彈性力學圣維南邊界條件1

1、q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)平面問題平面問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.7 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用彈性力學問題的求解是在

2、給定的邊界條件下求解三套基彈性力學問題的求解是在給定的邊界條件下求解三套基本方程。彈性力學的解必然要求物體表面的外力或者位移本方程。彈性力學的解必然要求物體表面的外力或者位移滿足邊界條件。滿足邊界條件。對于工程實際問題，構(gòu)件表面面力或者位對于工程實際問題，構(gòu)件表面面力或者位移是很難完全滿足這個要求。這使得彈性力學解的應(yīng)用將移是很難完全滿足這個要求。這使得彈性力學解的應(yīng)用將受到極大的限制。為了擴大彈性力學解的適用范圍，放寬受到極大的限制。為了擴大彈性力學解的適用范圍，放寬這種限制，圣維南提出了局部影響原理。這種限制，圣維南提出了局部影響原理。 圣維南原理主要內(nèi)容：圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體如

3、果把物體表面一小部分邊界上表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界失量相同，對同一點的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。其影響可以忽略不計。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用1 1、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：主失量相主失量相同，對同一點的主矩也相同同，對同一點的主矩也相同2 2、只能在局部邊界上（小邊界）進行

4、靜力等效變換。、只能在局部邊界上（小邊界）進行靜力等效變換。3 3、根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效、根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的作用區(qū)域附近。離此區(qū)域較遠處，幾乎不受影響。作用區(qū)域附近。離此區(qū)域較遠處，幾乎不受影響。應(yīng)用圣維南原理時必須注意：應(yīng)用圣維南原理時必須注意：圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用例例2.7.1：用一個鉗子夾住鐵桿，鉗子對鐵桿的作用相當于用一個鉗子夾住鐵桿，鉗子對鐵桿的作用相當于一組平衡力系。實驗證明，無論作用力多大，在距離力的作用一組平衡力系。實驗證明，

5、無論作用力多大，在距離力的作用區(qū)域比較遠處，幾乎沒有應(yīng)力產(chǎn)生。區(qū)域比較遠處，幾乎沒有應(yīng)力產(chǎn)生。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用例例2.7.2：以矩形薄板受單向拉伸力作用為例分析以矩形薄板受單向拉伸力作用為例分析圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用通過圣維南原理的使用，可以將一些難以處理的邊界條通過圣維南原理的使用，可以將一些難以處理的邊界條件轉(zhuǎn)化為基本方程所能夠滿足的邊界條件，使得彈性力學件轉(zhuǎn)化為基本方程所能夠滿足的邊界條件，使得彈性力學問題得到解答。問題得到解答。圣維南原理的推廣：圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那

6、么，這個是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不計。計。這是因為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀這是因為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用下面討論在局部邊界上具體如何應(yīng)用圣維南原理下面討論在局部邊界上具體如何應(yīng)用圣維南原理如圖所示，單位厚度的梁，其左右兩端作用有一般分如圖所示，單位厚度的梁，其左右兩端作用有一般分布的面力。試分析其邊界條件。布的面力。試分析其邊界

7、條件。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用按照嚴格的應(yīng)力邊界條件（按照嚴格的應(yīng)力邊界條件（2-152-15）式，應(yīng)力分量在左右）式，應(yīng)力分量在左右邊界上應(yīng)滿足條件：邊界上應(yīng)滿足條件：)()(),()(yfyfylxxyxlxx它要求在邊界上不同點（所有它要求在邊界上不同點（所有y y值處），應(yīng)力分量必須處值處），應(yīng)力分量必須處處與面力分量對等。這種嚴格的邊界條件是較難滿足的。處與面力分量對等。這種嚴格的邊界條件是較難滿足的。但是當?shù)钱攍h時，左右兩端邊界是小邊界，這時可應(yīng)用圣維時，左右兩端邊界是小邊界，這時可應(yīng)用圣維南原理，用如下靜力等效條件來代替上述條件：南原理，用如下靜力等效條件來代替上述條

8、件：在這一局在這一局部邊界上，使應(yīng)力的主失量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的部邊界上，使應(yīng)力的主失量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的主失量和主矩。主失量和主矩。（絕對值相等，方向相同）（絕對值相等，方向相同）圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用應(yīng)用圣維南原理后的積分邊界條件具體表達式為：應(yīng)用圣維南原理后的積分邊界條件具體表達式為：2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(1)(1)(1)(hhyhhlxxyhhxhhlxxhhxhhlxxdyyfdyydyyfydydyyfdy上式表明：上式表明： （1 1）等式左右兩邊的數(shù)值是相等的、方向是一致的。）等式左右兩邊的數(shù)值是相等的、方向是

9、一致的。 （2 2）等式左邊的符號可以按照應(yīng)力的符號規(guī)定來確定：）等式左邊的符號可以按照應(yīng)力的符號規(guī)定來確定：應(yīng)力的正方向就是應(yīng)力失量的正方向；正的應(yīng)力乘以正的應(yīng)力的正方向就是應(yīng)力失量的正方向；正的應(yīng)力乘以正的矩臂就是應(yīng)力主矩的正方向。矩臂就是應(yīng)力主矩的正方向。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用如果給出的不是面力的分布，而是單位寬度上面力的主如果給出的不是面力的分布，而是單位寬度上面力的主失量和主矩，則具體表達式為：失量和主矩，則具體表達式為：shhlxxyhhlxxNhhlxxFdyMydyFdy2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用將小邊界上的精確邊界條件

10、將小邊界上的精確邊界條件(2-15)(2-15)與近似的積分邊與近似的積分邊界條件進行比較，可以得出：界條件進行比較，可以得出：1 1、式（式（2-152-15）等號兩邊均是單位面積上的力，而積分）等號兩邊均是單位面積上的力，而積分邊界條件兩邊是力或力矩；邊界條件兩邊是力或力矩；2 2、式（式（2-152-15）是精確的，而積分邊界條件是近似的；）是精確的，而積分邊界條件是近似的；3 3、式（式（2-152-15）有兩個條件，一般為兩個函數(shù)方程，而）有兩個條件，一般為兩個函數(shù)方程，而積分邊界條件有三個積分條件，均為代數(shù)方程。積分邊界條件有三個積分條件，均為代數(shù)方程。4 4、在求解時，式（在求解

11、時，式（2-152-15）難以滿足，而積分邊界條件）難以滿足，而積分邊界條件易于滿足。當小邊界上的條件難于滿足時，便可以用積分易于滿足。當小邊界上的條件難于滿足時，便可以用積分積分邊界條件來代替。積分邊界條件來代替。平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件處理方法處理方法平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件1 1、主要邊界上的精確應(yīng)力邊界條件、主要邊界上的精確應(yīng)力邊界條件 在主要邊界上，若給定了部分邊界上面力分量，在主要邊界上，若給定了部分邊界上面力分量，則邊界上每一點的應(yīng)力與面力的關(guān)系式：則邊界上每一點的應(yīng)力與面力的關(guān)系式：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx平面

12、問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件對于上述應(yīng)力邊界條件，應(yīng)注意以下幾點：對于上述應(yīng)力邊界條件，應(yīng)注意以下幾點：1、表示表示主要邊界上主要邊界上任一點的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系，任一點的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系， 是函數(shù)方程，在邊界上每一點都應(yīng)滿足（要將邊界面是函數(shù)方程，在邊界上每一點都應(yīng)滿足（要將邊界面方程代入式中各項）；方程代入式中各項）；2、式中的面力和應(yīng)力分別應(yīng)用各自的正負號規(guī)定，外式中的面力和應(yīng)力分別應(yīng)用各自的正負號規(guī)定，外法線方向余弦法線方向余弦l 和和 m 則按三角公式確定正負號。則按三角公式確定正負號。3、對于邊界面為坐標面的情形，上式可進行簡化。對于邊界面為坐標面的情形，上式可進

13、行簡化。)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件2 2、次要邊界上的積分邊界條件（靜力等效變換）、次要邊界上的積分邊界條件（靜力等效變換） 對于次要邊界，精確的邊界條件較難滿足。對于次要邊界，精確的邊界條件較難滿足。這時可應(yīng)用這時可應(yīng)用圣維南原理，用如下靜力等效條件來代替精確的應(yīng)力邊界圣維南原理，用如下靜力等效條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件：條件：在這一局部邊界上，使應(yīng)力的主失量和主矩分別等在這一局部邊界上，使應(yīng)力的主失量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的主失量和主矩。于對應(yīng)的面力的主失量和主矩。平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件具體解題

14、時，建立具體解題時，建立次要邊界上的積分邊界條件次要邊界上的積分邊界條件的方法有三種：的方法有三種：方法一：方法一：1、在次要邊界上應(yīng)力的主失量和主矩的數(shù)值應(yīng)當?shù)取⒃诖我吔缟蠎?yīng)力的主失量和主矩的數(shù)值應(yīng)當?shù)扔谙鄳?yīng)面力的主失量和主矩的數(shù)值（絕對值）于相應(yīng)面力的主失量和主矩的數(shù)值（絕對值） 。 2、面力的主失量和主矩的方向就是應(yīng)力的主失量和、面力的主失量和主矩的方向就是應(yīng)力的主失量和主矩的方向。主矩的方向。例題例題習題習題28第二部分：第二部分：列出圖列出圖2-14所示問題的邊界條件（所示問題的邊界條件（固定邊不寫）。固定邊不寫）。0)(,)(:2)(, 0)(:222122hyxyhyyhyxy

15、hyyqhyqhy上下邊界：上下邊界：左邊界：左邊界：ShhxyhhxxyhhxxhhxxNhhxxhhxxFdyfydMydyfydyFdyfdy220220220220220220)()()()()()(例題例題例：例：如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)(:0)(,)(:000左右邊界：左右邊界：上邊界：上邊界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyy平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件方法二：方法二： 1、在坐標系的第一象限取微分單元體，根據(jù)、在坐標系

16、的第一象限取微分單元體，根據(jù)應(yīng)力正負號約定標出單元體各側(cè)面上應(yīng)力正負號約定標出單元體各側(cè)面上正的應(yīng)力正的應(yīng)力（按正面正向，負面負向）；按正面正向，負面負向）； 2、建立次要邊界積分邊界條件時，應(yīng)當使與、建立次要邊界積分邊界條件時，應(yīng)當使與邊界面對應(yīng)微分單元體側(cè)面上的應(yīng)力合成的主失邊界面對應(yīng)微分單元體側(cè)面上的應(yīng)力合成的主失（主矩）絕對值與面力主失（主矩）絕對值相等（主矩）絕對值與面力主失（主矩）絕對值相等，并且應(yīng)力分量與面力分量方向一致時取正號，并且應(yīng)力分量與面力分量方向一致時取正號，方向相反時取負號。方向相反時取負號。平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件如圖所示，單位厚度的梁，其左右兩

17、端作用有一般分布的如圖所示，單位厚度的梁，其左右兩端作用有一般分布的面力。分析其邊界條件。面力。分析其邊界條件。2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/11)(11)(11)(hhyhhlxxyhhxhhlxxhhxhhlxxdyfdyydyfydydyfdyshhlxxyhhlxxNhhlxxFdyMydyFdy2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(例題例題例：例：如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)(:0)(,)(:000左右邊界：左右邊界：上邊界：上邊界：2)(43)(23)(0000

18、00FxdFbxdxFdxbyxybyybyy平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件方法三：方法三：1、沿次要邊界面取出一個薄片（無厚度）為、沿次要邊界面取出一個薄片（無厚度）為脫離體，脫離體，在薄片內(nèi)側(cè)面標出正的應(yīng)力（按正在薄片內(nèi)側(cè)面標出正的應(yīng)力（按正面正向，負面負向）；面正向，負面負向）；2、建立薄片脫離體的平衡條件（力系和力矩、建立薄片脫離體的平衡條件（力系和力矩的平衡），即可得到積分邊界條件：的平衡），即可得到積分邊界條件：000oyxMFF例題例題例：例：如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(,

19、0)(:0)(,)(:000左右邊界：左右邊界：上邊界：上邊界：2)(043)(023)(0000000FxdFFbxdxMFdxFbyxyxbyyobyyy課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：作業(yè)：1 1、習題、習題2 28 8第一部分：列出圖第一部分：列出圖2 21313所示問題的全部邊界條件。所示問題的全部邊界條件。2 2、習題、習題2 29 9。q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物

20、理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.8 平面問題的求解方法平面問題的求解方法-位移法位移法平衡微分方程：平衡微分方程：2 2個，兩類問題完全相同個，兩類問題完全相同幾何方程：幾何方程：3 3個，兩類問題完全相同個，兩類問題完全相同物理方程：物理方程：3 3個，兩類問題不同，只需對系數(shù)作替換個，兩類問題不同，只需對系數(shù)作替換未知函數(shù)未知函數(shù)：3 3個應(yīng)力分量、個應(yīng)力分

21、量、3 3個應(yīng)變分量、個應(yīng)變分量、2 2個位移分量個位移分量 邊界條件邊界條件：8 8個方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件，而個方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件，而在邊界上則必須滿足邊界條件（應(yīng)力、位移、混合）在邊界上則必須滿足邊界條件（應(yīng)力、位移、混合）平面問題的基本方程與未知數(shù)平面問題的基本方程與未知數(shù)平面問題的求解方法平面問題的求解方法按位移求解：按位移求解：以以 2 2 個位移分量為基本未知函數(shù)，從基本方個位移分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，導出只含位移分量程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，導出只含位移分量的基本方程和邊界條件，由此解出位移分量，然后根據(jù)

22、幾何方的基本方程和邊界條件，由此解出位移分量，然后根據(jù)幾何方程和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。程和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。按應(yīng)力求解：按應(yīng)力求解：以以 3 3 個應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從基本方個應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量，導出只含應(yīng)力分量程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量，導出只含應(yīng)力分量的基本方程和邊界條件，由此解出應(yīng)力分量，然后根據(jù)物理方的基本方程和邊界條件，由此解出應(yīng)力分量，然后根據(jù)物理方程和幾何方程求應(yīng)變分量和位移分量。程和幾何方程求應(yīng)變分量和位移分量。求解方法：求解方法：未知函數(shù)及方程較多，難于求解，通常采用消未知函數(shù)及方程較多，難

23、于求解，通常采用消元法。又可分為：按位移求解和按應(yīng)力求解。元法。又可分為：按位移求解和按應(yīng)力求解。按位移求解平面問題具體過程按位移求解平面問題具體過程按位移求解：按位移求解：以以 2 個位移分量個位移分量 u 和和 v 為基本未知函數(shù)。為了消元為基本未知函數(shù)。為了消元，其它，其它 6 個未知函數(shù)須用個未知函數(shù)須用 u 和和 v 表示；表示；1 1、將應(yīng)變分量用、將應(yīng)變分量用 u 和和 v 表示表示，直接采用幾何方程：，直接采用幾何方程：2 2、為了將應(yīng)力分量用、為了將應(yīng)力分量用 u 和和 v 表示表示，將幾何方程代入用應(yīng)變表示的，將幾何方程代入用應(yīng)變表示的物理方程（以平面應(yīng)力問題為例）：物理方

24、程（以平面應(yīng)力問題為例）：xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(122式式(2-17)yuxvyvxuxyyx,式式(2-8)按位移求解平面問題按位移求解平面問題3 3、推導求位移分量的方程。將公式（、推導求位移分量的方程。將公式（2-172-17）代入平衡微分方程，）代入平衡微分方程，得到用得到用 u 和和 v 表示的平衡微分表示的平衡微分方程，即為求解位移的基本方程：方程，即為求解位移的基本方程：4 4、推導用位移表示的邊界條件。將公式（、推導用位移表示的邊界條件。將公式（2-172-17）代入應(yīng)力邊界條）代入應(yīng)力邊界條件，得到用件，得到

25、用 u 和和 v 表示的表示的應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：式式(2-18)00yxyyxyxxfxyfyx式式(2-17)式式(2-19)式式(2-17)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx此外，位移邊界條件不變：此外，位移邊界條件不變：)()(),()(ssuuss式式(2-14)按位移求解平面問題總結(jié)按位移求解平面問題總結(jié)總結(jié)起來，總結(jié)起來，平面應(yīng)力問題按位移求解的方法，就是使位移分量平面應(yīng)力問題按位移求解的方法，就是使位移分量 u 和和 v 滿足如下條件：滿足如下條件：（1 1）在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程）在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程(2-18)；（2 2）在邊界上滿足應(yīng)力邊界條

26、件）在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(2-19)或位移邊界條件或位移邊界條件(2-14)。求解出位移分量求解出位移分量 u 和和 v 后，代入幾何方程后，代入幾何方程(2-8)求應(yīng)變分量，代求應(yīng)變分量，代入方程入方程(2-17)求應(yīng)力分量。求應(yīng)力分量。將平面應(yīng)力問題各方程中的將平面應(yīng)力問題各方程中的 E 和和 作如下替換，可得平面應(yīng)變問作如下替換，可得平面應(yīng)變問題的位移法求解方程和邊界條件：題的位移法求解方程和邊界條件：112EE或者：或者： 將平面應(yīng)力問題的解答中的將平面應(yīng)力問題的解答中的E 和和 作同樣的替換，得到平面應(yīng)變問題的作同樣的替換，得到平面應(yīng)變問題的解答解答按位移求解平面問題總結(jié)按位移求解平面問題總結(jié)平面應(yīng)力問題按位移求解時，方程平面應(yīng)力問題按位移求解時，方程（2-18）、（）、（2-19）和和（2-14）是求解位移分量是求解位移分量 u 和和 v 必須滿足的條件，其中方程必須滿足的條件，其中方程（2-18）、（）、（2-19）屬于靜力學條件，而方程（屬于靜力學條件，而方程（2-14