等離子體物理學(xué)二ppt課件

1、等離子體物理學(xué)二李毅2021.10 等離子體中，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、速度、密度、壓力、溫度等任何一個(gè)物理量 普通會(huì)隨空間和時(shí)間變化。 擾動(dòng)量原那么上它可以分解為各個(gè)平面波的疊加，即： 其中 為波的幅度，是物理量的Fourior分解： 對(duì)于其中恣意一支平面波來(lái)說(shuō)，k為波矢，w為頻率。 這里我們用復(fù)數(shù)來(lái)表示波是方便的，取其實(shí)部就是實(shí)踐的值。等離子體中的線性波()( , )( ,)itkted d k xxkk()1( ,)( , )2itkt ed dt k xkxx( ,)kk 波的速度可以用相速度和群速度來(lái)描畫。相速度是波在堅(jiān)持相位不變的情況下的運(yùn)動(dòng)速度。相位為： 相位不變的條件下： 得到相速度：波的

2、相速度pdxvdtk()0ddkxtdtdttk x 波的群速度描畫波包整體運(yùn)動(dòng)的速度，而波包是由滿足一定色散關(guān)系的各種頻率的波組成。假設(shè)該波包的色散關(guān)系為 只需頻率滿足此關(guān)系的波才存在，可以表示為： 因此由式積分，在波沿x方向直線傳播情況下得：波包( ) )( , )( )i k xk tkx tk edk( ,)( )( )kkk kk( )k 假設(shè)波包的主要波數(shù)為k0，對(duì)應(yīng)的頻率 近似有： 其中群速度定義為： 代入可得： 可見波包的包絡(luò)以群速度vg的速度前進(jìn)。波的相速度可以超越光速。但群速度一定不能超越光速，由于群速度可以傳送信息和能量，否那么會(huì)違背愛因斯坦的狹義相對(duì)論原理。 波的群速度

3、0000()()()( , )( )(, )gggik x v ti k vtki k vtgx tk edk exv t t e0gdvdk00()k00( )()gkvkk 一支波沿x方向傳播，在y、z兩個(gè)垂直方向上，電場(chǎng)矢量的分量Ey和Ez普通可以表示成： 其中， Ey0和Ez0 ，a，b均為常數(shù)。 在yz平面上的電場(chǎng)分量滿足：波的旋轉(zhuǎn)與偏振00cos(),cos()yyzzEEkxtEEkxt02222000cos()cos() sin()sin()cos()sin ()(1)zzyyzzyyEkxtkxtEEEEEEE 這闡明，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)在yz平面內(nèi)的軌跡是橢圓二次曲線中只需橢圓離

4、原點(diǎn)間隔有限，因此是橢圓偏振。 特殊情況下，可以是線偏振a=b或|a-b|=p，偏振方向與y軸夾角為 也可以是圓偏振Ey0=Ez0且|a-b|=p /2 。 當(dāng) a-b=p /2 時(shí)，例如a=0 而 b =-p /2 ，此時(shí) 隨著波沿著x方向前進(jìn)，相位添加，E矢量做右手旋轉(zhuǎn)。所以是波是右旋的。波的旋轉(zhuǎn)與偏振00cos(),sin()yyzzEEkxtEEkxt00arctan(/)yzEE 當(dāng) a-b=-p /2 時(shí)，例如，當(dāng) a=0 而 b =p /2 時(shí)： 隨著波沿著x方向前進(jìn)，E矢量按左手旋轉(zhuǎn)。所以這時(shí)波是左旋的。 普通情況下，無(wú)妨取|a-b|p， 當(dāng)a-b 0時(shí)，是右旋；而a-b0 時(shí)

5、，是左旋；a-b =0或p時(shí)，是線偏振。波的旋轉(zhuǎn)與偏振00cos(),sin()yyzzEEkxtEEkxtxyz 將等離子體中的擾動(dòng)作Fourior分解，也即化為多個(gè)平面波的線性疊加。假設(shè)方程組是線性的，對(duì)于一切滿足方程組的平面波來(lái)說(shuō)，其線性疊加也滿足方程組。因此，從研討最簡(jiǎn)單的平面波入手，我們就可以研討擾動(dòng)在等離子體中的傳播和開展。方程組中的非線性項(xiàng)應(yīng)該被忽略，這是由方程的線性特性所決議的。另外，非線性項(xiàng)都是二階或二階以上的小量，在解線性動(dòng)搖問題時(shí)，可以忽略。波的線性化和平面波分解()( , )( ,)itkted d k xxkk 普通來(lái)說(shuō)，對(duì)于等離子體中的動(dòng)搖來(lái)說(shuō)，其頻率和波長(zhǎng)有一定的

6、對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蛘哒f(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，只需對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的動(dòng)搖才干存在。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系即為波的色散關(guān)系： 波的群速度的計(jì)算需求用到波的色散關(guān)系： 更重要的是有了色散關(guān)系，就知道了初始的擾動(dòng) 在隨后的開展變化：線性波的色散關(guān)系 ( ,)0Dk( )gdvkdk( ) )01( )( ),( , )( )2iitkkedted k xk xkkxxxkk0( )x 等離子體中，電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起電荷分別，使得等離子體偏離電中性，從而產(chǎn)生靜電場(chǎng)。在這個(gè)靜電場(chǎng)的作用下，電子會(huì)改動(dòng)運(yùn)動(dòng)形狀，力圖使等離子體恢復(fù)電中性，但是在等離子體恢復(fù)了電中性之后，電子依然具有一定的動(dòng)能，其運(yùn)動(dòng)又會(huì)使等離子體產(chǎn)生非電中性。我們稱電

7、子的這種振蕩為電子靜電波，也叫Langmuir波。 這種波維持了等離子體的準(zhǔn)電中性。電子靜電波 在冷等離子體中，這種動(dòng)搖可以用一維方程組描畫： 將方程組進(jìn)展線性化和平面波分解，得到方程組：冷等離子體中的電子靜電波00()0,()() ,eeeeeenn vtxe nndvEn mne Edtx1011100/eeei nikn vi m veEikEen 經(jīng)過化簡(jiǎn)成為： 這闡明，假設(shè)要 ，即動(dòng)搖存在，必需有 在電子熱壓力不可忽略的情況下，方程改寫為 這里g為多方指數(shù)，而對(duì)于電子做1維運(yùn)動(dòng)的電子靜電波情況，取 g=3。而對(duì)于普通電子做3維運(yùn)動(dòng)的情況，取我們熟知的 g=5/3。電子靜電波的頻率20

8、1201(1)0en eikEm0E 200peen em2(),0,eeeeeepdvdDn mne Ep ndtxdtD 方程組經(jīng)過線性化和平面波分解，成為： 得到色散關(guān)系，也即這組方程存在非0解的條件為： 這里vse是電子的聲波速度。熱等離子體中的電子靜電波10101010100/0eeeeeeei nikn vi m veEikpnikEenppnn 2222,epseseeTk vvm 在 的冷等離子體近似的條件下，回到冷等離子體時(shí)的電子靜電波色散表達(dá)式，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Langmuir波的群速度為0，因此是不傳播的局域震蕩。而在熱等離子體中，Langmuir波的群速度與電子熱運(yùn)動(dòng)速度可達(dá)

9、同樣的量級(jí)，類似于電子壓力引起的縱波。 電子靜電波的頻率必需不小于電子等離子體頻率 wpe，通常這是較高的頻率。在這個(gè)頻率下，離子由于其質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，它來(lái)不及呼應(yīng)這么高的頻率變化。其運(yùn)動(dòng)可以忽略。 熱電子靜電波的討論0eT 對(duì)于長(zhǎng)波情況，色散關(guān)系可近似為 其群速度遠(yuǎn)小于電子的熱速度vthe ： 對(duì)于短波情況，當(dāng) 時(shí)， 群速度為 與電子熱速度相當(dāng)，這時(shí)會(huì)產(chǎn)生劇烈的波與電子的相互作用，需求用動(dòng)力學(xué)才干加以研討。 熱電子靜電波的討論223(1)2pDek3()gDethethedvkvvdk1Dek2pe1.5gthevv 離子的運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生頻率較低的動(dòng)搖。在研討較低頻率的等離子體動(dòng)搖時(shí)，需求

10、同時(shí)思索電子和離子的運(yùn)動(dòng)其中，a代表等離子體中的一切粒子，即電子和各種離子 ：思索離子成分時(shí)的靜電波10101001100()011()0nkvnn vntxikpdvpim vq En mn q EndtxEq nikEq nxdpnp ndtpn 將以上做過線性化和平面波分解之后的方程組再進(jìn)展消元化簡(jiǎn)，得到色散方程 ： 其中wpa和vsa分別是a類粒子對(duì)應(yīng)的等離子體振蕩頻率和聲速。 由于離子質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，那么 因此在高頻時(shí)wwpe，色散關(guān)系公式中的求和的各項(xiàng)中，離子項(xiàng)遠(yuǎn)小于電子項(xiàng)，因此可以忽略。只保管電子項(xiàng)，此色散關(guān)系回到電子靜電波的色散關(guān)系式。 思索離子時(shí)的靜電波色散關(guān)系22220

11、222010,ppssnqTvk vmmpipe 思索低頻情況為簡(jiǎn)化分析起見，無(wú)妨假設(shè)只需一種氫離子成份。 離子聲波： 對(duì)于低頻長(zhǎng)波，klDe1，色散關(guān)系公式中的電子項(xiàng)和離子項(xiàng)均遠(yuǎn)大于1由于它們的分母均很接近于0，因此可以忽略第一項(xiàng)常數(shù)1，得到離子聲波色散關(guān)系：離子聲波,eeiissiTTkvvm 這很像在普通氣體中傳播的聲波。由于波長(zhǎng)很長(zhǎng)，在這種長(zhǎng)尺度條件下等離子體可以很好地堅(jiān)持電中性，因此引起的擾動(dòng)類似于中性氣體中產(chǎn)生的緊縮波。但由于離子和電子必需堅(jiān)持電中性，當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)時(shí)，電子必需跟隨，兩者牢牢地結(jié)合在一同。這時(shí)電子的壓力影響也經(jīng)過這種結(jié)合傳送給離子，即使離子溫度為0，由于有電子壓力的存在

12、，也可以產(chǎn)生離子聲波?，F(xiàn)實(shí)上，在以后的動(dòng)力論中我們知道，假設(shè)離子熱運(yùn)動(dòng)速度與離子聲波的速度相當(dāng)?shù)臅r(shí)候，會(huì)產(chǎn)生阻尼景象，離子聲波不能存在，因此離子聲波大多在Tivs情況vAvA情況下，可忽略位移電流，與MHD結(jié)果一致。1222(1)AAvkvc22 2(1)piik c平行傳播的右旋圓偏振波 右旋圓偏振波。色散關(guān)系為： 偏振關(guān)系為右旋圓偏振： 頻率較高時(shí)，右旋圓偏振波的色散關(guān)系又能寫為 截止頻率為也是垂直傳播的X模的截止頻率221(|)peekc 22222121()11(|)()ppepieikcn 0,0 xyzEiEE2224eeRpe平行傳播的右旋圓偏振波討論 接近電子盤旋頻率、波長(zhǎng)較短

13、時(shí)，是電子盤旋波： 在電子盤旋頻率上共振。共振時(shí)，電子可繼續(xù)從右旋圓偏振波中獲得或失去能量。 頻率極低時(shí)，成為右旋圓偏振Alfven波： 在cvA情況下，可忽略位移電流，與MHD結(jié)果一致。1222(1)AAvkvc22 2|(1)peek c 哨聲波 右旋偏振波在頻率遠(yuǎn)低于電子盤旋頻率但又遠(yuǎn)高于離盤旋頻率時(shí)，成為哨聲波： 它的群速度為會(huì)隨著頻率升高： 當(dāng)擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，高頻成分的波群速度較快，會(huì)先被觀測(cè)到，而低頻成分的波隨后才干被觀測(cè)到。在地球外表，雷電引起的電磁脈沖擾動(dòng)在電離層激發(fā)低頻的哨聲波，可以收到沿地球磁場(chǎng)傳播到另一端，可以聽到由高到低的類似哨聲的信號(hào)。2 22|epek c222|2|e

14、gepepekcdcvdkAlfven波 線性的Alfven波是左旋和右旋圓偏振波的疊加： 反之，圓偏振波也能看成是兩個(gè)相互垂直、相位差為90度、振幅一樣的線偏振波的疊加。 左旋或右旋圓偏振Alfven波，線偏振Alfven波，它們都具有一樣的色散關(guān)系。 Alfven波是沿磁場(chǎng)傳播的左旋和右旋偏振波的低頻長(zhǎng)波極限情況。在頻率趨于0時(shí)，波數(shù)k也趨于0，但與普通的截止情況不同，這不是通帶與阻帶的分界點(diǎn)。()()()000()()22i kzti kzti kztyxyxyEEEeieieEeeeee平行磁場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)傳播的波的色散關(guān)系圖kcikcHHLHRLvARLvAkB0k | B0哨聲波離子

15、盤旋波電子盤旋波電磁波X模O模AlfvenAlfven電磁波X模高混雜低混雜法拉第旋轉(zhuǎn) 高頻電磁波在等離子體中沿磁場(chǎng)傳播時(shí)，左旋的波和右旋的波遵守不同的色散關(guān)系，他們的相速度也不同。假設(shè)初始時(shí)一個(gè)線偏振的電磁波，可以分解為左旋波和右旋波的疊加。設(shè)電磁波在z=0處為 ，那么在等離子體中傳播之后，波場(chǎng)為 這兩支波在等離子體中傳播一樣一段間隔之后，由于旋轉(zhuǎn)的角度不同，從而兩者疊加之后的線偏振波的偏振方向就會(huì)有所改動(dòng)。0(0, )i txztE eEe()()00( , )()()22LRi k zti k ztxyxyEEz teieiEeeee法拉第旋轉(zhuǎn) 其中，kL和kR分別是左旋波和右旋波的波矢

16、，記 ： 那么 可知角度j即為偏振方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。而 ： 在磁場(chǎng)知的情況下，可以用丈量電磁波偏振方向的旋轉(zhuǎn)角度來(lái)得到等離子體的密度。 ()0( , )(cossin)i k ztxyz tE e Eee(),22LRLRkkkk zk22222222222()1122(|)()(|)()(|)|2 ()()2 ()pepeLReieipeeipeeeiekkzzczzcc 法拉第旋轉(zhuǎn) 當(dāng)?shù)入x子體密度隨空間變化時(shí)，可以丈量等離子體電子密度的線積分： 電離層電子密度的線積分是地球空間物理的一項(xiàng)重要的探測(cè)內(nèi)容。220202()|zeeeemcn dze動(dòng)實(shí)際動(dòng)搖實(shí)際 動(dòng)力論方程是描畫等離子體分布函數(shù)

17、的變化的。對(duì)于處置熱效應(yīng)、波與粒子相互作用、多種速度成分的帶電粒子等景象時(shí)，用磁流膂力學(xué)的描畫顯然是不全面的，這時(shí)應(yīng)該選用動(dòng)力論來(lái)處置。 對(duì)于動(dòng)搖的問題，磁流體描畫適宜于冷等離子體，且波與粒子相互作用較弱的情況，除此之外，用動(dòng)力論方程來(lái)研討動(dòng)搖問題更加準(zhǔn)確全面，且能得到一些流體的動(dòng)搖實(shí)際中沒有的結(jié)果。 對(duì)于空間等離子體，無(wú)碰撞的Vlasov動(dòng)實(shí)際方程為：()0tqfffmxvvEvB一維靜電動(dòng)搖 思索一維靜電波擾動(dòng)，線性化之后為： 留意此時(shí)v僅僅是坐標(biāo)變量，它不是1階小量。經(jīng)Fourier變換解得 ： 色散關(guān)系為： 1100txvqfvfEfm 101xEqf dv01()viqEffm kv

18、200( , )10()pvfDkdvnk kv 一維靜電波色散方程 思索長(zhǎng)波，k很小，相速度很大，展開： 取平衡時(shí)的分布函數(shù)為Maxwellian分布： 進(jìn)而色散方程為：2023011()().0pvfkvkvkvdvnk20000exp(),22vmmvmvfnffTTT 223001()1()().0pm vkvkvkvfdvn kT積分展開項(xiàng) 因?qū)ΨQ性，只需偶次項(xiàng)積分不為0： 運(yùn)用定積分公式： 及 ，遞推得 因此22340301.0pmkvk vfdvn kT222122111222xnnxnxnnnnIex dxxdexedxI0I2(21)!2mmmI22220(21)!10mmp

19、mmmmk Tm主值積分的結(jié)果 取頭兩項(xiàng)，并思索主要是電子的奉獻(xiàn)，那么 ： 進(jìn)一步近似可得 ： 這個(gè)結(jié)果和流體實(shí)際得到的色散關(guān)系完全一致。而朗道以為，以上運(yùn)算過程中，積分存在奇點(diǎn)問題，即在速度等于波的相速度時(shí)，積分的分母為0。以上的處置方法只是主值積分，正確的計(jì)算需求沿著奇點(diǎn)下方的途徑進(jìn)展。22221(13)0peeek Tm2222(1 3)peDek朗道積分圍道 假設(shè)按照朗道指出的途徑積分，結(jié)果為： 這時(shí)，w不再為實(shí)數(shù)，而是含有虛部的復(fù)數(shù)。普通對(duì)于形如 其中虛部是小量，那么 這里下標(biāo)r、i對(duì)應(yīng)為實(shí)部和虛部。22202220/1(13)0pepeveeeevkfk Timn k( , )(

20、, )0riDkiDkIm(v)Re(v)積分圍道(, )(, )irirrDkDk朗道阻尼率 運(yùn)用到此處，可以得到電子靜電波的阻尼率 ： 至于為什么要運(yùn)用朗道圍道進(jìn)展積分，還需求從問題本來(lái)的物理過程看。2240023300/423233222/2exp()22213exp()822rpevepeerieereevkeeerreeepeDeDefmfn kn kTmmmkTTT kkk 靜電動(dòng)搖的物理過程 假設(shè)最初有擾動(dòng)，可以對(duì)Vlasov方程進(jìn)展時(shí)間t的Laplace變換求得以后的擾動(dòng)電場(chǎng)，而不是做Fourier變換空間上依然做Fourier變換： 積分可得 代入電場(chǎng)方程1100()0ptt

21、xvqefvfEfdtm 01110( )( )( )0vtqE pfpfpfikvfpm0110( )1( )vtqE pffpfpikvm01110( )( )( )0vtqE pfpfpfikvfpm朗道圍道的數(shù)學(xué)解釋 可解出電場(chǎng) ： 經(jīng)Laplace反變換 這里s是充分大的實(shí)數(shù)，使得一切積分奇點(diǎn)都在積分線路的左邊。而這些奇點(diǎn)使分母為0就是經(jīng)過對(duì)應(yīng) 之后的色散方程。而s是充分大的條件對(duì)應(yīng)于色散方程對(duì)速度 v 的積分中，奇點(diǎn) 具有充分大的虛部，因此積分是從奇點(diǎn)下方經(jīng)過的。 2110000( )() ()ptvvvfdvf dvqE pikpikvnpikv1( )( )2iptiE te

22、E p dpi pi /kip k朗道阻尼的物了解釋 有趣的是，朗道闡明了要處理這個(gè)物理問題，積分圍道需從下方繞過，才干滿足數(shù)學(xué)上的要求。而一些數(shù)學(xué)家那么以為這種做法只是純數(shù)學(xué)的東西，沒有物理意義。直到后來(lái)實(shí)驗(yàn)和模擬都證明了朗道阻尼的存在，朗道的處置方法才被普遍的接受。 從物理上看，朗道阻尼其實(shí)是波與電子的共振相互作用。當(dāng)電子的運(yùn)動(dòng)速度與波的相速度相差不大時(shí)，電子就被波的勢(shì)阱捕獲，從而與波一同運(yùn)動(dòng)。開場(chǎng)時(shí)速度小于波速的粒子得到加速，而開場(chǎng)時(shí)速度大于波速的粒子被減速，最后被捕獲的粒子平均速度都與波的速度一樣。朗道圍道的物了解釋 對(duì)于Maxwellian分布，運(yùn)動(dòng)速度在波速附近的粒子中，速度慢的比

23、速度快的粒子更多。從而獲得加速的粒子多于減速的粒子?？傮w看來(lái)，波失去能量而粒子獲得能量。波的幅度就會(huì)逐漸減小，構(gòu)成阻尼。f(v)v通行粒子和波的勢(shì)阱中捕獲粒子被波加速的粒子綠色和被波減速的粒子藍(lán)色磁化等離子體中動(dòng)搖的動(dòng)實(shí)際 設(shè)磁場(chǎng)沿z方向，而波矢為 ： 對(duì)于動(dòng)力論方程 線性化之后 在速度空間的柱坐標(biāo)系 中，有zzxkkkee0ffftm Fvxv011110()()()0ffqqiifmm k vEv Bv Bvv(, ,)zvv01111()()0ffqifm k vEv Bv磁化等離子體波中的分布函數(shù) 對(duì)于Maxwellian的初始分布 ： 代入得 解此微分方程： 其中，232020002

24、mvTfmmfnefTT vv11100()0fimffTB E vk v1010sin ,igigzzmfed e fBTk vk vgabab v E磁化等離子體波中的分布函數(shù) 利用Fourior展開式 ： 以及此式對(duì) q 和 b 的偏導(dǎo)： 可積分得 其中，c是對(duì)q積分產(chǎn)生的常數(shù)，雖然它可以是 的函數(shù)，但由于對(duì)q 必需有 2p 的周期，應(yīng)該取為0。sin( )ibinnneJb esinsincos( ),sin( )ibinibinnnnnneJ b eeiJ b eb()0110( )( )( )()i a nigz znxnynnf menfevJ bvJ bviJ bcBTi a

25、nbeeeE,zv v動(dòng)實(shí)際伯恩斯坦波 利用Fourior展開式 ： 動(dòng)實(shí)際伯恩斯坦波是磁化等離子體中的電子靜電波。對(duì)于靜電波，電場(chǎng)滿足 ： 為求色散方程，做k空間的平面波分解，得 在對(duì)速度空間的q做一個(gè)周期的積分之后， 的項(xiàng)積分為0，對(duì)求和只需 一項(xiàng)不為0。()0110( ) ()( )( )()i n nnzzxnynnnf menfJ bvvJ bviJ bBTi a nb eeeE1110,qf dEEv2()0201( )( )()0i nnnnzznnq f denJb J b k vk vkTanb vnnnn動(dòng)實(shí)際伯恩斯坦波 因此化簡(jiǎn)為： 利用定積分公式： 這里 In( ) 是

26、n階修正Bessel函數(shù)。進(jìn)一步得 其中 220202( )1()0znzznq f v dv dvJbk vnkTan 222()/401()()()22sxpqsnnnpqeJpx J qx xdxeIss22221( )02zmvpezzTznnmk vnmdv eIkTTan 22kTm垂直磁場(chǎng)傳播的靜電波 思索垂直磁場(chǎng)傳播的靜電波 ，此時(shí)， 色散方程為： 利用 的性質(zhì)化為 在極限情況下， 用此調(diào)查色散關(guān)系的極限情況。0,zkkk22( )10pennmenIk Tan( )( )nnI xIx2222212( )10pennen In( )( /2) / !0( )/ 2nnnInI

27、e垂直磁場(chǎng)傳播的靜電波 因此，在 的極限下，有 在 的極限下，有 這是動(dòng)實(shí)際伯恩斯坦波。22(),2 ,3 ,.HHpe ,2 ,3 ,. 0/khh/12345斜向傳播的靜電波 假設(shè) ，色散方程中，積分會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)。好像朗道阻尼的處置，需求用朗道圍道做積分。即在滿足共振條件的情況下，色散方程中會(huì)出現(xiàn)虛部。 化簡(jiǎn) 其中， 是等離子體色散函數(shù)。,( )2zmnZTk 221( ) ( ) 102pennzmmeIZk TkT22221( )02zmvpeTnznmmeIdvekTTan 0zk 斜向傳播的靜電波 等離子體色散函數(shù)的定義如下： 其中，s = 0, 1, 2 分別對(duì)應(yīng)著積分圍道取從奇點(diǎn)

28、之上對(duì)應(yīng)于主值積分，穿過奇點(diǎn)，以及從奇點(diǎn)之下穿過朗道圍道。 伯恩斯坦波沒有阻尼，而對(duì)于斜向傳播的靜電波，可產(chǎn)生阻尼。221( ),0,1,2xeZdxisesx等離子體的平衡 平衡時(shí)，等離子體不運(yùn)動(dòng)，滿足 這闡明，磁力線和電流線都是在等壓面內(nèi)。 是沿著等壓面的法線方向，j和B都與它垂直，因此他們都平行于等壓面 對(duì)于平直的磁力線，在垂直方向，有 對(duì)于柱等離子體，由于對(duì)稱性，等壓面就是柱的同心圓面。磁場(chǎng)既有軸向也有徑向分量：pjB20costant2Bpp( )( )zzB rB rBeejB柱形等離子體的平衡 柱對(duì)稱平衡時(shí)，磁力線具有一定的曲率： 其中 因此，徑向的平衡方程為：200()02Bp

29、BB2200()02BdBpdrr211( )( )( )( )rB rB rBrr BBee無(wú)力場(chǎng)的平衡 在低b等離子體中，磁場(chǎng)力占主導(dǎo)位置，熱壓力梯度力可以忽略不計(jì)。平衡時(shí)，必需電流與磁場(chǎng)平行，滿足： 其中a為常數(shù)時(shí)，是線性無(wú)力場(chǎng)，系統(tǒng)到達(dá)整體勢(shì)能最小的平衡形狀。 做旋度，得Helmholtz方程： 可分別解其中的三個(gè)分量。太陽(yáng)低日冕中常用無(wú)力場(chǎng)模型。 當(dāng)a不為常數(shù)時(shí)，是非線性無(wú)力場(chǎng)，求解更困難些。 BB22()0 B平衡系統(tǒng)的MHD不穩(wěn)定性 MHD不穩(wěn)定性能量原理： 假設(shè)系統(tǒng)中的等離子體各處都有微小位移，假設(shè)系統(tǒng)整體的能量有所上升，那么系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡形狀，反之，那么不平衡。如下圖： 設(shè)

30、位移 速度可以表示為dddtttdttvv( , )( )i tte r r位移之后勢(shì)能添加，系統(tǒng)穩(wěn)定位移之后勢(shì)能減小，系統(tǒng)不穩(wěn)定擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響 延續(xù)性方程得到： 作為隨體運(yùn)動(dòng)，從絕熱方程得到 從磁場(chǎng)凍結(jié)方程得到 從牛頓方程得到 由于F與x成正比，系統(tǒng)能量的變化為10() BB10()100ppp 2010011p FjBjB220010011112212Wd dVd dVdVdVpdV F F jBjB系統(tǒng)能量的變化 其中： 留意到 ，即磁場(chǎng)與邊境面平行，否那么等離子領(lǐng)會(huì)沿著磁力線運(yùn)動(dòng)，邊境無(wú)法靜止。因此101001100022011100110011()()()11()()()dVdVd

31、VdB dVddB dV jBBB BBB B BBS B BSB B S00nBe201101110201110110011()()22111()222nWdB dVppdVpdSB dVpdV BB SjB BBjB 擾動(dòng)滿足的邊境條件 在邊境兩邊總壓力是一樣的，即 思索到擾動(dòng)時(shí)，其隨體的變化為： 在等離子體和真空的邊境，在跟隨等離子體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中，電場(chǎng)切向分量延續(xù)，且都為0，即知邊境附近的真空中 其中運(yùn)用了磁場(chǎng)與邊境面平行的邊境條件。上式可簡(jiǎn)化為 并留意到真空的外表和等離子體的外表的矢量方向相反，且真空中沒有電流，即 22010010100000()()22eeen nn nBBppB

32、 BBBee1100()()0neennett AeEvBeeB10nne eAB10e B220022eBBp金屬壁包圍等離子體的系統(tǒng) 運(yùn)用 化簡(jiǎn)， 上式中，在完全導(dǎo)電的金屬壁上，電場(chǎng)切向分量為零，因此在真空中的金屬壁邊境附近 因此可以不思索真空與金屬壁邊境面上的積分。11()00nnt AeeA11e BA0111111121111111neeneeevaceeeevacvacvacdSdSdddVdVB dV BBeABBASBASBABAAB系統(tǒng)能量的變化的各項(xiàng) 最后化簡(jiǎn)能量公式得 分析式中各項(xiàng)的作用，第一項(xiàng)總是正的，起穩(wěn)定作用。等離子體形變時(shí)，引起真空區(qū)間的磁場(chǎng)變化，而真空中的磁場(chǎng)本

33、來(lái)處于能量最低形狀，任何改動(dòng)真空磁場(chǎng)形狀的變化都要破費(fèi)能量，因此這項(xiàng)抑制等離子體形變。222201001000001122222100100000100()222212()22221122neenenenevacBBBWpdSdVpdVBBBBdVpddVdVppdV BBejBSjB系統(tǒng)能量的變化各項(xiàng)的作用 第二項(xiàng)，假設(shè)從等離子體到真空時(shí)，總壓力磁壓加動(dòng)壓增大，那么這項(xiàng)為正，起穩(wěn)定作用，反之那么是起不穩(wěn)定作用。因此要想穩(wěn)定，需求真空中的磁壓力要越來(lái)越大。第三項(xiàng)，是等離子體內(nèi)部的磁場(chǎng)起的穩(wěn)定作用。第四項(xiàng)，經(jīng)常引起不穩(wěn)定，即電流驅(qū)動(dòng)的不穩(wěn)定性。第五項(xiàng)中的前一部分，經(jīng)常引起壓力不均勻?qū)е碌牟环€(wěn)定性

34、，后一部分總是正的，是等離子體的可緊縮性提供的穩(wěn)定作用對(duì)于不可緊縮等離子體，這項(xiàng)為0。交換不穩(wěn)定性 普通流體中的Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性，在等離子體中表現(xiàn)為交換不穩(wěn)定性。以磁場(chǎng)來(lái)平衡等離子體所遭到的非電磁力例如重力，就能夠會(huì)出現(xiàn)這種不穩(wěn)定性。 想象磁通一樣的兩束相鄰的流管1與2，交換過后體積互變，體積改動(dòng)的同時(shí)，壓力變化滿足絕熱條件，以流管1為例，體積由V1變?yōu)閂2，壓力從P1變?yōu)镻1，設(shè) 內(nèi)能的表達(dá)式為2121,VVVPPP11000000111VVVPV VPV VPVUPdVPV V dV交換不穩(wěn)定性 交換之后，內(nèi)能變化為111 22 11 12 21 122 211 12

35、 211 11111121 1211221111111(1)(1)(1)1 (1)(1)1(1)()1 (1)12(1)(1)(1)2UPVPVPVPVPV VPV VPVPVPVVPVPVVPVPVPVVVVVPVVPVV 11112221 112211111112)(1)()(1)122PVP VPVP VPVVVP VP VVPP VVVP VP VV 交換不穩(wěn)定性 由于上式中的第一項(xiàng)總是正的，因此不穩(wěn)定性僅在于當(dāng)?shù)诙?xiàng)小于0時(shí)才有能夠出現(xiàn)。思索等離子體邊境處，等離子體通量管和它相鄰的真空通量管交換時(shí)，總有dP0，因此穩(wěn)定條件為dV0 ，即同樣磁通量的真空通量管的體積比相鄰的等離子體通量

36、管小，因此 式中，F(xiàn)是磁通量，B是磁場(chǎng)強(qiáng)度。00dldlVSdldlBBB Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 思索有重力的情況，在垂直方向y方向，流體密度不均勻，且上面的流體密度大于下面的密度，可以引發(fā)Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性。 設(shè)初始擾動(dòng)： 且流體是不可緊縮的，即 思索系統(tǒng)擾動(dòng)之后的受力變化為：()( , )(0,( ),( )i kztyztyye r0yzdikdy 1001000211000()( )pppppp F ggRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 將方程做旋度運(yùn)算以便消去壓力項(xiàng)，并留意到平衡時(shí)的0階密度只與y有關(guān)，那么 利用不可緊縮條件消去得到 在

37、每一種介質(zhì)里面，密度是常數(shù)，方程變?yōu)椋?002000()()()yzyyikikg g222000()yyykkg 02000( )0kyyyykyeykyeyxykRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 在邊境y=0附近區(qū)間對(duì)原方程積分得到 假設(shè)上面的密度大于下面的密度，那么得到虛的頻率，引發(fā)不穩(wěn)定性，其增長(zhǎng)率為 對(duì)于有磁場(chǎng)的情況，留意到磁場(chǎng)散度為0，以及邊境處磁場(chǎng)法線方向分量為0，因此B0y=0，磁場(chǎng)只需x和z分量。 22002()()ululluulkkgkg ()/()ululkgRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 旋度作用后的受力方程中添加磁場(chǎng)力一項(xiàng)為 而 而 代入下式： 2

38、220001()() yyyxkkgik jB1010000,yzyzzzyzzyyzBikBBikBBBB2011111222201100100() (/2 () ) () ) () )() )() ()xxxzyzzyzzyyzzyBikikB BB Bk B BikBk B j BBBBBBBBB100000()()()zyikBB BBBBRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 因此， 或 同樣在分界面附近積分， 得到頻率的表達(dá)式： 磁場(chǎng)項(xiàng)永遠(yuǎn)不小于0，在這里起穩(wěn)定作用。直觀地看，磁力線有張力而趨于平直，它與等離子體凍結(jié)，起固定等離子體的作用，抑制不穩(wěn)定性。2222222000000

39、()( ()/yyyyzz ykkg kBk B 22220000()2/)()0ulzulk Bkkg 22002()()luululkg k B222222220000000(/) )(/)0zyzyyk Bkk Bkg 柱形等離子體不穩(wěn)定性 假設(shè)等離子體分開平衡位置的位移可表示為： 且等離子體是不可緊縮的，即 思索柱形等離子體內(nèi)部磁場(chǎng)和壓力是均勻且電流存在于等離子體柱外表的情況， 內(nèi)部磁場(chǎng) 外部磁場(chǎng) 受力方程為( , )( )( )( )ikz imi trrzztrrre reee0 00izBBe00( ) ,( )1/ezzBB rB rrBee200()()2dBpdtvBB柱形

40、等離子體不穩(wěn)定性 記總壓強(qiáng) ： 保管一階擾動(dòng)小量時(shí) 而從磁感應(yīng)方程及不可緊縮條件式可知 進(jìn)而可得 取散度，由不可緊縮條件可得202Bpp2010120BptzB100()ikBB B2220010()k Bp 210p柱形等離子體不穩(wěn)定性 化為Bessell方程 ： 可解得滿足r=0處有限的解： 這里Im(x)是修正Bessell函數(shù)。對(duì)壓力梯度式取方向分量，可得2221221()0ddmkpdrr drr11()( )()ikz imi tmmIkrpp aeIka2220010()() ( )( )()mrmk BkIkaap aIka 柱形等離子體不穩(wěn)定性 在等離子體外部，由于沒有電流，故磁場(chǎng)可以用勢(shì)場(chǎng)表示： 由于磁場(chǎng)的散度總是為0，即有 同樣滿足與類似的Bessell方程，其解為在無(wú)窮遠(yuǎn)處為0，在這個(gè)邊境條件下， 這里Km(x)是修正Bessell函數(shù)。因此， 1eB20()( )()ikz imi tmmKkraeKka1()( )( )()merzmkKkamaaiikKkaaBeee柱形等離子體不穩(wěn)定性 等離子體內(nèi)部和外部的擾動(dòng)場(chǎng)如今都曾經(jīng)知道，還需求用邊境條件