向量組的極大無關組ppt課件

1、信息系信息系 劉康澤劉康澤 一、向量組的極大無關組一、向量組的極大無關組則則： 12, 構構成成1234, 的的極極大大無無關關組組， 例例如如, 設設110 , 201 , 311 , 422 ， 例例1 123, 也也構構成成1234, 的的極極大大無無關關組組； 24, 也也構構成成1234, 的的極極大大無無關關組組等等等等。 但但是是34, 不不構構成成1234, 的的極極大大無無關關組組，因因為為 34, 線線性性相相關關。 【注注 1】定定義義中中的的條條件件(2)可可以以改改敘敘為為：12,m 中中的的任任意意一一個個向向量量都都可可以以由由12,riii 線線性性表表示示。

2、【注注 2】定定義義中中的的條條件件(2)還還可可以以改改敘敘為為：12,m 中中的的任任意意1r 個個向向量量都都線線性性相相關關。 【注【注 3】向量組的極大無關組不一定唯一。向量組的極大無關組不一定唯一。 證：設證：設12,riii ()和和12,sjjj() 都是都是12,m 的極大無關組，的極大無關組， 由由定定理理 1 1 可可知知： 向向量量組組的的極極大大無無關關組組所所含含向向量量的的個個數(shù)數(shù)是是 向向量量組組的的一一個個不不變變數(shù)數(shù)值值特特性性。由由此此有有如如下下定定義義： 二、向量組的秩二、向量組的秩【推論推論】若向量組若向量組12,m 與向量組與向量組12,s 等價，

3、則它們的秩相等等價，則它們的秩相等，即：，即： 1212,msrr 。 證證：設設（I）與與（II）的的秩秩相相等等. 則則當當秩秩為為 0 時時, 由由于于（II）中中均均為為 0 向向量量，結結論論成成立立. 若秩不為若秩不為 0, 由由( )( )rr且 （且 （I） 包含在 （） 包含在 （II） 中知） 中知, （I） 的極大無關組也是（的極大無關組也是（II）的極大無關組）的極大無關組. 因此每個因此每個i都可由都可由 此極大無關組線性表出此極大無關組線性表出, ), 1(srii都可由都可由 （I） 線性） 線性 表出表出。 例例、向向量量組組： （I）r,21 與與向向量量組組

4、： （II）srr,121 有有相相同同的的秩秩的的充充要要條條件件是是每每個個), 1(srii都都可可由由 r,21線線性性表表出出. 例例2 2反反之之, 若若), 1(srii可可由由（I）線線性性表表出出, 則則顯顯然然 （I）與與組組（II）等等價價, 故故它它們們秩秩相相等等。 證證：因因為為r,1可可由由r,1線線性性表表出出, 故故對對任任意意 i, 有有ri,1可可由由r,1線線性性表表出出. 由由rr1 知知： ), 1(,1riri必必線線性性相相關關. 又又r,1線線性性無無關關, 故故i可可由由r,1線線性性表表出出。 所所以以r,1與與r,21等等價價, 例、設向

5、量組例、設向量組r,21線性無關線性無關, 且可由向量組且可由向量組r,21線性表出線性表出, 證明：這兩個向量組等價證明：這兩個向量組等價, 從而從而r,21也線性無關也線性無關. 例例3 3因因而而：秩秩),(1r= 秩秩rr),(21 故故r,1線線性性無無關關. 解解： （1）不不一一定定, 例例如如： )0 , 1 , 0( ),0 , 0 , 1 (21 與與 )0 , 2 , 0( ),1 , 0 , 0(21 它它們們的的秩秩相相等等. 但但1不不能能由由21,線線性性表表出出, 故故21,與與 21,不不等等價價. 例例、 （1）秩秩相相等等的的兩兩向向量量組組是是否否一一定

6、定等等價價？ （2） 若若兩兩向向量量組組的的秩秩相相等等, 且且其其中中之之一一可可由由另另一一組組線線性性表表出出, 證證明明這這兩兩個個向向量量組組等等價價. 例例4 4 （2）設）設 （I） ：） ：s,1； （； （II）t,1 秩相等秩相等, 設設為為r， 且且 （III） ：） ：riii,21； （； （IV）rjjj,21 分別為（分別為（I） 、 （） 、 （II）的極大無關組）的極大無關組. 若若（I）可可由由（II）線線性性表表出出, 則則（III）可可由由（IV）線線性性 表表出出. 因因（III）線線性性無無關關, 故故（III）與與（IV）等等價價。 由由此此（I

7、）與與（II）等等價價。 解解：因因為為： rr 3，故故有有：, 123線線性性無無關關，, 1234線線性性相相關關， 所所以以： 4可可由由 , 123線線性性表表示示，設設： 4112233 （1） 又假設又假設54能由能由, 123線性表示，則：線性表示，則： kkk54112233 例、設例、設 , 123為為 （） ； , 1234為為（） ； , 1235為為（） ， 且且 ,rrr34,則：則： ,r 12354 。 例例5 5即即： kkk 51122334 由（由（1）式知：）式知： kkk5111222333 這說明：這說明：, 1235線性相關，與線性相關，與r 4矛

8、盾。矛盾。 從從而而 ,r 123544。 ) 1( r, 試試證證：, 1212rrrr。 證明：由已知有：證明：由已知有： , 12120111101111011110 rr例例、 設設向向量量組組r,21與與r,21滿滿足足 r321 r312 121rr 例例6 6因為因為：()011111111011101111101110111101110 r ()()111110111111000110001rrr 所以有所以有： , 112120111101111011110 rr 即即, 12r也也可可由由, 12r線線性性表表出出, 所所以以, 12r與與, 12r等等價價. 故故： ,

9、1212rrrr。 三、矩陣的秩與向量組的秩之間的關系三、矩陣的秩與向量組的秩之間的關系1212(,)TTnTmA 于是，在討論矩陣的秩時，有時可將矩陣按列于是，在討論矩陣的秩時，有時可將矩陣按列 (行行) 分塊，然后利用向量組的秩或線性關系進行討論，分塊，然后利用向量組的秩或線性關系進行討論，會帶來方便。反之，在討論向量的線性關系時，有時利會帶來方便。反之，在討論向量的線性關系時，有時利用矩陣的秩來進行會更便捷。用矩陣的秩來進行會更便捷。證：證：設設 111212122212,ppm n n pm pnnnpbbbbbbCA BBbbb， 1212,pnCA ， 則則：11121212221

10、21212,pppnnnnpbbbbbbbbb ， 例例、證證明明：()min( ), ( )r ABr Ar B。 例例7 7所以所以： 1(1,2, )njkjkkbjp， 這這說明說明C的的列列向量向量可以可以由由A的的列列向量向量線性表示線性表示，故故： 1212,pnrr ， 即即 ()( )r ABr A。同理同理可證可證 ()( )r ABr B。 因此因此：()min( ), ( )r ABr Ar B。 例例8 8【注注】通通常常習習慣慣用用初初等等行行變變換換將將A化化為為階階梯梯形形矩矩陣陣B, , 當當B的的秩秩為為r時時, , B的的一一個個非非零零rD子子式式所所在

11、在的的r個個列列向向量量 是是線線性性無無關關的的則則A中中對對應應的的r個個列列向向量量也也線線性性無無關關，且且構構 成成A的的列列向向量量組組的的極極大大無無關關組組。 進一步進一步，若要求若要求將將其余其余向量向量由由極大無關組極大無關組線性表示線性表示，則則 可以可以將將階梯形矩陣階梯形矩陣B繼續(xù)繼續(xù)變成變成行行簡約簡約標準型標準型， 行行簡約簡約標準型標準型 的的列向量列向量的的線性線性表示表示關系關系極易極易看出看出， 由此由此就可以得到就可以得到A的的列列 向量組向量組的的線性線性表示表示關系關系。 例例、1102, 2320 , 3211, 4235 的的一一個個極極大大無無

12、關關組組并并將將其其余余向向量量由由極極大大無無關關組組線線性性表表示示。 例例9 9求求 解解 1234,A 1 32 20 21 32 01 5 1 32 21 32 20 21 30 21 30 63 90 00 0行行142300100001B 行 顯顯然然B的的 1,3 列列13, 構構成成1234, 極極大大無無關關組組 A的的 1,3 列列13, 構構成成1234, 的的極極大大無無關關組組， 且且 213413243 ， 則則有有： 213413243 ，。 解：作矩陣：解：作矩陣： 601424527121103121301) , , ,(4321TTTTA 例例、求求 )4 , 2 , 1 , 1 (1, )2 , 1 , 3 , 0