數(shù)學(xué)物理方程23演示教學(xué)

1、Email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1本次課主要內(nèi)容線性偏微分方程的根本解(一)、穩(wěn)態(tài)場方程的根本解(二)、熱傳導(dǎo)方程的根本解(三)、波動方程的根本解2其中L是關(guān)于x1,x2,.,xn的二階線性偏微分算子 不含時二階線性偏微分方程：f =0時，稱方程為齊次方程，否那么，方程為非齊次方程。(一)、穩(wěn)態(tài)場方程的根本解3(1)、定義：方程的解U稱為方程 的根本解或格林函數(shù).根本解物理意義 根本解反映點源作用情況，所以，根本解又稱為點源函數(shù)。 方程中f(M)表示場源強(qiáng)度。4(2)、性質(zhì)定理1：假設(shè)U是方程 的根本解，且u是 的解，那么u+U是方程 的根本解。且方程所有根本解均有形

2、式：u+U。證明：因為：5所以，u+U是根本解。又由線性偏微分方程解的結(jié)構(gòu)定理得定理的后一結(jié)論。定理2：假設(shè)f(M)是連續(xù)函數(shù)，U(M)滿足方程：那么如下卷積是方程 的解.6證明：首先：其次：兩點說明：1)、該定理說明：欲求方程： 的7特解，只要求出其根本解即可。2)、物理解釋：方程： 的解可以理解為由靜電場源f(M)激發(fā)的電勢.定理說明：求連續(xù)分布場，可以通過求點源的場來實現(xiàn)。泊松方程的根本解(1)、三維泊松方程的根本解設(shè)三維泊松方程的形式為：于是根本解為方程： 的解 .8通過驗證得：于是求得三維泊松方程的根本解為：例1、寫出三維泊松方程特解表達(dá)式由根本解和定理2得三維泊松方程特解表達(dá)式為：

3、解：三維泊松方程為：10例2 討論粒子散射滿足的定態(tài)薛定諤方程定解問題：其中：u(x,y,z)表示波函數(shù)；v(x,y,z)表示作用勢；k表示入射平面波矢量； 表示入射波振幅。11表達(dá)式 描述沿 z方向運動的入射粒子的平面波 :解：根本解滿足的方程為：由傅立葉變換和留數(shù)定理可以求出根本解為：描述粒子被散射后從散射中心向外發(fā)散的球面出射波的表達(dá)式為： 12由定理2得：由無窮遠(yuǎn)條件：13(2)、平面泊松方程的根本解設(shè)平面泊松方程的形式為：于是根本解為方程： 的解 .所以：14拉氏方程的柱坐標(biāo)形式為：為求出根本解，考慮： 的柱面對稱解.假設(shè)方程具有柱對稱(或園對稱)，當(dāng)r不為零時有：得解為：假設(shè)取那么

4、求出15通過驗證得：于是求得二維泊松方程的根本解為：泊松方程根本解的物理意義：三維泊松方程根本解相當(dāng)于置于原點處電量為0的正點電荷在空間M處產(chǎn)生的電勢。平面泊松方程的根本解相當(dāng)于過坐標(biāo)原點的電荷密度為0的無限長導(dǎo)線在M處產(chǎn)生的電勢。(二)、熱傳導(dǎo)方程的根本解(1)、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的根本解16(a) 定義：稱的根本解(或格林函數(shù))。的解為熱傳導(dǎo)方程柯西問題(b) 求根本解(格林函數(shù))17設(shè)一維熱傳導(dǎo)方程柯西問題為：采用傅立葉變換求根本解。那么其根本解滿足：18(c) 根本解與定解問題的解之間的關(guān)系定理3：無界區(qū)域上波動方程定解問題的解為：19(a) 定義：稱的根本解(格林函數(shù))。的解為有界熱

5、傳導(dǎo)方程問題(2)、有界區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程的根本解20設(shè)一維熱傳導(dǎo)方程邊值問題為：下面采用別離變量法求根本解。那么其根本解滿足：(b) 求根本解21首先，由齊次化原理得：令 那么：(1) 別離變量：22得到兩個常微分方程：(2) 固有值問題為：固有值為：固有函數(shù)為：23(3) 另一個常微分方程的解為：(4) 一般解為：(5) 由初始條件和齊次化原理得：24所以，求得根本解為：(c) 根本解與定解問題的解之間的關(guān)系定理4：有界區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程定解問題的解為：25(a) 定義：稱的根本解(格林函數(shù))。的解為無界區(qū)域波動方程(三)、波動方程的根本解(1)、無界區(qū)域上波動方程的根本解(以一維為例)26(b)、由齊次化原理和達(dá)朗貝爾公式得根本解為：(c) 根本解與定解問題的解之間的關(guān)系定理5：無界區(qū)域上波動方程定解問題的解為：27(2)、有界區(qū)域上波動方程的根本解以一維為例討論該問題。(a) 定義：稱的解為有界波動方程問題的根本解(格林函數(shù))。28(b)、根本解為：(