差分方程初步

1、一、差分方程簡介一、差分方程簡介以以t 表示時間，規(guī)表示時間，規(guī) 定定t只取非負整數(shù)。只取非負整數(shù)。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。 記記yt 為變量為變量y在時刻在時刻t 時的取值，則時的取值，則稱稱 為為yt 的的一階差分一階差分，稱，稱 為的為的二階差分二階差分。類似地，可以定義。類似地，可以定義yt的的n階差分。階差分。由由t、yt及及yt的差分給出的方程稱的差分給出的方程稱 為為yt差分方程，其中含的最差分方程，其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階階。差分方程也可以寫成。差分方程也可以寫成不顯含差分的

2、形式。例如，二階差分方程不顯含差分的形式。例如，二階差分方程 也可改寫成也可改寫成 tttyyy 1tttttttyyyyyyy 12122)(02 tttyyy012 tttyyy滿足一差分方程的序滿足一差分方程的序 列列yt稱為此差分方程的解。類似于微分稱為此差分方程的解。類似于微分方程情況，若解中含有的獨立常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階方程情況，若解中含有的獨立常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)時，稱此解為該差分方程數(shù)時，稱此解為該差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常數(shù)，。若解中不含任意常數(shù)，則稱此解為滿足某些初值條件的則稱此解為滿足某些初值條件的 特解特解，例如，考察兩階差，例如，考察兩階差

3、分方程分方程 02 ttyy易見易見2sintyt 與與2costyt 均是它的特解，而均是它的特解，而 tctcyt2sin2sin21 則為它的通解，其則為它的通解，其 中中c1，c2為兩個任為兩個任 意常數(shù)。類似于微分方程，稱差分方程意常數(shù)。類似于微分方程，稱差分方程 )()()()(110tbytaytaytatnntnt 為為n階線性差分方程，階線性差分方程， 當當 0時稱其為時稱其為n階非齊次線性差階非齊次線性差分方程，而分方程，而 )(tb0)()()(110 tnntntytaytayta則被稱為方程對應的則被稱為方程對應的 齊次線性差分方程齊次線性差分方程 。若所有的若所有的

4、 ai(t)均為與均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為無關(guān)的常數(shù)，則稱其為 常系數(shù)差分常系數(shù)差分方程方程，即，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成階常系數(shù)線性差分方程可分成)(110tbyayayatntntn （4.15） 的形式，其對應的齊次方程為的形式，其對應的齊次方程為0110 tntntnyayaya（4.16） )2(2)1(1tttycycy )1(ty)2(ty容易證明，若序列容易證明，若序列與與均為方程（均為方程（4.16）的解，則）的解，則也是方程（也是方程（4.16）的解，其）的解，其 中中c1、c2為任意常數(shù)，這說明，為任意常數(shù)，這說明，齊次方程的解構(gòu)成一個齊次方程的解構(gòu)成一個 線性

5、空間線性空間（解空間）。（解空間）。 此規(guī)律對于（此規(guī)律對于（4.15）也成立。）也成立。 方程（方程（4.15）可用如下的代數(shù)方法求其通解：）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一步一）先求解對應的特征方程）先求解對應的特征方程 0110 tnnnyaaa （4.17） （步二步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方 程程(4.16)的通解的通解 情況情況1 若特征方程（若特征方程（4.17）有）有n個互不相同的實根個互不相同的實根1 , n ，則齊次方程（，則齊次方程（4.16）的通解為）的通解為tnntCC 11 (C1,Cn為任意常數(shù)為任意常數(shù))，iC情況情況2

6、 若若 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的k重根，通解中對應重根，通解中對應 于于的項為的項為tkktCC )(11 為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，i=1,k。情況情況3 若特征方程（若特征方程（4.17）有單重復根）有單重復根 ia 通解中對應它們的項為通解中對應它們的項為 tttt sinCcosC21 22 為為的模，的模， arctan 為為的幅角。的幅角。 情況情況4 若若ia 為特征方程（為特征方程（4.17）的）的k重復根，則通重復根，則通 解對應于它們的項為解對應于它們的項為tttttktk sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，i=1,2k

7、。 ty .若若yt為方程為方程(4.16)的通解的通解,則非齊次方程則非齊次方程 (4.15)的通解為的通解為（步三步三） 求非齊次方程求非齊次方程 (4.15)的一個特解的一個特解ttyy 求非齊次方程（求非齊次方程（4.15）的特解一）的特解一般要用到般要用到 常數(shù)變易法常數(shù)變易法，計算較繁。，計算較繁。對特殊形式對特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系數(shù)法系數(shù)法。 例例4.13 求解兩階差分方程求解兩階差分方程tyytt 2解解 對應齊次方程的特征方程為對應齊次方程的特征方程為012 ，其特征根為，其特征根為i 2, 1 ，對應齊次方程的通解為，對應齊次方程的通解為 tCt

8、Cyt2sin2cos21 原方程有形如原方程有形如bat 的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得21 a，21 b，故原方程的通解為，故原方程的通解為21212sin2cos21 ttCtC 在應用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在應用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在給定初值后，通常可用在給定初值后，通?？捎?計算機迭代計算機迭代求解，但我們常常需要求解，但我們常常需要討論解的穩(wěn)定性。對討論解的穩(wěn)定性。對 差分方程差分方程(4.15),若不論其對應齊次方程若不論其對應齊次方程的通解中任意常的通解中任意常 數(shù)數(shù)C1,Cn如何取值如何取值 , 在在 時總時總有

9、有 ,則稱方程則稱方程 (7.14)的解是穩(wěn)定的解是穩(wěn)定 的的,否則稱其解為不否則稱其解為不穩(wěn)定穩(wěn)定 的的.根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)不難看出根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)不難看出 ,非齊次方程非齊次方程(4.15)穩(wěn)定的穩(wěn)定的充要條件為其所有特征根的模均小充要條件為其所有特征根的模均小 于于1。 t0ty例例4.14（市場經(jīng)濟的蛛網(wǎng)模市場經(jīng)濟的蛛網(wǎng)模 型型）在自由競爭的市場經(jīng)濟中，商品的價格是由市場上該在自由競爭的市場經(jīng)濟中，商品的價格是由市場上該商品的供應量決定的，供應量越大，價格就越低。另商品的供應量決定的，供應量越大，價格就越低。另一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價格一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該

10、商品的價格決定的，價格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導致決定的，價格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導致商品生產(chǎn)量的增加。反之，價格降低會影響生產(chǎn)者的商品生產(chǎn)量的增加。反之，價格降低會影響生產(chǎn)者的積極性，導致商品生產(chǎn)量的下降。積極性，導致商品生產(chǎn)量的下降。在市場經(jīng)濟中，對每一商品事實上存在著兩個不同的在市場經(jīng)濟中，對每一商品事實上存在著兩個不同的函數(shù)：函數(shù)：（1）供應函數(shù)）供應函數(shù)x=f(P)，它是價格它是價格P的單增函數(shù)，其曲的單增函數(shù)，其曲線稱為供應曲線。線稱為供應曲線。（2）需求函數(shù)）需求函數(shù)x=g(P)，它是價格它是價格P的單降函數(shù)，其的單降函數(shù)，其曲線稱為需求曲線，供應曲線與需求曲線的

11、曲線稱為需求曲線，供應曲線與需求曲線的 形狀如圖所示。形狀如圖所示。記記t時段初市場上的供應量時段初市場上的供應量 (即上即上 一時段的生產(chǎn)一時段的生產(chǎn) 量量)為為xt ，市場上，市場上該商品的價格該商品的價格 為為Pt 。商品成交的。商品成交的價格是由需求曲線決定的，價格是由需求曲線決定的， 即即)(1ttxgP 隨著隨著 t ,Mt將趨于平衡點將趨于平衡點M*,即商品量將趨于平衡即商品量將趨于平衡 量量x*,價格價格將趨于平衡價將趨于平衡價 格格P*。圖中的箭線圖中的箭線反映了在市場經(jīng)濟下該商品的供反映了在市場經(jīng)濟下該商品的供應量與價格的發(fā)展趨勢。應量與價格的發(fā)展趨勢。xoPP0P2P*P

12、1xx1x2x0 x*需求曲線需求曲線供應曲線供應曲線M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供應曲線和需求曲但是，如果供應曲線和需求曲線呈圖線呈圖中的形狀，則平衡點中的形狀，則平衡點M*是不穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的，Mt將越來越遠將越來越遠離平衡點。離平衡點。圖圖和圖和圖的區(qū)別在哪里，的區(qū)別在哪里，如何判定平衡點的穩(wěn)定如何判定平衡點的穩(wěn)定 性呢？性呢？ 但是，如果供應曲線和需求曲線呈但是，如果供應曲線和需求曲線呈 圖圖中的形狀，則平衡點中的形狀，則平衡點M*是不穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的，Mt將越來越遠離平衡點。即使初始時刻的供將越來越遠離平衡點。即使初始時刻的供應量和價格對應于平衡點，一點微小的波動也

13、會導致市場供應量和價格對應于平衡點，一點微小的波動也會導致市場供求出現(xiàn)越來越大的混亂。上述用圖示法分析市場經(jīng)濟穩(wěn)定性求出現(xiàn)越來越大的混亂。上述用圖示法分析市場經(jīng)濟穩(wěn)定性的討論在經(jīng)濟學中被稱為市場經(jīng)濟的的討論在經(jīng)濟學中被稱為市場經(jīng)濟的 蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型。不難看出，在不難看出，在 圖圖中平衡點中平衡點M*處供應曲線的切線斜率大于處供應曲線的切線斜率大于需求曲線切線斜率的絕對值，需求曲線切線斜率的絕對值，而在圖而在圖中情況恰好相反。中情況恰好相反。 現(xiàn)在利用差現(xiàn)在利用差 分方程方法來研究蛛網(wǎng)模型，以驗證上述猜測是分方程方法來研究蛛網(wǎng)模型，以驗證上述猜測是否正確。我們知道，平衡否正確。我們知道，平衡

14、點點M*是否穩(wěn)定取決于是否穩(wěn)定取決于 在在M*附近供、附近供、需曲線的局部性態(tài)。為此，需曲線的局部性態(tài)。為此， 用用M*處供、需曲線的線性近似處供、需曲線的線性近似來代替它們，并討論此線性近似模型來代替它們，并討論此線性近似模型 中中M*的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。設(shè)供應曲線與需求曲線的線性近似分別為設(shè)供應曲線與需求曲線的線性近似分別為 )(*xxaPP 和和)(*xxbPP 式中，式中，a、b分別為供分別為供應曲線在應曲線在M*處的切線斜率與需求曲線處的切線斜率與需求曲線 在在M*處切線斜率的絕對值。處切線斜率的絕對值。 根據(jù)市場經(jīng)濟的規(guī)律，當供應量根據(jù)市場經(jīng)濟的規(guī)律，當供應量 為為xt時，現(xiàn)時段的

15、價格時，現(xiàn)時段的價格)(*1xxbPPtt ，又對價格，又對價格1 tP，由供應曲線，由供應曲線)(*1*1xxaPPtt 解得下一時段的商品量解得下一時段的商品量 )(1)(1*1*1PxxbPaxPPaxxttt )(*xxabxt 由此導出一階差分方程：由此導出一階差分方程：*11xabxabxtt （4.18）此差分方程的解在此差分方程的解在 (b/a)b時，顧客需求對價格的敏感度較小（小于生時，顧客需求對價格的敏感度較?。ㄐ∮谏a(chǎn)者的敏感程度），商品供應量和價格會自行調(diào)節(jié)而逐步趨產(chǎn)者的敏感程度），商品供應量和價格會自行調(diào)節(jié)而逐步趨于穩(wěn)定；反之，于穩(wěn)定；反之， 若若ab（商品緊缺易引起

16、顧客搶購），該商（商品緊缺易引起顧客搶購），該商品供售市場易造成混亂品供售市場易造成混亂 .如果生產(chǎn)者對市場經(jīng)濟的蛛網(wǎng)模型有所了解，為了減少因價如果生產(chǎn)者對市場經(jīng)濟的蛛網(wǎng)模型有所了解，為了減少因價格波動而造成的經(jīng)濟損失，他應當提高自己的經(jīng)營水平，不格波動而造成的經(jīng)濟損失，他應當提高自己的經(jīng)營水平，不應當僅根據(jù)上一周期的價格來決定現(xiàn)階段的生產(chǎn)量。例如可應當僅根據(jù)上一周期的價格來決定現(xiàn)階段的生產(chǎn)量。例如可以根據(jù)本時段與前一時段價格的平均值來確定生產(chǎn)量。此時，以根據(jù)本時段與前一時段價格的平均值來確定生產(chǎn)量。此時，若若t 時段的商品量為時段的商品量為 xt 時，仍有時，仍有 （4.21）將（將（4.1

17、9）式、（）式、（4.21）式代入（）式代入（4.20）式，整理得）式，整理得)(*1xxbPPtt （4.19）但但t+1時段的商品量則不再為時段的商品量則不再為)(1*1*1PPaxxtt 而被修正為而被修正為)2(1*1*1PPPaxxttt （4.20）由（由（4.19）式得）式得)(*1*xxbPPtt *11)1(2xabxabxabxttt （4.22）（4.22）式是一個常系數(shù)二階線性差分方程，特征方程為）式是一個常系數(shù)二階線性差分方程，特征方程為022 abab 其特征根為其特征根為482ababab 記記abr 。若。若082 rr，則，則 24,max221 r 此時差分

18、方程（此時差分方程（4.22）是不穩(wěn)定的。）是不穩(wěn)定的。 ，若若082 rr，此時特征根，此時特征根2, 1 為一對共軛復數(shù)，為一對共軛復數(shù)，)8(4122, 1irrr 22, 1r 。 由線性差分方程穩(wěn)定的條件，由線性差分方程穩(wěn)定的條件， 當當r2即即b2a時（時（4.22）式）式是穩(wěn)定的，從是穩(wěn)定的，從 而而M*是穩(wěn)定的平衡點。是穩(wěn)定的平衡點。 不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)者管理方式的不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)者管理方式的這一更動不僅使自己減少了因這一更動不僅使自己減少了因價格波動而帶來的損失，而且價格波動而帶來的損失，而且大大消除了市場的不穩(wěn)定性。大大消除了市場的不穩(wěn)定性。生產(chǎn)者在采取上述方式來確定生產(chǎn)者在采取

19、上述方式來確定各時段的生產(chǎn)量后，如發(fā)現(xiàn)市各時段的生產(chǎn)量后，如發(fā)現(xiàn)市場仍不穩(wěn)定（場仍不穩(wěn)定（b2a），可按類），可按類似方法試圖再改變確定生產(chǎn)量似方法試圖再改變確定生產(chǎn)量的方式，此時可得到更高階的的方式，此時可得到更高階的差分方程。對這些方程穩(wěn)定性差分方程。對這些方程穩(wěn)定性條件的研究很可能會導出進一條件的研究很可能會導出進一步穩(wěn)定市場經(jīng)濟的新措施。步穩(wěn)定市場經(jīng)濟的新措施。例例4.15 國民經(jīng)濟的穩(wěn)定性國民經(jīng)濟的穩(wěn)定性 國民收入的主要來源是生產(chǎn)，國民收入的開支主要用于消費國民收入的主要來源是生產(chǎn)，國民收入的開支主要用于消費資金、投入再生產(chǎn)的積累資金及政府用于公共設(shè)施的開支。資金、投入再生產(chǎn)的積累資

20、金及政府用于公共設(shè)施的開支?，F(xiàn)在我們用差分方程方法建立一個簡略的模型，粗略地分析現(xiàn)在我們用差分方程方法建立一個簡略的模型，粗略地分析一下國民經(jīng)濟的穩(wěn)定性問題。一下國民經(jīng)濟的穩(wěn)定性問題。 再生產(chǎn)的投資水再生產(chǎn)的投資水 平平It取決于消費水平的變化量，設(shè)取決于消費水平的變化量，設(shè)0),(1 bCCbIttt政府用于公共設(shè)施的開支在一個不太大的時期內(nèi)變動不大，設(shè)政府用于公共設(shè)施的開支在一個不太大的時期內(nèi)變動不大，設(shè)為常數(shù)為常數(shù)G。故由。故由GICyttt 可得出可得出GCCbayytttt )(11。將。將1 ttayC及及21 ttayC代入代入10 ,1 aayCtt。 記記yt為第為第t周期的

21、國民收入，周期的國民收入，Ct為第為第t周期的消費資金。周期的消費資金。Ct的值決的值決定于前一周期的國民收入，設(shè)定于前一周期的國民收入，設(shè)10 ,1 aayCttGabyybayttt 21)1( （4.23）（4.23）式是一個二階常系數(shù)差分方程，其特征方程為）式是一個二階常系數(shù)差分方程，其特征方程為0)1(2 abba ，相應特征根為，相應特征根為1)1(4122 abba （4.24）成立時才是穩(wěn)定的。成立時才是穩(wěn)定的。 （4.24）式可用于預報經(jīng)濟發(fā)展趨勢。）式可用于預報經(jīng)濟發(fā)展趨勢?，F(xiàn)用待定系數(shù)法求方程現(xiàn)用待定系數(shù)法求方程 （4.23）的一個特解）的一個特解ty。令。令Cyt 代入

22、（代入（4.23）式，得）式，得aGC 1故當（故當（4.24）式成立時，差分方程）式成立時，差分方程 （4.23）的通解為）的通解為aGtCtCytt 1)sincos(21 其中其中為為2, 1 的模，的模，為其幅角。為其幅角。例如，若取例如，若取41 a，21 b 易見，此時關(guān)系式易見，此時關(guān)系式 （4.12）成立，又若）成立，又若 取取y0=1600，y1=1700， G=550，則由迭代公式，則由迭代公式Gabyybayttt 21)1(550838921 ttyy求得求得 y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2,

23、y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,。 易見易見22001 aGyt例例4.16 商品銷售量預測商品銷售量預測 (實例實例)某商品前某商品前5年的銷售量見表年的銷售量見表 ?，F(xiàn)希望根據(jù)?，F(xiàn)希望根據(jù) 前前5年的統(tǒng)年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)預測計數(shù)據(jù)預測 第第6年起該商品在各季度中的銷售量。年起該商品在各季度中的銷售量。 從表中可以看出，該商品在從表中可以看出，該商品在 前前5年相同季節(jié)里的銷售量呈增年相同季節(jié)里的銷售量呈增長趨勢，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量長趨勢，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量最小而第三季度的銷售量最大。預測該商品以后的銷售情況，

24、最小而第三季度的銷售量最大。預測該商品以后的銷售情況，一種辦法是應一種辦法是應 用用最小二乘法最小二乘法建立經(jīng)驗模型。即根據(jù)本例中數(shù)建立經(jīng)驗模型。即根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特征，可以按季度建立四個經(jīng)驗公式，分別用來預測以據(jù)的特征，可以按季度建立四個經(jīng)驗公式，分別用來預測以后各年同一季度的銷售量。例如，如認為第一季度的銷售量后各年同一季度的銷售量。例如，如認為第一季度的銷售量大體按線性增長，可設(shè)銷售量大體按線性增長，可設(shè)銷售量 batyt )1(由由2515125151515151 tttttttttyttya15253217152430151320271512182614111625121234第五年

25、第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年銷售量銷售量季度季度 年份年份 515151,51 tttttyytayb 求得求得 a=1.3， b=9.5。根據(jù)根據(jù) 預測第六年起第一季度的銷售量預測第六年起第一季度的銷售量 為為 =17.3， =18.6，如認為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或前幾年同期銷如認為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應的差分方程模型。仍以售量的一定比例增長的，則可建立相應的差分方程模型。仍以第一季度為例，為簡便起見不再引入上標，以表示第一季度為例，為簡便起見不再引入上標，以表示 第第t年第一年第一節(jié)季度的銷

26、售量，建立形式如下的差分方程：節(jié)季度的銷售量，建立形式如下的差分方程：5 .93 .1)1( tyt)1(6y)1(7y110 ttyaay或或22110 tttyayaay等等。等等。上述差分方程中的系數(shù)不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合上述差分方程中的系數(shù)不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。以建立理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。以建立二階差分方程二階差分方程 22110 tttyayaay為例，為選取為例，為選取a0,a1,a2使使2211053)( ttttyyaay最小，解線性方程組：最小，解線性方程組： 532253211

27、5321053253125321153210531532532153103ttttttttttttttttttttttttttyyayayyayyyayyayayyayaya即求解即求解 53143448336591483538404436403210210210aaaaaaaaa得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二階差分方程為。即所求二階差分方程為2138 tttyyy 雖然這一差分方程恰好使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，但這只是一個雖然這一差分方程恰好使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，但這只是一個巧合。根據(jù)這一方程，可迭代求出以后各年第一季度銷售量巧合。根據(jù)這一方程，可迭代求出以后各年第一季度銷售量的預測

28、值的預測值 y6=21，y7=19，等。等。上述為預測各年第一季度銷售量而建立的二階差分方程，雖上述為預測各年第一季度銷售量而建立的二階差分方程，雖然其系數(shù)與前然其系數(shù)與前 5年第一季度的統(tǒng)計數(shù)據(jù)完全吻合，但用于預測年第一季度的統(tǒng)計數(shù)據(jù)完全吻合，但用于預測時預測值與事實不符。憑直覺，第六年估計值明顯偏高，第時預測值與事實不符。憑直覺，第六年估計值明顯偏高，第七年銷售量預測值甚至小于第六年。稍作分析，不難看出，七年銷售量預測值甚至小于第六年。稍作分析，不難看出，如分別對每一季度建立一差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出如分別對每一季度建立一差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會相差甚大，但對同一種

29、商品，這種的系數(shù)可能會相差甚大，但對同一種商品，這種 差異差異 應當應當是微小的，故應根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個共用于各個季度的差是微小的，故應根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個共用于各個季度的差分方程。分方程。 為此，將季度編號為此，將季度編號 為為t=1,2,20，令，令410 ttyaay或或82410 tttyayaay 等，利用全體數(shù)等，利用全體數(shù) 據(jù)來擬合，求擬合得最好的系數(shù)。以二階差分方程為例，為據(jù)來擬合，求擬合得最好的系數(shù)。以二階差分方程為例，為 求求a0、a1、a2使得使得 282410209210)(),( ttttyayaayaaaf最小最小求解線性方程組求解線性方程組 2098220928

30、120948020982094220984120924020942092209812094012ttttttttttttttttttttttttttyyayayyayyyayyayayyayaya即求解三元一次方程組即求解三元一次方程組 47474009437620951934376478922924920922912210210210aaaaaaaaa解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二階差分方程故求得二階差分方程841941. 08737. 06937. 0 tttyyy（t21） 根據(jù)此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度銷售量的預根據(jù)此式迭代，可

31、求得第六年和第七年第一季度銷售量的預測值為測值為y21=17.58，y25=19.16還是較為可信的。還是較為可信的。例例4.16 人口問題的差分方程模型人口問題的差分方程模型 在在3.2中，我們已經(jīng)討論了人口問題的兩個常微分方程模中，我們已經(jīng)討論了人口問題的兩個常微分方程模型型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又稱（又稱Logistic模型）。模型）。前者可用于人口增長的短期預測，后者在作中、長期預測時前者可用于人口增長的短期預測，后者在作中、長期預測時 效果較好。效果較好。1、離散時間離散時間 的的Logistic模型模型在研究人口或種群數(shù)量的實際增長情況時，有時采用離散化在研究人口或種群數(shù)量的實際增長情況時，有時采用離散化的時間變量更為方便。例如，有些種群具有相對較為固定的的時間變量更為方便。例如，有些種群具有相對較為固定的繁殖期，按時段統(tǒng)計種群數(shù)量更接近種群的實際增長方式。繁殖期，按時段統(tǒng)計種群數(shù)量更接近種群的實際增長方式。人口增長雖無這種特征，但人口普查不可能連續(xù)統(tǒng)計，任何人口增長雖無這種特征，但人口普查不可能連續(xù)統(tǒng)計，任何方式的普查都只能得到一些離散時刻的人口總量（指較大范方式的普查都只能得到一些離散時