第二章點、直線、平面的投影

1、第一節(jié)第一節(jié) 投影法的基本知識投影法的基本知識 第二節(jié)第二節(jié) 點的投影點的投影第三節(jié)第三節(jié) 直線的投影直線的投影第四節(jié)第四節(jié) 平面的投影平面的投影第五節(jié)第五節(jié) 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置第二章第二章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影一、投影的概念一、投影的概念 投影空間物體在光線的照射下，在地上或墻上產(chǎn)生的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。 投影法在投影面上作出物體投影的方法稱為投影法。2-1 投影法的基本知識1、中心投影法：、中心投影法：全部投影線都 從一點投射出。H特性：投影大小與物體和投影面之間距離有關(guān)。二、投影法的分類二、投影法的分類投射中心投射線S

2、投影面ABCabc2、平行投影法、平行投影法：所有投影線都相互平行。1）、正投影法：（主要學(xué)習(xí)此種投影方法）投射線互相平行且垂直于投影面特性：投影大小與物體和 投影面之間距離無關(guān)。投射方向P投影面2）、斜投影法：投影線傾斜于投影面投射線互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小與物體和 投影面之間距離無關(guān)。投射方向三、正投影法的主要特性三、正投影法的主要特性 1、點的投影、點的投影：AHa 點的投影 仍是一點。2、直線的投影、直線的投影 ： 直線的投影一般情況下仍為直線，在特殊情況下聚為一點。1）、直線平形于投影面abABH在該面上的投影ab反映空間直線AB的真實長度。即：ab=AB2）、直線C

3、D垂直于投影面在該面上的投影有積聚性，其投影為一點HCDc（d）3）直線EF傾斜于投影面 在該面上的投影長度變短，即：ef=EF cosEFefH3、平面的投影、平面的投影 平面的投影一般仍是相類似的平面圖形，在特殊情況下積聚為直線。 1）平面平行于投影面ABCabcH投影abc反映空間平面ABC的真實形狀。 真實性 2）、平面垂直于投影面DEFdefH在投影面上的投影積聚為直線。 積聚性 3）平面傾斜于投影面KLMKlmH投影klm面積變小。 類似性 四、投影的基本性質(zhì)： 1、真實性 2、積聚性 3、類似性 一個視圖不能完整地反映物體的空間形狀五、物體的三面投影圖五、物體的三面投影圖1、三面

4、投影圖的形成、三面投影圖的形成三投影面體系由三個相互垂直的投影面所組成正立投影面簡稱正面。水平投影面 簡稱水平面。側(cè)立投影面簡稱側(cè)面。兩投影面的交線稱為投影軸OX、OY、OZ。VHWXYZO2、物體在三投影面體系中的投影、物體在三投影面體系中的投影 正面投影由前向后投影； 水平面投影 由上向下投影； 側(cè)面投影由左向右投影。3、三投影面的展開、三投影面的展開VHWOXYHZYW側(cè)面W繞 OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90。水平面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90。規(guī)定：正面V保持不動。VHWXYZO俯俯長長主主高高上上前前后后下下上上左左右右下下前前后后右右左左4、位置關(guān)系和投影關(guān)系：、位置關(guān)系和投影關(guān)系：5 5、方位關(guān)系

5、、方位關(guān)系俯視圖在主視圖的下方左視圖在主視圖的右方主、俯視圖長對正（等長）主、左視圖高平齊（等高）俯、左視圖寬相等（等寬）主視圖反映物體的上下和左右俯視圖反映物體的前后和左右左視圖反映物體的前后和上下注注：俯、左視圖靠近主視圖的一邊，表示物體的后表面；遠(yuǎn)離主視圖的一邊，表示物體的前表面。左左寬寬主左俯2-2 點的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影 過A作垂直于V、H面的投射線A a、Aa，分別與H面交于a，與V面交于a，a、 a即為點A的兩面投影。VHOXAaaVVHOX實際作圖時不畫投影面邊框。aaaxaaOXHOXAaaVaxax（1）、點的兩面投影連線垂直于相應(yīng)

6、的投影軸，即 aaox；（2）、點的投影到投影軸的距離，等于該點到相應(yīng)投影面的距離，即： aax=Aa aax=Aa二、點在三投二、點在三投影面體系中的影面體系中的投影投影aVHWOXYHYW ZaaXYHYWZOaaa規(guī)定：規(guī)定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。VHWXYZOaaaAaxazay點的三面投影規(guī)律：點的三面投影規(guī)律：（1）、點的投影連線垂直于投影軸。 即：aaox，aaoz （2）、點的投影到投影軸的距離，等于該點的 坐標(biāo)，也就是該點到相應(yīng)投影面的距離。三、點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系三、點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系： 將投影面

7、體系當(dāng)作空間直角坐標(biāo)系，把V、H、 W當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸ox、oy、oz當(dāng)作坐標(biāo) 軸，o 作為原點。 點A的空間位置可以用直角坐標(biāo)（x，y，z）來表示。點A的x坐標(biāo)值=oax =aay=aaz=Aa反映點A到W面的距離。 Y坐標(biāo)值=oay=aax=aaz=Aa反映點A 到V面的距離。 Z坐標(biāo)值=oaz=aax=aay=Aa反映點A到H面的距離。OaaywXYHYWZaaaxazayhxyz a 由點A的x、y值確定，a由點A 的x、Z確定，a由點A的y、z值確定。VHWXYZOaaaAaxazay例1、已知點的坐標(biāo)值為：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）

8、量取坐 標(biāo)值；XOYHYWZaaabbb（2）作點的 投影。102010例2、已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點對投影面的相對位置。abc點A的三個坐標(biāo)值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標(biāo)為0，故點B為H面上的點。點C的x、y坐標(biāo)為0，故點C為z軸上的點。bbc cxyHywzoaaz四、兩點的相對位置和重影點四、兩點的相對位置和重影點： 1、兩點的相對位置、兩點的相對位置 要在投影圖上判斷空間兩點的相對位置，應(yīng)根據(jù)這這兩兩點在每個的面投影關(guān)系和坐標(biāo)差點在每個的面投影關(guān)系和坐標(biāo)差來確定。例：由投影圖判斷A、B兩點的空間位置。aabbXOYHYWZab（1）由A、B兩點V、H面投影可

9、確定點A在點B左方。（2）由A、B的H、W面投影可確定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可確定A在B下方。因此點點A位于點位于點B左、前、下方左、前、下方。2、 重影點重影點重影點重影點空間兩點在一個面的投影重合于一點叫做重影點重影點。 如圖：C、D兩點的水平投影證明影為一點。OXc（d）cd又因點C在點D的正上方，C點可見，D點被遮蓋。 作圖時不可見點加括號。結(jié)論結(jié)論：如果兩個點的某面如果兩個點的某面投影重合時，則對該投影投影重合時，則對該投影面的投影坐標(biāo)值大者為可面的投影坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。見，小者為不可見。例：已知點D 的三面投影，點C在點D的正前方15mm，求作點C的

10、三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XD ZC=ZD YC-YD=15mm點C、D在V面上的投影重影。c cc又YC YDC的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。YH dOXYWZdd( )YWZVHXOAaaaBbbVHWXYZbBAbbaaaWVHXYOZABabab(b)aXYWYHZaabbcccab1、點A在V面上，故 YA=02、點B在X軸上，故ZB= YB =03、點C在原點上，故 Zc= Yc = Xc =0XYWOYHZaabbabXYWOYHZaabba （b）點A在點B的上方（ZAZB)點A在點B的右方（XAXB)點A在點B的前方（YAYB)點

11、A在點B的正前方(XA=XBZA=ZB, YAYB )點A和點B稱為V面上的重影點。2-3 直線的投影直線的投影一、直線的投影：一、直線的投影： 直線的投影一般為直線，可由直線上兩點的同面投影連線確定。例：已知直線AB端點坐標(biāo)為 A（20，15，5）, B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaaabbb二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性1、一般位置直線、一般位置直線YWOXYHZaaabbb直線的三面投影長度均小于實長，三面投影均傾斜于投影軸，但不反映空間直線對投影面傾角的大小。VHWXYZABababab2、投影面平行線、投影面平行線OXYHYWZaaabbb1

12、）、水平線：平行于H面，對V、W面傾斜水平投影ab=AB正面投影abOX，側(cè)面投影abOYwab與OX、OYH的夾角、等于AB對V、W面的傾角。VHWXYZbAbbaaaB2）、正平線：平行于V，對H、W傾斜O(jiān)XYHYWZcdcdcd正面投影cd=CD水平投影cdOX側(cè)面投影cdOZcd與OX、OZ的夾角、等于CD對H、W面的傾角。YWZVHXcDdcdcd3）、側(cè)平線：平行于W面，對V、H面傾斜側(cè)面投影ef=EF水平投影efOYH，正面投影efOZ。ef與OYW、OZ的夾角、等于EF對V、H面的傾角。OXYHYWZefef efWVHXYOZFEfefeef1、ab=AB=實長2、abOX軸

13、 , a b OZ軸3、=0、反映實際大小 1、ab=AB=實長2、 ab OX軸 , a b OYW軸3、 =0 、反映實際大小 YWZVHXaABbabab正平線正平線VHWXYZbAbbaaaB水平線水平線XYWYHZaabbabOXYWOYHZaabbabWVHXYOZABababba側(cè)平線側(cè)平線XYWOYHZaabbab1、 a b =AB=實長2、 ab OZ軸 , ab OYH軸3、 =0 、 反映實際大小 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性1、直線在所平行的投影面上的投影反映直、直線在所平行的投影面上的投影反映直線的實際長度。線的實際長度。2、直線在另外兩個投影面上的

14、投影平行于、直線在另外兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的軸（所平行投影面相應(yīng)的軸（所平行投影面上的坐標(biāo)軸）。3、投影面垂直線、投影面垂直線1）、鉛垂線：直線H面，V、W面。OXYHYWZa（b）abab水平投影積聚為一點。ab=ab=ABab OX， ab OYW2）、正垂線：直線V面，H、W面。OXYHYWZcdc (d)cd正面投影積聚為一點。cd=cd=CD cdOX， cdOZ3）、側(cè)垂線：直線W面，H、V面。OXYHYWZefef e （f ）側(cè)面投影積聚為一點。ef=ef =EFefOYH，efOZ。1、V面投影積聚為一點。2、 a b =ab=AB=實長3、abOX軸 , a b O

15、Z 軸 =90、=0XYWYHZaabbOab( )VHWXYZAbbaaB鉛垂線鉛垂線a(b)1、H面投影積聚為一點。2、 a b = ab =AB=實長3、 ab OX軸 , a b OY W 軸 =90 、=0 XYWOYHZababa(b)XYWOYHZababa(b)WVHXYZABabba側(cè)垂線側(cè)垂線a(b)1、w面投影積聚為一點。2、 ab =ab=AB=實長3、abOYH軸 , ab OZ 軸 =90、 =0YWZVHXaABbab正垂線正垂線ABab( )投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性1、直線在所垂直的投影面上的投影積聚為、直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點

16、。一點。2、直線在另外兩個投影面上的投影垂直于、直線在另外兩個投影面上的投影垂直于相應(yīng)的軸（所垂直投影面上的坐標(biāo)軸），且相應(yīng)的軸（所垂直投影面上的坐標(biāo)軸），且反映實際長度。反映實際長度。三、直線上的點三、直線上的點1、從屬性、從屬性： 點在直線上，點的各面投影必定在該直線的點的各面投影必定在該直線的同面投影上；同面投影上；反之，點的各面投影均在直線的同面投影上，則該 點必在此直線上。點必在此直線上。OXYHYWZaaabbbkkk2、定比性：、定比性： 直線上的點分割直線之比，在投影后保持不變。OXYHYWZaaabbbkkk即：AK: KB=ak: kb=ak: kb=ak: kb例1、試在

17、直線AB上取一點C，使AC:CB=1:2，求作C點。解：分點C的投影必在AB的同面投影上。 且 ac:cb =ac: cb =1:2OXabab123cc例2、已知直線CD及點M的兩面投影，判斷 M是否在CD上。解1、OXcdcdmm作側(cè)平線CD和點M的側(cè)面投影，由作圖知點M的側(cè)面投影不在cd上，所以M不在CD上。cdmzYHYW解2、在H面作任一直線cE，使cE=cd。并截取cM1=cmEM1連dE，過M1作dE的平行線與cd交于m1mOXcdcdmm1因為m1與m不重合，所以M不在CD上。四、兩直線相對位置四、兩直線相對位置 空間兩直線的相對位置分為 平行平行、相交相交、交叉交叉 1、平行

18、兩直線、平行兩直線：投影特性：投影特性：空間兩直線相互平行，它們的各組同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定平行。平行的兩直線是共面的直線。2、相交兩直線、相交兩直線ab cdABCDKkK是兩直線的共有點，K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。相交的兩直線是共面的直線。OXZYHYWabcdkabcdkabcdk3、交叉兩直線、交叉兩直線 在空間即不平行也不相交的兩直線為交叉兩直交叉兩直線線。 同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。如圖示aabbccddAB兩面投影的交點連線不OX軸，為交叉兩

19、直線。交叉的兩直線是異面的直線。aabbccdd 投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應(yīng)點投影的重影點。對重影點應(yīng)區(qū)分其可見性，即根據(jù)重影點對同一投影面的坐標(biāo)值大小來判斷坐標(biāo)值大者為可見點，小者為不可見點。11223344( )( )例1、判斷兩直線的相對位置OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccdd交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩直線。ab與cd在一直線上，而abcd，兩直線平行。CD為側(cè)平線，利用點分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。Emk例2、過C點作水平線CD與AB相交。dd先作CD的正面投影kkaabbcc例3

20、、已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水 平投影m，試作一直線MNCD并與直線AB相交于N點。aabbccddmOXnnm作圖：過m作mncd，并與ab交于n；由n求出n；過n作nmcd，求得m。點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。點分割直線成定比定比定理。 小小 結(jié)結(jié)2-4 2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點。aabbccaabbcc一直線和線外一點。ccaabb相交兩直線。bbaaccdd平行兩直線。bbaacc任意平面形。二、各種位置平面的投影二、各種位置平面的

21、投影鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫?側(cè)平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面對三個投影面都傾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面、投影面垂直面 垂直于某一個投影面，而傾斜于其余兩個投影面的平面為投影面垂直面。 垂直的投影面上投影有積聚性其余兩投影面的投影為類似形OXZYHYWaaabbbccc1、V面投影積聚成一條直線，且反映、的真實大小。 =902、H、W投影均為原平面的類似形YWZVHXaABbab正垂面正垂面CDcda(d)b(c)cd1、H面投影積聚成一條直線，且反映 、的真實大小。 =902、V、W投影均為原平面的類似形XYWYHZaabbOcdca(d)

22、b(c)dVHWXYZAbbaa(c)aB鉛垂面鉛垂面b(d)CDcdYWXOYHZa(c)ababcdcdb(d)WVHXYZABabba側(cè)垂面?zhèn)却姑鎑CDccda(c)b(d)1、W面投影積聚成一條直線，且反映 、 的真實大小。 =902、V、H投影均為原平面的類似形XYWOYHZababcdcdb(d)a(c) 投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影積聚積聚 為直線； 其余兩投影面仍為原形的類似形， 但比實形小； 平面具有積聚性的投影與投影軸的 夾 角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。2、投影面平行面、投影面平行面 平行于某一個投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直

23、于其余兩個投影面。OXZYHYWaaabbbccc在所平行的投影面上的投影反映實形積聚為直線，并平行于相應(yīng)的投影軸 V面投影反映實形，H、 W投影積聚成一條直線，且分別平行與OX軸、OZ軸YWXYWYHZab(c)bOabca(c)VHWXYZAbaaB水平面水平面bCca(c)db(c)cb(c)XOYHZabadba(c) H面投影反映實形，V、 W投影積聚成一條直線，且分別平行與OYW軸、OX軸YWZVHXABbab(c)正平面正平面Cdabcda(c)Cca(c)WVHXYZABab側(cè)平面?zhèn)绕矫鍯abb(c)cXYWOYHZabbab(c)a(c)c W面投影反映實形，V、 H投影積聚

24、成一條直線，且分別平行與OYH軸、OZ軸投投 影影 特特 性性 平面在所平行平行的投影面上的投影反映 實形實形； 其余兩投影積聚為直線積聚為直線，并分別平 行于相應(yīng)的投影軸。3、一般位置平面、一般位置平面 對三個投影面都傾斜的平面。其特性為：其特性為： 1、它的各面投影均不反映實形，也不具有積聚性。 2、不直接反映該平面與投影面的傾角。OXYWYHZaaabbbccc三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線1、平面上的點和直線、平面上的點和直線 定理一定理一： 若點在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直線上。 定理二定理二：若一直線過平面內(nèi)的一點，且平行于該 平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。 定理

25、三定理三：若直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。例1、已知ABC平面內(nèi)點K的V面投影k，求作K的H面投影。解1OXaabbccOXaabbcc解2ddkkkmmk例2、已知四邊形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H 面投影。解1OXaabbccddeeOXaabbccd解2eed2、平面上的投影面平行線、平面上的投影面平行線 凡在平面上且平行于某一投影面平行于某一投影面的直線，稱為平面上的投影面平行線。 平面內(nèi)的水平線直線在平面內(nèi)，又平行于水平面的直線。 平面內(nèi)的正平線直線在平面內(nèi)，又平行于正面的直線。 平面內(nèi)的側(cè)平線直線在平面內(nèi)，又平行于側(cè)面的直線。 例3、作ABC平面內(nèi)的

26、正平線，它距V面為8mm。OXaabbcc因為正平線的水平投影平行于OX，先作34OX，使其距V面8mm，再求出34。34834 例4、在ABC內(nèi)取一點K，使點K距V面8mm，距H 面12mm。OXaabbcc解：12812213344kk四、特殊位置圓的投影四、特殊位置圓的投影1、與投影面平行的圓、與投影面平行的圓 當(dāng)圓平行于某一投影面時，圓在該投影面上的投影仍為圓，其余兩投影積聚為直線，其長度等于圓的直徑，且平行于相應(yīng)的投影軸。OXYHYWZ2、與投影面垂直的圓、與投影面垂直的圓 當(dāng)圓與投影面垂直時，圓在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線，其余兩投影為橢圓。XOaabbccdd2-5 直線

27、與平面、平面與平面直線與平面、平面與平面 之間的相對位置之間的相對位置一、一、 直線與平面、平面與平面平行直線與平面、平面與平面平行 1、 直線與平面平行直線與平面平行定理定理：直線平行于平面上的某一條直線。直線平行于平面上的某一條直線。 即：如果直線平行于平面，則直線的各面投影必與平面上一直線的同面投影平行。例1、過點M作直線MN平行于平面ABC。解：aabbccmm有多少解？nn無數(shù)解例2、過點M作直線MN平行于V面和ABC。解：正平線abcmmabc ABC為正垂面，直線MN的正面投影mn必定平行于abc。又MN為正平線，mn平行于OX軸。nn有唯一解有多少解？ 當(dāng)直線與垂直于投影面的平

28、面平行時，在平面垂直的投影面上，直線的投影平行平行于平面有積聚性的同面投影。2、平面與平面平行、平面與平面平行幾何條件幾何條件：1）、若一個平面上平面上的兩相交直線的兩相交直線分別平行于另一平面上平行于另一平面上的兩相交直線，的兩相交直線，則兩平面相互平行。2）、若兩投影面垂直垂直面相互平行面相互平行，則它們具有積聚性的那組投具有積聚性的那組投影影必相互平行。caabbcddeeff gg例3、過點K作平面平行于ABC解：aabbcckk分析：按幾何條件，只要過點K作兩相交直線KL、KH對應(yīng)地平行于已知平面的一對相交直線，此平面即為所求。作圖：KLAB， KHBC。llhh例4、判別如圖所示的

29、兩平面是否平行。解：112(2)334(4)aabbcc因兩平面均為鉛垂面，在H面的投影互相平行，所以兩平面平行。二、直線與平面、平面與平面相交二、直線與平面、平面與平面相交1、直線與平面相交、直線與平面相交 交點是直線與平面的共有點。交點是直線與平面的共有點。討論：（1）求直線與平面的交點； （2）判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。 只討論平面與直線中至少有一個處于特殊位置的情況。1）、一般位置直線與特殊位置平面相交例1、求直線AB與鉛垂面DEF的交點K，并判別可見性。分析：因DEF的水平投影def有積聚性，交點K是DEF內(nèi)的點，它必在def上，又因K是AB上的點，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k。aab