三節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1三節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程三節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程第一頁，編輯于星期一：八點 二十二分。一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)31xy若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y第1頁/共16頁第二頁，編輯于星期一：八點 二十二分。1yyxe dydx例1 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 1yyxe x將兩端對 求導(dǎo)數(shù)：

2、 (1)yyxe0()yyxeyyyexe y , 1yyeyxe 故 對 求導(dǎo)時，得把y看成是x的函數(shù)，因此有yxex yy注：求導(dǎo)后得到一個關(guān)于 的方程，解此方程則得的表達(dá)式，在此表達(dá)式中允許含有。第2頁/共16頁第三頁，編輯于星期一：八點 二十二分。332yxxy(1,1)例2 求曲線上點處的切線方程。解 方程兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得 223 322y yxyxy解出 y，得 22223 (320)32yxyyxyx(1,1)|1y 則所求切線方程為 1( 1)(1)yx 即20 xy第3頁/共16頁第四頁，編輯于星期一：八點 二十二分。MathematicaDSolve( , )0F x y

3、 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由求導(dǎo)和解方程兩個步驟組成.因而，在 中可使用 語句，和求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 2244xydydx例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 方程兩邊求導(dǎo)，得從求導(dǎo)結(jié)果中解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：第4頁/共16頁第五頁，編輯于星期一：八點 二十二分。 或者將兩個步驟合并為注意 在 中 意義是 一樣的，都表示函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)。第5頁/共16頁第六頁，編輯于星期一：八點 二十二分。例4 求方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 即 第6頁/共16頁第七頁，編輯于星期一：八點 二十二分。 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv

4、vuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:第7頁/共16頁第八頁，編輯于星期一：八點 二十二分。2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb第8頁/共16頁第九頁，編輯于星期一：八點 二十二分。又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3

5、lnxx11x21x31x41x第9頁/共16頁第十頁，編輯于星期一：八點 二十二分。二、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第10頁/共16頁第十一頁，編輯于星期一：八點 二十二分。( sin )cos/cos( cos )sindydy dxatattdxdtdtatat 例5

6、已知圓的參數(shù)方程為求解 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)步驟是：先求和的導(dǎo)數(shù)，再求它們的商。因而，利用求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用Dy , t/ Dx , t第11頁/共16頁第十二頁，編輯于星期一：八點 二十二分。例6 求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 9Out14t例7 求參數(shù)方程 導(dǎo)數(shù)。 解 第12頁/共16頁第十三頁，編輯于星期一：八點 二十二分。例8 求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)。解 可以用所確定函數(shù)的圖形。 命令繪制參數(shù)方程第13頁/共16頁第十四頁，編輯于星期一：八點 二十二分。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)直接對方程兩邊求導(dǎo)4. 用Mathematica求兩種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。課后練習(xí)課后練習(xí)P54P54 第14頁/共16頁第十五頁，編輯于星期一：八點 二十二分。Mathematica( )yy xdydx3利用求由下列方程所確定