高二數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積與體積

1、 一、棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積 1.設(shè)直棱柱高為設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長為，底面多邊形的周長為c，則直，則直棱柱側(cè)面面積計(jì)算公式棱柱側(cè)面面積計(jì)算公式:S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)= .即直棱即直棱柱的側(cè)面積等于它的柱的側(cè)面積等于它的 . 2.設(shè)正設(shè)正n棱錐的底面邊長為棱錐的底面邊長為a，底面周長為，底面周長為c，斜高，斜高為為h，則正，則正n棱錐的側(cè)面積的計(jì)算公式棱錐的側(cè)面積的計(jì)算公式:S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)= ,即正棱錐的側(cè)面積等于它即正棱錐的側(cè)面積等于它的的 .ch 底面周長和高的乘積底面周長和高的乘積 nah= ch 2 21 12 21 1底面的周長和斜高乘積的一半底面的周長和斜高乘積的

2、一半 3.設(shè)棱臺下底面邊長為設(shè)棱臺下底面邊長為a，周長為，周長為c，上底面邊長，上底面邊長為為a，周長為，周長為c，斜高為，斜高為h，則正，則正n棱臺的側(cè)面積公棱臺的側(cè)面積公式式:S正棱臺側(cè)正棱臺側(cè)= . 4.棱柱、棱錐、棱臺的表面積或全面積等棱柱、棱錐、棱臺的表面積或全面積等于于 . 5.半徑為半徑為R的球的表面積公式的球的表面積公式:S球球= ，即球面面積等于它的即球面面積等于它的 . 大圓面積的四倍大圓面積的四倍 n(a+a)h= (c+c)h2 21 12 21 1側(cè)面積與底面積的和側(cè)面積與底面積的和 4R2 6.柱、錐、臺的側(cè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系柱、錐、臺的側(cè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系.二、棱

3、柱、棱錐、棱臺和球的體積 1.柱體柱體(棱柱、圓柱棱柱、圓柱)的體積等于它的體積等于它的的 ,即即V柱體柱體= .底面半徑是底面半徑是r，高是，高是h的圓柱體的體積的計(jì)算公式是的圓柱體的體積的計(jì)算公式是V圓柱圓柱= . 2.如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是，高是h，那么它的體積是，那么它的體積是V錐體錐體= . 如果圓錐的底面半徑是如果圓錐的底面半徑是r，高是，高是h，則它的體積，則它的體積V圓錐圓錐= . 3.如果一個臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面的面如果一個臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面的面積分別是積分別是S,S，高是，高是h，那么它的體積，

4、那么它的體積V臺體臺體= h(S+ +S). 如果圓臺的上、下底面的半徑分別是如果圓臺的上、下底面的半徑分別是r,r，高是，高是h，則，則它的體積是它的體積是V圓臺圓臺= h(r2+rr+r2).3 31 13 31 1 S SS S 底面積底面積S和高和高h(yuǎn)的乘積的乘積 Sh r2h Sh 3 31 1r2h 3 31 14.如果球的半徑為如果球的半徑為R，則它的體積，則它的體積V球球= R3.5.柱、錐、臺的體積公式的內(nèi)在聯(lián)系柱、錐、臺的體積公式的內(nèi)在聯(lián)系.3 34 4已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和和20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求

5、棱臺的高且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高.求棱臺的側(cè)面積要注意利用公式及正棱求棱臺的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺中的特征直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解所需幾臺中的特征直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解所需幾何元素何元素. 【解析】【解析】如圖所示，正三棱臺如圖所示，正三棱臺ABCA1B1C1中，中，O,O1為兩底面中心，為兩底面中心，D，D1為為BC和和B1C1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DD1為為棱臺的斜高棱臺的斜高. 設(shè)設(shè)A1B1=20，AB=30，則，則OD=5 ,O1D1= ， 由由S側(cè)側(cè)=S上上+S下下，得，得 （20+30）3DD1= (202+302), DD1= . 在直角梯形在直角梯

6、形O1ODD1中中, O1O= 棱臺的高為棱臺的高為 cm.3 33 33 310102 21 14 43 33 33 313133 34 4) )D DO O- -( (O OD D- -D DD D2 21 11 12 21 1=3 34 4 求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如圓柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，征幾何圖形，如圓柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量幾何元素的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中

7、的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系. 已知正三棱錐的側(cè)棱長為已知正三棱錐的側(cè)棱長為10cm，側(cè)面積為，側(cè)面積為144cm2，求棱錐的底面邊長和高求棱錐的底面邊長和高.設(shè)斜高為設(shè)斜高為xcm，則則x =1443，x2=36或或64.x=6或或8（cm）.底面邊長為底面邊長為2 =16或或12（cm）.2 2x x- -1001002 2x x- -100100OC1= 16= （cm）.OC2= 12=4 （cm）.在在RtSOC中中,SO2=答答:棱錐的底面邊長為棱錐的底面邊長為16cm,高為高為 cm或底面邊長為或底面邊長為12cm,高為高為2 cm.3 32

8、22 23 33 33 316163 32 22 23 33 3( (c cm m) ), ,3 33 33 32 23 31 16 61 16 6- -1 10 00 0O OC C- -S SC CS SO O2 21 12 21 1=( (c cm m) ), ,1 13 32 28 84 4- -1 10 00 0O OC C- -S SC C2 22 22 2=3 33 33 32 21 13 3如圖如圖7-2-3,在在ABC中，若中，若AC=3，BC=4，AB=5，以，以AB所在直線為軸，將此三所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體 的 表 面 積

9、和 體 積體 的 表 面 積 和 體 積 .首先要弄清該旋轉(zhuǎn)體是由哪些基本的幾何首先要弄清該旋轉(zhuǎn)體是由哪些基本的幾何體組成的，再通過軸截面分析和解決問題體組成的，再通過軸截面分析和解決問題. 如圖所示，所得旋轉(zhuǎn)如圖所示，所得旋轉(zhuǎn)體是兩個底面重合的圓錐，高的和體是兩個底面重合的圓錐，高的和為為AB=5.底面半徑等于底面半徑等于CO= ，所以所得旋，所以所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為轉(zhuǎn)體的表面積為S=OC（AC+BC）= (3+4)= ； 其體積為其體積為V= OC2AO+ OC2BO= OC2AB= .5 51212ABABACBCACBC=5 51 12 25 58 84 43 31 13 31 13

10、31 15 54 48 8 解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需截面及側(cè)面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可幾何要素，代入公式求解即可.如圖所示，在直徑如圖所示，在直徑AB=4的半圓的半圓O內(nèi)作內(nèi)作一個內(nèi)接直角三角形一個內(nèi)接直角三角形ABC，使，使BAC=30,將圓中將圓中陰影部分，以陰影部分，以AB為為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180形形成一個幾何體，求該成一個幾何體，求該幾 何 體 的 表 面 積幾 何 體 的 表 面 積 .AB=4,R=2,S球球=4R2=16,設(shè)設(shè)DC=

11、x,則則AC=2x,BC= .在在RtABC中中,4x2+ =16,x= .S錐側(cè)上錐側(cè)上=rl= 2 =6,S錐側(cè)下錐側(cè)下=rl= 2=2 .S表表= （S球球+S錐側(cè)上錐側(cè)上+S錐側(cè)下錐側(cè)下）=(11+ ).3 33 32 2sin60sin60 x xx x=9 93 3x x4 42 23 33 33 33 33 32 21 13 3如 圖 所 示 ， 長 方 體如 圖 所 示 ， 長 方 體ABCD-ABCD中，用中，用截面截下一個棱錐截面截下一個棱錐C-ADD，求棱錐，求棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體的體積與剩余部分的體積之比積之比.選擇適當(dāng)?shù)牧浚謩e表示出兩個幾何體選擇適當(dāng)?shù)?/p>

12、量，分別表示出兩個幾何體的體積的體積.已知長方體可以看成直四棱柱已知長方體可以看成直四棱柱ADDA-BCCB. 設(shè)它的底面設(shè)它的底面ADDA面積為面積為S，高為，高為h，則它的體積為，則它的體積為V=Sh. 而棱錐而棱錐C-ADD的底面面積為的底面面積為 S，高是，高是h, 因此，棱錐因此，棱錐C-ADD的體積的體積 VC-ADD = Sh= Sh. 余下的體積是余下的體積是Sh- Sh= Sh. 所以棱錐所以棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體積之比為的體積與剩余部分的體積之比為1:5.2 21 12 21 13 31 16 61 16 61 16 65 5 求幾何體的體積問題，可以多角度、多

13、方位地思求幾何體的體積問題，可以多角度、多方位地思考，特別是對幾何體的考，特別是對幾何體的“割割”與與“補(bǔ)補(bǔ)” ，是在求幾何，是在求幾何體體 體積時常用的思想方法體積時常用的思想方法.在平面幾何中對不規(guī)則圖形在平面幾何中對不規(guī)則圖形面積的求解也是該思想的具體應(yīng)用面積的求解也是該思想的具體應(yīng)用.A. B. C. D.如圖，在多面體如圖，在多面體ABCDEF中，已知中，已知ABCD是邊長為是邊長為1的正方形，且的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多，則該多面體的體積為面體的體積為 ( )3 32 23 33 33 34 42 23 3A（如圖，分別過（如圖

14、，分別過A，B作作EF的垂線的垂線AG，BH,垂足分垂足分別為別為G，H,連結(jié)連結(jié)HC，GD，則則ADGBHC為直棱柱為直棱柱.過過G 作作 G P A D 于于 P ， 則， 則AP=DP= ，在，在RtAGE中，中，E G = ， A E = 1 ，AG= ,在在RtAPG中，中，GP= .SAGD = ,VAGDBHC= ，VEAGD=VFBHC= SAGD EG= ，V=VAGDBHC+2VEAGD= .故應(yīng)選故應(yīng)選A.）2 23 32 21 12 21 12 22 23 31 124242 23 32 24 42 24 42 2如圖所示如圖所示,半徑為半徑為R的半的半圓內(nèi)的陰影部分以

15、直徑圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體一周得到一個幾何體,求求該幾何體的體積該幾何體的體積(其中其中 B A C = 3 0 ) .先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀，先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀，再求表面積再求表面積.如圖所示，過如圖所示，過C作作CO1AB于于O1，在半圓中可得在半圓中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= R,BC=R,CO1= R,又又V球球= R3, V圓錐圓錐 = AO1 = R2AO1，V圓錐圓錐 = BO1 = BO1R2，V幾何體幾何體=V球球-(V圓錐圓錐 +V圓錐圓錐 ) = R3- R3=

16、R3.3 32 23 33 34 43 31 11 1A AO O2 21 1C CO O4 41 11 1B BO O3 31 12 21 1C CO O4 41 11 1A AO O1 1B BO O3 34 42 21 16 65 5解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖 形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.已知一個組合體的三視圖如圖已知一個組合體的三視圖如圖7-2-10所示，請根據(jù)具所示，請根據(jù)具體數(shù)據(jù)求幾何體的體積體數(shù)據(jù)求幾何體的體積(單位單位:cm).由三視圖

17、可知此組合體結(jié)構(gòu)為：上部是一個圓錐，中由三視圖可知此組合體結(jié)構(gòu)為：上部是一個圓錐，中部是一個圓柱，下部又是一個圓柱部是一個圓柱，下部又是一個圓柱.由條件中的尺寸可由條件中的尺寸可知知:V圓錐圓錐= Sh= 222= (cm3);V圓柱中圓柱中=Sh=2210=40(cm3);V圓柱下圓柱下=Sh=421=16(cm3).所以此組合體體積所以此組合體體積V=V圓錐圓錐+V圓柱中圓柱中+V圓柱下圓柱下= +40+16= (cm3).3 31 13 31 13 38 83 38 83 31 17 76 6如 圖 ， 在 直 三 棱 柱如 圖 ， 在 直 三 棱 柱ABCA1B1C1中，底面中，底面為

18、 直 角 三 角 形 ，為 直 角 三 角 形 ，ACB=90,AC=6,BC=CC1= ,P是是BC1上一上一動點(diǎn)，則動點(diǎn)，則CP+PA1的最小的最小值 為值 為 .將所求最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的平面上的將所求最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的平面上的最值問題，易解決最值問題，易解決.2 2 【解析】【解析】由直三棱柱的性質(zhì)得由直三棱柱的性質(zhì)得A1B=2 ,又又A1C1B=90,A1C1=6,BC1=2, 將將A1C1B與與BC1C沿沿BC1折放在同一平面內(nèi)，則折放在同一平面內(nèi)，則A1C為所求為所求. 1010. .2 25 5 c co os s1 13 35 52 26 62 2- -) )2 2( (6 6C CA A2 22 21 1=+= 將將A1PC1與與BC1C放在同一平面內(nèi)，放在同一平面內(nèi)，找到找到A1C為所求最小值為所求最小值.如圖所示，長方體如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且，并且abc0.求沿著長方體的表面自求沿著長方體的表面自A到到C1的最短線路的長的最短線