機器人學導論第五章實用教案

1、第五章 速度(sd)和靜力 概述 在本章中，我們將機器人操作臂的討論擴展到靜態(tài)位置問題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運用這些概念去分析操作臂的運動。我們將討論作用在剛體上的力，然后應用這些概念去研究操作臂靜力學應用的問題。 關于速度和靜力的研究將得出一個(y )稱為操作臂雅克比的實矩陣。第1頁/共42頁第一頁，共43頁。 矢量的導數 （5-1） 位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點的線速度。式5-1可以看出，可以通過計算( j sun)Q相對于坐標系B的微分進行描述。左上標B是表明相對于坐標系B進行的微分第2頁/共42頁第二頁，共43頁。 像其他矢量一樣(yyng)

2、速度矢量能在任意坐標系中描述，器參考坐標系用左上標注明，如果在坐標系A中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫為 給出速度表達式QdtdVBAQBAQBABQBAVRV 第3頁/共42頁第三頁，共43頁。經常討論的是一個坐標系元旦相對(xingdu)于某個常見的世界參考坐標系的速度，而不考慮任意坐標系中一般點的速度。對于這種情況定義一個縮寫符號那么 是坐標系C的原點在坐標系A中表示的速度，盡管(jn gun)微分是相對于坐標系U進行的CORGUVCvCAv第4頁/共42頁第四頁，共43頁。BABA角速度矢量(shling)角速度矢量用符號 表示。線速度描述了點的一種屬性，角速度描述了剛體(gngt

3、)的一種屬性。坐標系總是固連在剛體(gngt)上，所以可以用角速度描述坐標系的旋轉運動。圖 5-2在圖5-2中， 描述了坐標系B相對于坐標系A的旋轉。實際上 的方向就是B相對于A的瞬時旋轉軸 ， 的大小表示(biosh)旋轉速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標中描述，例如， 就是坐標系B相對于A的角速度在坐標系C中的描述。BAC第5頁/共42頁第五頁，共43頁。在參考坐標系非常簡單可用一種簡化的表示方法 這里， 為坐標系C相對(xingdu)于某個已知坐標系U的角速度。例如 就是坐標系C的角速度在坐標系A中的描述，盡管這個角速度是相對(xingdu)于坐標系U的。 CUCCCA第6頁/共42頁第

4、六頁，共43頁。5.3剛體(gngt)的線速度和角速度 線速度 把坐標系固連在一剛體上，要求描述相對于坐標系A的運動 ,如圖5-3所示。這里已經(y jing)認為坐標系A是固定的。此時我們假定 不隨時間變化。則Q點 相對于坐標系A 的運動是由于 或 隨時間的變化 引起的。 QBRABBORGAPQB第7頁/共42頁第七頁，共43頁。 角速度 我們(w men)討論兩坐標系的原點重合，相對線速度為0的情況。 (1) 時 （5-10） (2) 時 （5-11）QVABAQAQVVABAQBAQA0QBV0QBV第8頁/共42頁第八頁，共43頁。 線速度和角速度同時存在的情況 （5-13） 這是把

5、原點的線速度加到式（5-12）中，得到(d do)了從坐標系A觀測坐標系B的普遍公式。第9頁/共42頁第九頁，共43頁。5.4 對角速度的進一步研究(ynji) 前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數學方法 正交矩陣導數(do sh)的性質 我們可以推出正交矩陣和某一反對稱矩陣的一種特殊關系。對于任何nn正交矩陣R，有 （5-14） 當n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉矩陣，對式（5-14）求導得nTIRRnTTTnTT)RR(RRRRRR00第10頁/共42頁第十頁，共43頁。 定義 S為反對稱矩陣，因此正交矩陣的微分(wi fn)與反對稱矩陣之間存在如下特性，可以寫為n

6、0TTSSRRS得到1RRS第11頁/共42頁第十一頁，共43頁。由于參考系旋轉(xunzhun)的點速度 假定(jidng)固定矢量 相對于坐標系B是不變的，在另一個坐標系A中的描述為 由于坐標系B的旋轉， 代入 表達式，得 將 代入有 (5-24)PBPRPBabAPRVPRPPAABABBABPBPRRV1ABPABAB1RRSPSVAPAAAB第12頁/共42頁第十二頁，共43頁。反對(fndu)稱陣和矢量積 如果反對稱陣S的各元素如下： (5-25) 定義31的列矢量(shling) (5-26) 容易證明 (5-27)0-0-0SxyxxyxzyxPSP第13頁/共42頁第十三頁，

7、共43頁。 與式（5-24）聯(lián)立可得PVABAPA第14頁/共42頁第十四頁，共43頁。5.5 機器人連桿(lin n)的運動 連桿間的速度傳遞 操作臂是一個(y )鏈式結構，每一個(y )連桿的運動都與它的相鄰連桿有關。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關節(jié)i+1上的新的速度分量。第15頁/共42頁第十五頁，共43頁。如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個由于(yuy)關節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標系i，上述關系可寫成11111iiiiiiiiiZR圖5-6111100iiiiZ其中(qzhng)第16頁/共42頁第十六頁，共43頁。在方程式5-4

8、3兩邊同時左乘 可以得到(d do)連桿i+1的角速度相對于坐標系i+1的表達式：Rii1111111iiiiiiiiiZR第17頁/共42頁第十七頁，共43頁。坐標系i+1原點的線速度等于坐標系i原點的線速度加上一個(y )由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于 在坐標系i中是常數，所以有，1iip1iiiiii1iipvv（5-46）兩邊(lingbin)同時左乘 得Rii11iiiiii11i1ipvvRii（5-47）從一個連桿到下一個連桿依次應用這些公式，可以計算出最后一個連桿的角速度 和線速度 ，注意，這兩個公式是按照坐標系N表達(biod)的，如果用基坐標系來表達(biod)角速

9、度和線速度的話，就可以用 去左乘速度，向基坐標系進行旋轉變換。NNNNvRN0第18頁/共42頁第十八頁，共43頁。 例5.3 圖5-8所示是具有兩個轉動關節(jié)的操作臂.計算出操作臂末端的速度，將它表達成操作臂末端的函數(hnsh)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標系3表示，一種是用坐標系0表示。圖5-8兩連桿(lin n)操作臂圖5-9兩連桿(lin n)操作臂的坐標系布局第19頁/共42頁第十九頁，共43頁。 首先將坐標系固連在連桿上，計算連桿變換(binhun)如下100001000000111101csscT1000010000csl0scT2212212100001000010l001

10、T223第20頁/共42頁第二十頁，共43頁。 運用(ynyng)式（5-45）和式（5-47）從基坐標0依次計算出每個坐標系原點的速度，其中基坐標系的速度為0。21220011100000v110clsl0l01000cs0scv1211211122222222330clslv21212112133l（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）第21頁/共42頁第二十一頁，共43頁。 式（5-55）即為答案。為了得到這些速度(sd)相對于基坐標的表達，用旋轉矩陣 對它們作旋轉變換，即R03100001212121223120103csscRRRR（5-56）通過這

11、個變換(binhun)可以得到0clclslsl -v211221112112211130（5-57）第22頁/共42頁第二十二頁，共43頁。5.7 雅克比 雅克比矩陣是多元形式的導數。例如(lr)假設有6個函數，每個函數有6個獨立變量：第23頁/共42頁第二十三頁，共43頁。由多元函數(hnsh)求導法則得在任一瞬時，x都有一個(y )確定的值，J(X)是一個(y )線性變換。在每個新時刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時變的線性變換。第24頁/共42頁第二十四頁，共43頁。 在機器人學中，通常使用雅克比將關節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系(linx)起來，比如 Jv00(5

12、-64)式中是操作臂關節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達式附加了左上標，以此來表示笛卡爾速度所參考的坐標系。對于通常的6關節(jié)機器人，雅克比矩陣是66階矩陣， 是61維的， 也是61維的。這個61笛卡爾速度矢量是由一個(y )31的線速度矢量和一個(y )31的角速度矢量組合起來的：v0 000(5-65)第25頁/共42頁第二十五頁，共43頁。 寫出例5.3中的雅克比矩陣(j zhn) 由例5.3的結果 式（5-55）可寫出坐標系3的雅克比表達式 式（5-57）可寫出坐標系0的雅克比表達式 2221213llcl0slJ（5-66）（5-67） 122122111221221

13、13clclclsl -slsl -J第26頁/共42頁第二十六頁，共43頁。雅克比矩陣(j zhn)參考坐標系的變換 已知坐標系B中的雅克比矩陣( j zhn)，即我們關心的是給出雅克比矩陣在另一個(y )坐標系A中的表達式。由于因此可以得到第27頁/共42頁第二十七頁，共43頁。 顯然利用(lyng)下列關系可以完成雅克比矩陣參考坐標系的變換：第28頁/共42頁第二十八頁，共43頁。5.9 作用(zuyng)在操作臂上的靜力 操作臂的鏈式結構自然讓我們想到力和力矩是如何從一個連桿向下一個連桿傳遞(chund)的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關節(jié)扭矩。 我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定

14、義一下特殊符號： =連桿i-1施加在連桿i上的力 =連桿i-1施加在連桿i上的力矩。ifin第29頁/共42頁第二十九頁，共43頁。 建立連桿坐標系，圖5-11為施加(shji)在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿(lin n)的靜力和靜力矩的平衡關系第30頁/共42頁第三十頁，共43頁。將繞坐標系i原點的力矩(l j)相加，有如果我們從施加(shji)于手部的力和力矩的描述開始，從末端連桿到基座進行計算就可以計算出作用于每一個連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號連桿向低序號連桿進行迭代求解。結果如下用旋轉矩陣進行變換得到最重要的連桿

15、(lin n)之間的靜力“傳遞”表達式：第31頁/共42頁第三十一頁，共43頁。除了繞關節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量(shling)的所有分量都可由操作臂機構本身來平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關節(jié)力矩，應計算關節(jié)軸矢量(shling)和施加在連桿上的力矩矢量(shling)的點積：對于關節(jié)是移動(ydng)關節(jié)的情況，可以計算出關節(jié)驅動力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計算靜態(tài)作用(zuyng)下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關節(jié)力。第32頁/共42頁第三十二頁，共43頁。 例5.7 在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量 （可以認為(rnwi)該力是

16、作用在坐標系3的原點上）。按照位形和作用力的函數給出所需的關節(jié)力（見圖5-12）。F3圖5-12應用式（5-80）到式（5-82），從末端(m dun)連桿開始向機器人的基座計算：第33頁/共42頁第三十三頁，共43頁。 于是(ysh)有可將這個關系(gun x)寫成矩陣算子：第34頁/共42頁第三十四頁，共43頁。5.10 力域中的雅可比 功具有能量的單位，所以(suy)它在任何廣義坐標系下的測量值都相同。特別是在笛卡爾空間做的功應當等于關節(jié)空作的功式中F是一個作用在末端執(zhí)行器上的61維笛卡爾力-力矩質量，是一個作用在末端執(zhí)行器的61維無窮小笛卡爾位移(wiy)矢量，是61維關節(jié)力矩矢量，是

17、61維無窮小的關節(jié)位移(wiy)矢量。式(5-91)也可寫成第35頁/共42頁第三十五頁，共43頁。雅克比矩陣(j zhn)的定義為因此(ync)可以寫出對所有的，上式均成立(chngl)，因此有對上式兩邊轉置，可得式5-96從一般意義上證明了里5.6中兩連桿操作臂的特殊情況：雅克比的轉置將作用在手臂上的笛卡爾力映射成了等效第36頁/共42頁第三十六頁，共43頁。關節(jié)力矩。當得到相對(xingdu)于坐標系0的雅克比矩陣后，可以由下式對坐標系0中的力矢量進行變換：注意，式（5-97）是一個非常有趣的關系式，它可將一個笛卡爾空間的兩變換為一個關節(jié)空間的兩而無需(wx)計算任何運動學函數的逆解。第

18、37頁/共42頁第三十七頁，共43頁。速度(sd)和靜力的笛卡爾變換 根據61維的剛體廣義速度表達式進行( jnxng)討論： 同樣，考慮61維的廣義力矢量表達式，即 很自然的想到將這些量從一個坐標系映射到另一個坐標系。第38頁/共42頁第三十八頁，共43頁。 這里，用矩陣算子的形式寫出式（5-45）和式（5-47），將坐標系A中的廣義速度矢量變換為在坐標系B中的描述。這里涉及(shj)的兩個坐標系之間的連接是剛性的，所以在式(5-45)中出現的 被置零1i式中叉乘又可看成是矩陣(j zhn)算子第39頁/共42頁第三十九頁，共43頁。 現在式（5-100）將一個坐標系的速度與兩一個坐標系的速度聯(lián)系起來，這個66算子被稱為速度變換矩陣，用符號 表示，因此可將是（5-100）表示成緊湊的形式(xngsh)： 已知B中的速度值，為了計算在A中的速度描述，可以對是（5-100）求逆： 即vT第40頁/共42頁第四十頁，共43頁。 同樣，由式（5-80）和（5-81）可得66的矩陣，它可將在坐標系B中的廣義力矢量變換成在坐標系A中的描述，即為 可以寫成緊湊(jncu)形式 式中 用來表示一個力力矩變換 速度和力變換矩陣與雅克比矩陣相似，可把不同坐標系中的