 1991）定理定理 2.2.42.2.4 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為( (1), (2), ( )Xxxx n( (1) , (2) , , ( ) )XDxd xdx n d1( )( )(1)( ) ;1,2, ,1x k dx kx k

8、x nknn k 令則當(dāng) X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時， D皆為弱化算子。并稱 D為平均弱化緩沖算子(AWBO)。 17第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造例：一階和二階緩沖序列的計(jì)算X=（36.5，54.3，80.1，109.8，143.2）11(1)( )(1)( )(1)(2)(5)15 1 11 36.5 54.3 80.1 109.8 143.284.785 1 1x dxkxkxnxxxn k （1）計(jì)算一階緩沖序列18第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子實(shí)用

9、緩沖算子的構(gòu)造（2）計(jì)算二階緩沖序列以（1）中計(jì)算結(jié)果x(k)d, k=1,2,5為基礎(chǔ)，由式2.2.2可求得二階緩沖序列。19第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造計(jì)算結(jié)果如表2.2.1所示數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)2數(shù)據(jù)3數(shù)據(jù)4數(shù)據(jù)5原始數(shù)據(jù)序列36.554.380.1109.8143.2一階緩沖序列84.7896.85111.03126.5143.2二階緩沖序列112.47119.4126.91134.85143.2表2.2.1 弱化緩沖序列數(shù)據(jù)20第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.1 沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子實(shí)用緩沖算子

10、的構(gòu)造強(qiáng)化算子(1)( )( );2,3, ;1,22ix kx kx k dkn i 對單調(diào)衰減序列的強(qiáng)化算子 ： 對單調(diào)增長序列的強(qiáng)化算子 ：1D1(1)(1),0,1xdx2D2(1)(1) (1),0,1x dx 21第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成均值生成算子均值生成算子22第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.2 均值生成算子界值與內(nèi)點(diǎn)設(shè)序列 ，若 為新信息，則對任意 ， 稱為老信息。( (1), (2), , ( ), (1), , ( )Xxxxk xkxn()xn1k n ( )xk設(shè)序列 在 處有空穴，記為 ，即 則 和 為 的界值；當(dāng)

11、 由 與 生成時， 則生成值為 的內(nèi)點(diǎn)。Xk( ) k( (1), (2), (1), ( ), (1), ( )Xxxx kk x kx n) 1( kx) 1( kx( )k( ) k) 1( kx)1(),1(kxkx新信息與老信息) 1( kx23第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.2 均值生成算子界值生成：有偏算子與無偏算子 定義算子D) 1()1 () 1()()(kxkxkxdkx 1 , 05 . 0 有偏算子： 無偏算子：0.5 無偏算子亦稱均值生成算子。24第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.2 均值生成算子( )x k例例2.3.1

12、 設(shè)某序列中 為缺失數(shù)據(jù)，已知 ，試求 的生成值。(1) 13.4x k (1) 19.2xk ( )x k0.1,0.3,0.5,0.7,0.9值0.10.30.50.70.9生成值18.6217.4616.315.1413.98( )xk表表2.3.1 x(k)的生成值25第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成緊鄰值生成：有偏算子與無偏算子2.2 均值生成算子 定義算子D) 1()1 ()()()(kxkxkxdkx 1 , 0 有偏算子： 無偏算子： 無偏算子亦稱緊鄰均值生成算子，記為緊鄰均值生成算子是均值GM(1,1）模型的基礎(chǔ)算子。5 . 00.5)(,),3 (),2

13、(nzzzZ26第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列27第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列1. 1. 光滑比光滑比光滑比定義光滑比定義準(zhǔn)光滑序列準(zhǔn)光滑序列2.2.級比生成級比生成級級比算子定義比算子定義光滑比與級比相互關(guān)系如何相互關(guān)系如何?28第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列光滑比nkixkxkki, 3 , 2;)()()(11( (1), (2), ( )Xxxx nnkkx,2, 1,0)(29第二章 序列算子與灰色序列生成

14、序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列準(zhǔn)光滑序列滿足三個條件：u u u . 1, 3 , 2; 1)() 1(nkkk., 4 , 3;, 0)(nkk5 . 030第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列級 比nkkxkxk, 3 , 2;) 1()()(n ( (1), (2), , ( )Xxxx nnkkx, 2 , 1, 0)(，級比生成 和 ： 級比生成序列：按級比生成填補(bǔ)空穴所得的序列。(1)x()xn( (1), (2), (1), ( )Xxx nn31第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)

15、光滑序列與級比生成序列幾個命題(1)(1)(1( );2,3,( )kkkknkn命題命題2.4.1 設(shè) 是端點(diǎn)為空穴的序列，若采取級比生成，則n命題命題2.4.2 n X(1)(2) (3), ( )(1) (1)xxxnxnn命題命題2.4.3若 ， 為單調(diào)遞增序列， 且有（1） （2） 則當(dāng) 時，必有： ( (1), (2), ( )Xxxx nnkkx, 2 , 1, 0)(nkk, 3 , 2, 2)(nkkk, 3 , 2, 1)() 1(, 0 )(k(1)1,1k32第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列例 題：33第二章 序列算子

16、與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.3 準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列例 題：34第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成累加生成算子與累減生成算子累加生成算子與累減生成算子35第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.4 累加生成算子與累減生成算子累加生成使灰色過程由灰變白累減生成是灰量釋放的過程累減生成算子與累加生成算子是一對互逆的序列算子。累加生成與累減生成36第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.4 累加生成算子與累減生成算子原始序列： 為序列算子 ：則稱 為 的一次累加生成算子，記為 。r 階算子 為 的 r次累加生成算子，記為 。一次累加生

17、成算子)(,),2(),1 ()(,),2(),1 ()()()()()1()1()1()1()1()0(nxxxXDXnxxxXDXrrrrr習(xí)慣上，記)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,) 2(,) 1 ()0()0()0()0(dnxdxdxDXDnkixdkxki, 2 , 1; )()(1)0()0(D) 0(XrD)0(XAGO1AGOr 37第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.4 累加生成算子與累減生成算子一次累減生成算子nkkxkxdkx,2, 1);1()()()0()0()0()(,),2(),1 ()(,),2(),1 ()

18、0()()0()()0()()0()()0()0() 1 ()0() 1 ()0() 1 ()0() 1 ()0(nxxxXDXnxxxXDXrrrrr習(xí)慣上，記原始序列： ,D為序列算子 ：則稱 D為 的一次累減生成算子， r階算子 為 的 r次累減生成算子。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,)2(,) 1 ()0()0()0()0(dnxdxdxDX) 0 (XrD) 0(X38第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.4 累加生成算子與累減生成算子累加算子與累減算子的關(guān)系累減生成算子是累加生成算子的逆算子，即鑒于累減過程與累加過程互逆，將累減生

19、成算子記為 。)0()()(XXrrIAGO39第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.4 累加生成算子與累減生成算子原始數(shù)據(jù)序列245710一次累加生成序列26111828二次累加生成序列28193765原始序列26111828累減生成序列245710累加與累減生成序列40第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成累加生成累加生成序序列的灰指數(shù)律列的灰指數(shù)律41第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.5 累加生成數(shù)列的灰指數(shù)律u一般的非負(fù)準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會減少隨機(jī)性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律。u原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也越明顯。累加

20、生成的作用42第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.5 累加生成數(shù)列的灰指數(shù)律例 題43第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.5 累加生成數(shù)列的灰指數(shù)律 u u 齊次指數(shù)函數(shù)與非齊次指數(shù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù)：( ); ,0atX tceb c a， 44第二章 序列算子與灰色序列生成序列算子與灰色序列生成2.5 累加生成數(shù)列的灰指數(shù)律齊次指數(shù)序列和非齊次指數(shù)序列u（1） ，則稱 為齊次指數(shù)序列；u（2） ，則稱 為非齊次指數(shù)序列。u定理定理2.6.1 為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是，對于u ，恒有 設(shè)序列 , 若)(,),2(),1 (nxxxX0, ;)(, , 2 , 1accekxnkakX0,;)(, 2 , 1bacbcekxnkakXXnk, 2 , 1constk)(45第二章 序列算子與灰