712加法原理之分類枚舉二教師版

1、7-1-2.加法原理之分類枚舉（二）教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2.掌握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)別；3.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問(wèn)題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問(wèn)題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問(wèn)題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致知識(shí)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來(lái)解決例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長(zhǎng)途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車從北京到天津那么他在一

2、天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長(zhǎng)途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長(zhǎng)途汽車，有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法在上面的問(wèn)題中，完成一件事有兩大類不同的方法在具體做的時(shí)候，只要采用一類中的一種方法就可以完成并且兩大類方法是互無(wú)影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，第k類方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理加法原理運(yùn)用的范圍：完

3、成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”分類時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類； 分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對(duì)各類逐一計(jì)數(shù)通俗地說(shuō)，就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）；3、類類相加枚舉法：枚舉

4、法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對(duì)象一一列舉出來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)分類討論的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類的情況全部列舉出來(lái)，這時(shí)的方法就是枚舉法枚舉的時(shí)候要注意順序，這樣才能做到不重不漏例題精講分類枚舉找規(guī)律【例 1】 有一個(gè)電子表的表面用2個(gè)數(shù)碼顯示“小時(shí)”，另用2個(gè)數(shù)碼顯示“分”。例如“21：32”表示21時(shí)32分，那么這個(gè)手表從“10：00”至“11：30”之間共有分鐘表面上顯示有數(shù)碼“2”. 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，1試，第9題【解析】 顯示小時(shí)的數(shù)碼不會(huì)出現(xiàn)2，只有分鐘會(huì)出現(xiàn)。10點(diǎn)到11點(diǎn)分別有2，12，20，21，22，29，32，42

5、，52，共15次，11點(diǎn)到11點(diǎn)半有2，12，20，21，22，29共12次，所以有27分鐘?！敬鸢浮糠昼姟纠?2】 袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的情況共有_種可能 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想，迎春杯，四年級(jí)，初賽，6題【解析】 如果沒(méi)拿紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4種.如果拿1個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5種.如果拿2個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、

6、1）、（4、0）5種如果拿3個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4種.可見(jiàn)他拿出球的情況共有：4+5+5+4=18（種）有18種.【答案】種【例 3】 1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積? 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 方法一：按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，所以有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：， 若插入兩個(gè)乘號(hào)，由于必有一個(gè)空當(dāng)不

7、放乘號(hào)，所以從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：， 若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，可以得到l個(gè)不同的乘積，枚舉如下： 所以，根據(jù)加法原理共有種不同的乘積 方法二：每個(gè)空可以放入乘號(hào)可以可以不放乘號(hào)共有兩種選擇，在1、2、3、4這四個(gè)數(shù)中共有3個(gè)空所以共有：去掉都不放的一種情況，所以共有：（種）選擇【答案】【例 4】 1995的數(shù)字和是1995=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)? 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只

8、需其余三位數(shù)字和是25因?yàn)槭弧€(gè)位數(shù)字和最多為99=18，因此，百位數(shù)字至少是7于是百位為7時(shí)，只有1799，一個(gè)；百位為8時(shí)，只有1889，1898，二個(gè)；百位為9時(shí)，只有1979，1997，1988，三個(gè)；總計(jì)共123=6個(gè)【答案】【鞏固】 1995的數(shù)字和是1995=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個(gè)? 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)字和是23因?yàn)槭弧€(gè)位數(shù)字和最多為，因此，百位數(shù)字至少是5于是百位為5時(shí)，只有1599一個(gè)； 百位為6時(shí)

9、，只有1689，1698兩個(gè)； 百位為7時(shí)，只有1779，1788，1797三個(gè)； 百位為8時(shí)，只有1869，1878，1887，1896四個(gè)；百位為9時(shí)，只有1959，1968，1977，1986，1995五個(gè)；根據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)【答案】【鞏固】 2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問(wèn)：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)?【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 大于2000小于3000的四位數(shù)千位數(shù)字是2，要它數(shù)字和為9，只需其余三位數(shù)字和是7因此，百位數(shù)字至多是7于是根據(jù)百位數(shù)進(jìn)行分類：第一類，百位為7時(shí)，只有

10、2700一個(gè)； 第二類，百位為6時(shí)，只有2610，2601兩個(gè)； 第三類，百位為5時(shí)，只有2520，2511，2502三個(gè)； 第四類，百位為4時(shí)，只有2430，2421，2412，2403四個(gè)；第五類，百位為3時(shí)，只有2340，2331，2322，2313，2304五個(gè)；第六類，百位為2時(shí)，只有2250，2241，2232，2223，2214、2205六個(gè)；第七類，百位為1時(shí)，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七個(gè)；第八類，百位為0時(shí)，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八個(gè)； 根據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)【答案】【

11、例 5】 從101到900這800個(gè)自然數(shù)中，數(shù)字和被8整除的數(shù)共有_個(gè)?！究键c(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級(jí)，初賽，第13題【解析】 數(shù)字和被8整除，則數(shù)字和可能為8、16、24 數(shù)字和8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2 這樣的數(shù)共有個(gè) 數(shù)字和16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4= 這樣的數(shù)共有58個(gè) 數(shù)字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8 這樣的數(shù)共有6個(gè) 所以滿足題意的數(shù)字共

12、有100個(gè)【答案】個(gè)【鞏固】 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？ 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 以個(gè)位數(shù)的值為分類標(biāo)準(zhǔn)，可以分成以下幾類情況來(lái)考慮： 第1類個(gè)位數(shù)字是0，滿足條件的數(shù)共有10個(gè)其中： 十位數(shù)字為0，有4000、3100、2200、1300，共4個(gè)； 十位數(shù)字為1，有3010、2110、1210，共3個(gè)； 十位數(shù)字為2，有2020、1120，共2個(gè)； 十位數(shù)字為3，有1030，共1個(gè) 第2類個(gè)位數(shù)字是1，滿足條件的數(shù)共有6個(gè)其中： 十位數(shù)字為0，有3001、2101、1201，共3個(gè)； 十位數(shù)字為1，有2011、

13、1111，共2個(gè)；十位數(shù)字為2，有1021，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)第3類個(gè)位數(shù)字是2，滿足條件的數(shù)共有3個(gè)其中：十位數(shù)字為0，有2002、1102，共2個(gè)；十位數(shù)字為1，有1012，共1個(gè)第4類個(gè)位數(shù)字是3，滿足條件的數(shù)共有1個(gè)其中：十位數(shù)字是0，有l(wèi)003，共1個(gè)根據(jù)上面分析，由加法原理可求出滿足條件的數(shù)共有個(gè)【答案】【例 6】 將1999這999個(gè)自然數(shù)排成一行（不一定按從大到小或從小到大的順序排列），得到一個(gè)2889位數(shù)，那么數(shù)字串“123”最多能出現(xiàn) 次【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，復(fù)試，4題【解析】 構(gòu)成數(shù)字串“123”的方式有很多，它

14、可能是由一個(gè)數(shù)單獨(dú)構(gòu)成，也可能是由兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)構(gòu)成統(tǒng)計(jì)數(shù)字串“123”出現(xiàn)的次數(shù)，最好的辦法就是對(duì)其進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)我們將出現(xiàn)的“123”分為如下幾類：就是123三位數(shù)本身，一個(gè)；1和23分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么后面這個(gè)數(shù)可能是23或以23開(kāi)頭的三位數(shù)23或以23開(kāi)頭的三位數(shù)有23，230，231，232，238，239共11個(gè)，而以1結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于11個(gè)，所以這類最多有11個(gè)；12和3分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么前面這個(gè)數(shù)可能是12或以12結(jié)尾的三位數(shù)12或以12結(jié)尾的三位數(shù)有12，112，212，312，812，912共10個(gè)，而以3結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于10個(gè)，最多有10個(gè)；1、2和3

15、分別屬于三個(gè)不同的多位數(shù)，那么中間這個(gè)數(shù)只能是2，最多出現(xiàn)1次綜上，最多出現(xiàn)次，而且易看出可以達(dá)到【答案】次【例 7】 將、以及另外個(gè)不同的自然數(shù)填入下面六個(gè)，使這個(gè)自然數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，一共有 種不同的填法?！究键c(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第6題【解析】 由于和都在該等差數(shù)列當(dāng)中，所以該等差數(shù)列的公差是與之差的約數(shù)，即只能是，對(duì)這些公差分別討論：（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，但一共只有個(gè)方格，所以該情況不存在。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的情況下，可以枚舉種填法。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所

16、在的位置相隔格，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的情況下，可以枚舉出種填法。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相鄰，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的情況下，只能枚舉出種填法。所以一共只有種填法?！敬鸢浮俊纠?8】 有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如，等等，這類數(shù)共有 個(gè). 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 按自然數(shù)的最高位數(shù)分類： 最高位為的有，共個(gè)最高位為的有，共個(gè)最高位為的有，358，共個(gè)最高位為的有共個(gè)所以這類數(shù)共有個(gè)【答案】【例 9】 在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少

17、個(gè)？【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第12題【解析】 適合要求的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字可將它們列出來(lái)：十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字1020，130，1，290，1，2，8因此，適合要求的兩位數(shù)共有：12十3945(個(gè))【答案】個(gè)【例 10】 如果一個(gè)大于9的整數(shù)，其每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱它為迎春數(shù)那么，小于2008的迎春數(shù)一共有多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】解答 【考點(diǎn)】 【難度】星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，迎春杯，中年級(jí)，初賽，5題,分類討論思想【解析】 (法1)兩位數(shù)中迎春

18、數(shù)的個(gè)數(shù)十位數(shù)字為1的：12，13，198個(gè)十位數(shù)字為2的：23，24，297個(gè)十位數(shù)字為3的：34，35，396個(gè)十位數(shù)字為4的：45，46，495個(gè)十位數(shù)字為5的：56，57，594個(gè)十位數(shù)字為6的：67，68，693個(gè)十位數(shù)字為7的：78，792個(gè)十位數(shù)字為8的：891個(gè)兩位數(shù)共個(gè)三位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)百位數(shù)字是1的：123129，134139189共28個(gè)百位數(shù)字是2的：234239，289共21個(gè)百位數(shù)字是3的：345349，389共15個(gè)百位數(shù)字是4的：456458，489共10個(gè)百位數(shù)字是5的：567569，589共6個(gè)百位數(shù)字是6的：678，679，689共3個(gè)百位數(shù)字是7的：7

19、891個(gè)10001999中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)前兩位是12的：12341239，1289共21個(gè)前兩位是13的：13451349，1389共15個(gè)前兩位是14的：14561459，1489共10個(gè)前兩位是15的：15671569，1589共6個(gè)前兩位是16的：1678，1679，16893個(gè)前兩位是17的：17891個(gè)共56個(gè)所以小于2008的迎春數(shù)共個(gè)(法2)小于2008的迎春數(shù)只可能是兩位數(shù)，三位數(shù)和1000多的數(shù)兩位數(shù)的取法有個(gè)三位數(shù)的取法有個(gè)1000多的迎春數(shù)的取法有個(gè)所以共個(gè)【答案】【例 11】 有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1問(wèn)這樣的五

20、位數(shù)共有多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】分類討論思想【解析】 首位取1時(shí)，千位只能是2，百位可以是1和3 百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和32種 百位是3，十位可以是2和4；十位是2，個(gè)位可以是1和3，十位是4，個(gè)位可以是3和54種 所以，首位取1時(shí)，共有種 首位取2時(shí)，千位可以是1和3 千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3有3種 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可是是1和3，有3種百位是4，十位可以是3和5，有3種千位是3時(shí)有種 所以首位取2時(shí)，共有種 首位取3時(shí)，千位可以取2和4 千位是2，百位可以取1和3百位是1，十位只能是2

21、，個(gè)位可以是1和3；2種百位是3時(shí)，十位可以是2和4十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4，個(gè)位可以是3和5；4種 千位是4，百位可以取3和5 百位是5，十位只能是4，個(gè)位可以是3和5；2種百位是3，十位可能是2和4十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4個(gè)位可以是3和5；4種 所以，首位取3時(shí)，共有種 首位取4時(shí)，千位可以取3和5 千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5十位是3個(gè)位可以是2和4；十位是5個(gè)位只能是4有3種 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可以是1和3十位是1個(gè)位只能是2；十位是3個(gè)位可以是2和4有3種百位是4，十位可以是3和5十位是5個(gè)位只能是4；十位是3，個(gè)位可以是2和4有

22、3種千位是3共有種 所以，首位取4時(shí)，共有種 首位取5時(shí)，千位只能是4，百位可以是3和5百位是5，十位只能是4，有2種；百位是3，十位可以是2和4，有4種所以，首位取5時(shí)共有種 總共有：個(gè) 也可以根據(jù)首位數(shù)字分別是1、2、3、4、5，畫5個(gè)樹(shù)狀圖，然后相加總共有：個(gè) 【答案】【例 12】 從1999中選出連續(xù)6個(gè)自然數(shù)，使得它們的乘積的末尾恰有4個(gè)0，一共有 種選法【考點(diǎn)】加法原理之分類枚舉 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽，9題【解析】 連續(xù)的6個(gè)自然數(shù)中，必有3個(gè)偶數(shù)，這3個(gè)偶數(shù)是3個(gè)連續(xù)偶數(shù)，其中至少有1個(gè)是4的倍數(shù)，那么這3個(gè)偶數(shù)的積肯定是的倍數(shù)，所以任意的連續(xù)

23、6個(gè)自然數(shù)的積都是的倍數(shù)另外，連續(xù)的6個(gè)自然數(shù)中，至少有一個(gè)5的倍數(shù)，至多有兩個(gè)5的倍數(shù)：如果其中只有1個(gè)5的倍數(shù)，由于末尾要有4個(gè)0，那么這個(gè)5的倍數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，即是625的倍數(shù)，又小于1000，只能是625，那么這6個(gè)數(shù)可以是621626，622627，623628，624629，共4種；如果其中有2個(gè)5的倍數(shù)，那么只能是這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)都是5的倍數(shù)由于這兩個(gè)5的倍數(shù)不可能同時(shí)是25的倍數(shù)，所以其中必有一個(gè)是的倍數(shù)，可能為125，250，375，500，625，750，900對(duì)于其中除625外的6個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)都可以是這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)，所以對(duì)這6個(gè)數(shù)，每個(gè)

24、數(shù)都有2種取法，共有種取法；而對(duì)于625來(lái)說(shuō)，與另一個(gè)5的倍數(shù)相乘，將會(huì)是的倍數(shù)，要想使末尾恰有4個(gè)0，則這連續(xù)6個(gè)自然數(shù)的乘積要是的倍數(shù)但又不是的倍數(shù)檢驗(yàn)620625和625630這兩組的連續(xù)6個(gè)自然數(shù)，后者滿足題意，前者則不合題意所以有2個(gè)5的倍數(shù)的情況下共有種選法根據(jù)加法原理，共有種選法小結(jié)：本題容易出錯(cuò)的地方在于容易忽略掉625630這一組數(shù)，因?yàn)樵谄匠Ｗ鲱}中面對(duì)此類問(wèn)題基本上都是2比5多的情況，所以學(xué)生可能對(duì)于2比5少的可能性根本不予考慮【答案】種【例 13】 兩個(gè)籃子中分別裝有很多同樣的牽?；ê驮录净?，從中選出6朵串成花環(huán)（圖是其中的一種情況），可以得到不同的花環(huán) 種。（通過(guò)旋轉(zhuǎn)和