機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章實(shí)用教案

1、第五章 速度(sd)和靜力 概述 在本章中，我們將機(jī)器人操作臂的討論擴(kuò)展到靜態(tài)位置問題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運(yùn)用這些概念去分析操作臂的運(yùn)動(dòng)。我們將討論作用在剛體上的力，然后應(yīng)用這些概念去研究操作臂靜力學(xué)應(yīng)用的問題。 關(guān)于速度和靜力的研究將得出一個(gè)(y )稱為操作臂雅克比的實(shí)矩陣。第1頁/共42頁第一頁，共43頁。 矢量的導(dǎo)數(shù) （5-1） 位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點(diǎn)的線速度。式5-1可以看出，可以通過計(jì)算( j sun)Q相對于坐標(biāo)系B的微分進(jìn)行描述。左上標(biāo)B是表明相對于坐標(biāo)系B進(jìn)行的微分第2頁/共42頁第二頁，共43頁。 像其他矢量一樣(yyng)

2、速度矢量能在任意坐標(biāo)系中描述，器參考坐標(biāo)系用左上標(biāo)注明，如果在坐標(biāo)系A(chǔ)中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫為 給出速度表達(dá)式QdtdVBAQBAQBABQBAVRV 第3頁/共42頁第三頁，共43頁。經(jīng)常討論的是一個(gè)坐標(biāo)系元旦相對(xingdu)于某個(gè)常見的世界參考坐標(biāo)系的速度，而不考慮任意坐標(biāo)系中一般點(diǎn)的速度。對于這種情況定義一個(gè)縮寫符號(hào)那么 是坐標(biāo)系C的原點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中表示的速度，盡管(jn gun)微分是相對于坐標(biāo)系U進(jìn)行的CORGUVCvCAv第4頁/共42頁第四頁，共43頁。BABA角速度矢量(shling)角速度矢量用符號(hào) 表示。線速度描述了點(diǎn)的一種屬性，角速度描述了剛體(gngt

3、)的一種屬性。坐標(biāo)系總是固連在剛體(gngt)上，所以可以用角速度描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。圖 5-2在圖5-2中， 描述了坐標(biāo)系B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的旋轉(zhuǎn)。實(shí)際上 的方向就是B相對于A的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸 ， 的大小表示(biosh)旋轉(zhuǎn)速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標(biāo)中描述，例如， 就是坐標(biāo)系B相對于A的角速度在坐標(biāo)系C中的描述。BAC第5頁/共42頁第五頁，共43頁。在參考坐標(biāo)系非常簡單可用一種簡化的表示方法 這里， 為坐標(biāo)系C相對(xingdu)于某個(gè)已知坐標(biāo)系U的角速度。例如 就是坐標(biāo)系C的角速度在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述，盡管這個(gè)角速度是相對(xingdu)于坐標(biāo)系U的。 CUCCCA第6頁/共42頁第

4、六頁，共43頁。5.3剛體(gngt)的線速度和角速度 線速度 把坐標(biāo)系固連在一剛體上，要求描述相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的運(yùn)動(dòng) ,如圖5-3所示。這里已經(jīng)(y jing)認(rèn)為坐標(biāo)系A(chǔ)是固定的。此時(shí)我們假定 不隨時(shí)間變化。則Q點(diǎn) 相對于坐標(biāo)系A(chǔ) 的運(yùn)動(dòng)是由于 或 隨時(shí)間的變化 引起的。 QBRABBORGAPQB第7頁/共42頁第七頁，共43頁。 角速度 我們(w men)討論兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，相對線速度為0的情況。 (1) 時(shí) （5-10） (2) 時(shí) （5-11）QVABAQAQVVABAQBAQA0QBV0QBV第8頁/共42頁第八頁，共43頁。 線速度和角速度同時(shí)存在的情況 （5-13） 這是把

5、原點(diǎn)的線速度加到式（5-12）中，得到(d do)了從坐標(biāo)系A(chǔ)觀測坐標(biāo)系B的普遍公式。第9頁/共42頁第九頁，共43頁。5.4 對角速度的進(jìn)一步研究(ynji) 前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數(shù)學(xué)方法 正交矩陣導(dǎo)數(shù)(do sh)的性質(zhì) 我們可以推出正交矩陣和某一反對稱矩陣的一種特殊關(guān)系。對于任何nn正交矩陣R，有 （5-14） 當(dāng)n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉(zhuǎn)矩陣，對式（5-14）求導(dǎo)得nTIRRnTTTnTT)RR(RRRRRR00第10頁/共42頁第十頁，共43頁。 定義 S為反對稱矩陣，因此正交矩陣的微分(wi fn)與反對稱矩陣之間存在如下特性，可以寫為n

6、0TTSSRRS得到1RRS第11頁/共42頁第十一頁，共43頁。由于參考系旋轉(zhuǎn)(xunzhun)的點(diǎn)速度 假定(jidng)固定矢量 相對于坐標(biāo)系B是不變的，在另一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述為 由于坐標(biāo)系B的旋轉(zhuǎn)， 代入 表達(dá)式，得 將 代入有 (5-24)PBPRPBabAPRVPRPPAABABBABPBPRRV1ABPABAB1RRSPSVAPAAAB第12頁/共42頁第十二頁，共43頁。反對(fndu)稱陣和矢量積 如果反對稱陣S的各元素如下： (5-25) 定義31的列矢量(shling) (5-26) 容易證明 (5-27)0-0-0SxyxxyxzyxPSP第13頁/共42頁第十三頁，

7、共43頁。 與式（5-24）聯(lián)立可得PVABAPA第14頁/共42頁第十四頁，共43頁。5.5 機(jī)器人連桿(lin n)的運(yùn)動(dòng) 連桿間的速度傳遞 操作臂是一個(gè)(y )鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)(y )連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰連桿有關(guān)。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。第15頁/共42頁第十五頁，共43頁。如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個(gè)由于(yuy)關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標(biāo)系i，上述關(guān)系可寫成11111iiiiiiiiiZR圖5-6111100iiiiZ其中(qzhng)第16頁/共42頁第十六頁，共43頁。在方程式5-4

8、3兩邊同時(shí)左乘 可以得到(d do)連桿i+1的角速度相對于坐標(biāo)系i+1的表達(dá)式：Rii1111111iiiiiiiiiZR第17頁/共42頁第十七頁，共43頁。坐標(biāo)系i+1原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系i原點(diǎn)的線速度加上一個(gè)(y )由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于 在坐標(biāo)系i中是常數(shù)，所以有，1iip1iiiiii1iipvv（5-46）兩邊(lingbin)同時(shí)左乘 得Rii11iiiiii11i1ipvvRii（5-47）從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計(jì)算出最后一個(gè)連桿的角速度 和線速度 ，注意，這兩個(gè)公式是按照坐標(biāo)系N表達(dá)(biod)的，如果用基坐標(biāo)系來表達(dá)(biod)角速

9、度和線速度的話，就可以用 去左乘速度，向基坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。NNNNvRN0第18頁/共42頁第十八頁，共43頁。 例5.3 圖5-8所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成操作臂末端的函數(shù)(hnsh)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系3表示，一種是用坐標(biāo)系0表示。圖5-8兩連桿(lin n)操作臂圖5-9兩連桿(lin n)操作臂的坐標(biāo)系布局第19頁/共42頁第十九頁，共43頁。 首先將坐標(biāo)系固連在連桿上，計(jì)算連桿變換(binhun)如下100001000000111101csscT1000010000csl0scT2212212100001000010l001

10、T223第20頁/共42頁第二十頁，共43頁。 運(yùn)用(ynyng)式（5-45）和式（5-47）從基坐標(biāo)0依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0。21220011100000v110clsl0l01000cs0scv1211211122222222330clslv21212112133l（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）第21頁/共42頁第二十一頁，共43頁。 式（5-55）即為答案。為了得到這些速度(sd)相對于基坐標(biāo)的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣 對它們作旋轉(zhuǎn)變換，即R03100001212121223120103csscRRRR（5-56）通過這

11、個(gè)變換(binhun)可以得到0clclslsl -v211221112112211130（5-57）第22頁/共42頁第二十二頁，共43頁。5.7 雅克比 雅克比矩陣是多元形式的導(dǎo)數(shù)。例如(lr)假設(shè)有6個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有6個(gè)獨(dú)立變量：第23頁/共42頁第二十三頁，共43頁。由多元函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)法則得在任一瞬時(shí)，x都有一個(gè)(y )確定的值，J(X)是一個(gè)(y )線性變換。在每個(gè)新時(shí)刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時(shí)變的線性變換。第24頁/共42頁第二十四頁，共43頁。 在機(jī)器人學(xué)中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系(linx)起來，比如 Jv00(5

12、-64)式中是操作臂關(guān)節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達(dá)式附加了左上標(biāo)，以此來表示笛卡爾速度所參考的坐標(biāo)系。對于通常的6關(guān)節(jié)機(jī)器人，雅克比矩陣是66階矩陣， 是61維的， 也是61維的。這個(gè)61笛卡爾速度矢量是由一個(gè)(y )31的線速度矢量和一個(gè)(y )31的角速度矢量組合起來的：v0 000(5-65)第25頁/共42頁第二十五頁，共43頁。 寫出例5.3中的雅克比矩陣(j zhn) 由例5.3的結(jié)果 式（5-55）可寫出坐標(biāo)系3的雅克比表達(dá)式 式（5-57）可寫出坐標(biāo)系0的雅克比表達(dá)式 2221213llcl0slJ（5-66）（5-67） 122122111221221

13、13clclclsl -slsl -J第26頁/共42頁第二十六頁，共43頁。雅克比矩陣(j zhn)參考坐標(biāo)系的變換 已知坐標(biāo)系B中的雅克比矩陣( j zhn)，即我們關(guān)心的是給出雅克比矩陣在另一個(gè)(y )坐標(biāo)系A(chǔ)中的表達(dá)式。由于因此可以得到第27頁/共42頁第二十七頁，共43頁。 顯然利用(lyng)下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換：第28頁/共42頁第二十八頁，共43頁。5.9 作用(zuyng)在操作臂上的靜力 操作臂的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)自然讓我們想到力和力矩是如何從一個(gè)連桿向下一個(gè)連桿傳遞(chund)的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩。 我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定

14、義一下特殊符號(hào)： =連桿i-1施加在連桿i上的力 =連桿i-1施加在連桿i上的力矩。ifin第29頁/共42頁第二十九頁，共43頁。 建立連桿坐標(biāo)系，圖5-11為施加(shji)在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿(lin n)的靜力和靜力矩的平衡關(guān)系第30頁/共42頁第三十頁，共43頁。將繞坐標(biāo)系i原點(diǎn)的力矩(l j)相加，有如果我們從施加(shji)于手部的力和力矩的描述開始，從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一個(gè)連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號(hào)連桿向低序號(hào)連桿進(jìn)行迭代求解。結(jié)果如下用旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換得到最重要的連桿

15、(lin n)之間的靜力“傳遞”表達(dá)式：第31頁/共42頁第三十一頁，共43頁。除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量(shling)的所有分量都可由操作臂機(jī)構(gòu)本身來平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量(shling)和施加在連桿上的力矩矢量(shling)的點(diǎn)積：對于關(guān)節(jié)是移動(dòng)(ydng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計(jì)算靜態(tài)作用(zuyng)下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關(guān)節(jié)力。第32頁/共42頁第三十二頁，共43頁。 例5.7 在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量 （可以認(rèn)為(rnwi)該力是

16、作用在坐標(biāo)系3的原點(diǎn)上）。按照位形和作用力的函數(shù)給出所需的關(guān)節(jié)力（見圖5-12）。F3圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端(m dun)連桿開始向機(jī)器人的基座計(jì)算：第33頁/共42頁第三十三頁，共43頁。 于是(ysh)有可將這個(gè)關(guān)系(gun x)寫成矩陣算子：第34頁/共42頁第三十四頁，共43頁。5.10 力域中的雅可比 功具有能量的單位，所以(suy)它在任何廣義坐標(biāo)系下的測量值都相同。特別是在笛卡爾空間做的功應(yīng)當(dāng)?shù)扔陉P(guān)節(jié)空作的功式中F是一個(gè)作用在末端執(zhí)行器上的61維笛卡爾力-力矩質(zhì)量，是一個(gè)作用在末端執(zhí)行器的61維無窮小笛卡爾位移(wiy)矢量，是61維關(guān)節(jié)力矩矢量，是

17、61維無窮小的關(guān)節(jié)位移(wiy)矢量。式(5-91)也可寫成第35頁/共42頁第三十五頁，共43頁。雅克比矩陣(j zhn)的定義為因此(ync)可以寫出對所有的，上式均成立(chngl)，因此有對上式兩邊轉(zhuǎn)置，可得式5-96從一般意義上證明了里5.6中兩連桿操作臂的特殊情況：雅克比的轉(zhuǎn)置將作用在手臂上的笛卡爾力映射成了等效第36頁/共42頁第三十六頁，共43頁。關(guān)節(jié)力矩。當(dāng)?shù)玫较鄬?xingdu)于坐標(biāo)系0的雅克比矩陣后，可以由下式對坐標(biāo)系0中的力矢量進(jìn)行變換：注意，式（5-97）是一個(gè)非常有趣的關(guān)系式，它可將一個(gè)笛卡爾空間的兩變換為一個(gè)關(guān)節(jié)空間的兩而無需(wx)計(jì)算任何運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)的逆解。第

18、37頁/共42頁第三十七頁，共43頁。速度(sd)和靜力的笛卡爾變換 根據(jù)61維的剛體廣義速度表達(dá)式進(jìn)行( jnxng)討論： 同樣，考慮61維的廣義力矢量表達(dá)式，即 很自然的想到將這些量從一個(gè)坐標(biāo)系映射到另一個(gè)坐標(biāo)系。第38頁/共42頁第三十八頁，共43頁。 這里，用矩陣算子的形式寫出式（5-45）和式（5-47），將坐標(biāo)系A(chǔ)中的廣義速度矢量變換為在坐標(biāo)系B中的描述。這里涉及(shj)的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的連接是剛性的，所以在式(5-45)中出現(xiàn)的 被置零1i式中叉乘又可看成是矩陣(j zhn)算子第39頁/共42頁第三十九頁，共43頁。 現(xiàn)在式（5-100）將一個(gè)坐標(biāo)系的速度與兩一個(gè)坐標(biāo)系的速度聯(lián)系起來，這個(gè)66算子被稱為速度變換矩陣，用符號(hào) 表示，因此可將是（5-100）表示成緊湊的形式(xngsh)： 已知B中的速度值，為了計(jì)算在A中的速度描述，可以對是（5-100）求逆： 即vT第40頁/共42頁第四十頁，共43頁。 同樣，由式（5-80）和（5-81）可得66的矩陣，它可將在坐標(biāo)系B中的廣義力矢量變換成在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述，即為 可以寫成緊湊(jncu)形式 式中 用來表示一個(gè)力力矩變換 速度和力變換矩陣與雅克比矩陣相似，可把不同坐標(biāo)系中的