金融數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)

1、l經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的l風(fēng)險(xiǎn)有多種定義，不確定性l從定量模型化解釋風(fēng)險(xiǎn)l投資人面臨風(fēng)險(xiǎn)的決策（第一節(jié)）lRothschild和Stiglitz提出隨機(jī)占優(yōu)（第二節(jié)）l對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：l 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中狀態(tài)變量的事前不確定性l對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡引發(fā)投資人的投資組合的分散化問題以及對(duì)所需交換的資產(chǎn)的合理定價(jià)問題 l金融經(jīng)濟(jì)學(xué)框架的核心問題：l 如何分散風(fēng)險(xiǎn)l 如何確定風(fēng)險(xiǎn)的合理價(jià)格 l伯努利（Bernoulli）效用函數(shù)（確定值）lVon-Neumann -Morgenstern預(yù)期效用函數(shù)l“預(yù)期”有“期望”之義，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l例2.1。Page 46表示確定收益 , )(u) )

2、(u()()()()(xxdFxExdFxuFuxuEl如果F(x)是二項(xiàng)分布，則，l風(fēng)險(xiǎn)厭惡伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)l嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡嚴(yán)格不等式，u0，u0l定理2.1：對(duì)任意F，有l(wèi) 風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)l證明需要使用Jensen不等式。l同樣：可以定義風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好) )(u() )(u()()()(xxdFxExdFxuxuEl對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，l風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，數(shù)學(xué)定義如下lPratt(1964)定義絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)l絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，必需給予的溢價(jià)補(bǔ)償也越大)(,)(2)()()()(2XEXXuXuXuEXEuXu 22)()()

3、( XuXuXralPratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)l相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，所要求的單位方差的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)補(bǔ)償也越高 )1 ()(1(XXEX假設(shè)：)1)()()1 (XuEXuEXu)()(,21)(2)(22XuXuXRRARRAXuXuX l例2.2。當(dāng)前財(cái)富為W=a+(Wa)l今后財(cái)富XWa+a(1+r)=W+ar，優(yōu)化問題l關(guān)于a是凹函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)0，（2.17）la是解，是W的函數(shù)，l（2.17）中對(duì)W求導(dǎo)數(shù)，l（2.18）。)(max)(max00raWuEXuEWaWal隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化l假設(shè)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加l對(duì)r0和r0，都可

4、得到l（2.20a）l從（2.17）得（2.21）lu是凹函數(shù)，得（2.21a）)( )( 2raWurEraWurEdWda0)( raWurE0)( 2raWurEl最后l風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資人投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富隨著總財(cái)富的上升而增加 l關(guān)于絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加l經(jīng)過推導(dǎo)可知，要求三階導(dǎo)數(shù)為正數(shù)l度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡在于比較不同投資人對(duì)同一風(fēng)險(xiǎn)決策的態(tài)度。l在資產(chǎn)定價(jià)理論中，一般假定存在一個(gè)典型性投資人。需要處理典型投資人對(duì)不同資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益的判斷，即資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量問題。 0*dWdal怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？l簡化的風(fēng)險(xiǎn)比較：均值-方差 效用l用方差作為唯一標(biāo)準(zhǔn)不可行（期望

5、可能越大）l即使一種資產(chǎn)X預(yù)期收益等于另一資產(chǎn)Y，而X方差小于Y，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者也不一定偏好于X l如下面的例子lE(X)=E(Y)=2 ，Var(X)=4，Var(Y)=7l如果選擇風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)8/1, 98/7, 1Y2/1, 42/1, 0概率概率，概率概率X145981187)(1421021)()(則：YuEXuExxul只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當(dāng)包括三階矩以上為0時(shí)，均值方差效用才與真實(shí)的預(yù)期效用一致。l兩端取期望（w是期望值，數(shù)值），利用 3)(332)(!1)(21)()()(nnnwwwunRRwwwuwwwuwuwu)()(, 0)(2wVarwwEww

6、ElRothschildStiglitz更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架l比較資產(chǎn)收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數(shù)。l一階隨機(jī)占優(yōu)、二階隨機(jī)占優(yōu)以及均值不變下的分布擴(kuò)展MPSl假設(shè)有兩種資產(chǎn)A和B。A收益服從分布F（），B服從G（），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區(qū)間0，1）。lFirst-order Stochastic DominancelFSD定義：對(duì)任意非減的函數(shù)u：RR，l定理2.1是FSD的等價(jià)條件。注意不等號(hào)方向BAxdGxuxdFxuFSD則，)()()()(BAxGxFFSD)()(1FB(z)FA(z)1F(z)0zlSecond-order Stochastic DominancelSSD定義：F二階占優(yōu)于G，當(dāng)且僅當(dāng)l且對(duì)某些X值的集合，不等號(hào)成立。l符號(hào)l可以證明，如果SSD成立，則，l投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風(fēng)險(xiǎn)lSSD的三個(gè)等價(jià)條件 ,)()(1000ydxxGxFyBASSD取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*1yF(z)0lSSD的3個(gè)等價(jià)表述l“d”表示“依分布相等”l引入“展形spread”的概念0)(,)()(,0)()()(0AAdBBAxSSDrErrrErEdxxGxFxhBAmean p