數(shù)學(xué)建模作業(yè)影院座位選擇

1、影院座位選擇摘要看電影是眾多大學(xué)生所喜愛的業(yè)余享受,怎樣選擇一個(gè)好位子觀影也是大家所關(guān)心的一個(gè)問題.本文針對(duì)如何在敬文講堂選擇一個(gè)好位子看電影,建立模型進(jìn)行分析.由于座位的滿意程度主要取決于視角和仰角,視角越大,仰角越小越適宜.因此是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題.本文先建立了模型1,采用主目標(biāo)法找出了講堂最優(yōu)的一個(gè)位子.而后就“怎樣選擇一個(gè)好位子的問題,建立模型2,分析了講堂中央局部座位的滿意程度,由于這個(gè)問題涉及的目標(biāo)較多,即要考慮水平和垂直兩種情況,相對(duì)復(fù)雜.模型2作了巧妙的假設(shè),提出了根本視效的概念將目標(biāo)化為單一的一個(gè),運(yùn)用幾何的方法,給出了各個(gè)座位的根本視效值,從而根本視效值大的座位滿意度高,反

2、之,滿意度低.模型2的優(yōu)點(diǎn)在于防止了其他方法,如權(quán)重法的主觀性.因此模型也更加可信.關(guān)鍵詞多目標(biāo)規(guī)劃視角仰角幾何根本視效matlab一、問題的背景一看電影一直是廣闊學(xué)生所偏好的業(yè)余活動(dòng),將自己隱藏在一片漆黑之中,心隨畫面變換,感受視聽震撼,仿佛置身另一個(gè)世界,一時(shí)間忘卻所有煩惱.在師范大學(xué),每到周末便可看到各個(gè)海報(bào)欄貼著電影放映的信息,其中每周敬文講堂放映的英文電影,因其免費(fèi)放映、效果良好、寓教于樂,更是成為多年來的保存節(jié)目.每每放映之前,講堂門口都聚集著眾多同學(xué),排著長(zhǎng)隊(duì),準(zhǔn)備爭(zhēng)搶觀影好地形.問題的提出有效視角是指人的有效視覺范圍,一般,雙眼正常有效視角大約為水平90,垂直70,考慮雙眼余光

3、時(shí)的視角大約為水平180,垂直90o觀影時(shí)的視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角.經(jīng)醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)得知：10.以內(nèi)是視力敏銳區(qū),即中央視野,對(duì)圖像的顏色及細(xì)節(jié)局部的分辨水平最強(qiáng).20.以內(nèi)能正確識(shí)別圖形等信息,稱為有效視野.*030.,雖然視力及色區(qū)分水平開始降低,但對(duì)活動(dòng)信息比擬敏感,30.之外視力就下降很低了.但是人們又發(fā)現(xiàn),假設(shè)觀看一幅寬大的畫面時(shí),視角大到一定值后,觀看者會(huì)感到和畫面同處一個(gè)空間,給人帶來一種身臨其境的藝術(shù)效果.即雖然圖像內(nèi)容是二維平面的,但結(jié)合在一起后,平面的圖像能呈現(xiàn)出立體感,這種效果在觀察大畫面圖像時(shí),會(huì)令人感覺出畫面有自然感和動(dòng)人逼真的臨場(chǎng)感.也就是說觀影時(shí),視角

4、越大,越能到達(dá)一種身臨其境的滿足感.但是觀影時(shí)假設(shè)只考慮視角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的,其中仰角指觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角.例如,坐在第一排看電影,雖然視角很大,但觀影者須在這個(gè)觀影過程中仰頭,整個(gè)過程也不一定享受,一般仰角越小,觀影過程越舒適.同樣,定義斜角為觀眾眼睛到屏幕左、右邊緣視線與水平線的夾角中大的角度值,那么坐的越偏,斜角越大,座位過偏時(shí),也會(huì)導(dǎo)致頸部向一側(cè)扭曲,甚是難受,無疑坐的越靠近影院中軸線,斜角越小,越舒適.由上面的分析,在敬文講堂看電影時(shí),座位過偏、過前,整個(gè)過程要么扭頸斜視,要么曲項(xiàng)向大,著實(shí)難受,座位太后,又視覺不夠震撼,不夠享受.怎樣選擇一個(gè)好

5、座位呢,下面我們就進(jìn)行建模,找出其盡量的實(shí)際的答案.考慮到講堂的400個(gè)座位分為左側(cè)、中央和右側(cè)三個(gè)局部,其中中央局部約2*0個(gè)座位,兩側(cè)約各200個(gè).由于敬文講堂,只有一個(gè)小的投影屏幕,寬度遠(yuǎn)小于正規(guī)電影院的屏幕,兩側(cè)的座位的觀影效果在各個(gè)方面都比中央局部的座位差很多,又考慮到中央的近200個(gè)座位可以滿足占座位同學(xué)的需求,所以下面的討論都只限于中央的座位.以下圖為敬文講堂剖面簡(jiǎn)圖,只畫出中央局部的座位,且臺(tái)階型座位只簡(jiǎn)化為三、模型的建立模型1:尋找最優(yōu)位置顯然,最優(yōu)的位置一定位于講堂最中央的一列座位,所以這個(gè)模型所選擇的范圍就縮小了,只用考慮一列14個(gè)座位.1模型的假設(shè)A.假設(shè)敬文講堂的座位

6、面為與水平面夾角為的傾斜面如以下圖所示B.不考慮人們視力的影響,即坐在后排的人與坐在前排的人的觀影清楚度相同.C.不考慮中間座位與旁邊座位進(jìn)出方便程度的影響.D.只從中間局部的座位選擇.*.忽略觀眾頭頂?shù)窖劬Φ木嚯x.F.忽略觀眾兩眼間的距離.*.將每個(gè)座位所在區(qū)域視為一個(gè)矩形,觀眾的眼睛位于矩形的上面一條邊的垂直地面的中線上.2參量變量HhH1D*1l*屏幕上邊緣到地面的高度屏幕的高度最后一排距地面的高度觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的有向夾角觀眾眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線的有向夾角近似座位面與水平面所夾的二面角第一排座位與屏幕的水平距離最后一排座位與屏幕的水平距離觀眾眼睛到屏幕的水平距離

7、觀眾所處的座位面上的點(diǎn)到水平面的距離觀眾眼睛到水平面的距離觀眾平均坐高觀眾眼睛所在位置構(gòu)成的直線經(jīng)過實(shí)地測(cè)量,講堂中中央局部的座位有14排X13列,座位與座位之間左右間隔米,前后間隔1米.并測(cè)量、計(jì)算得到了以下參數(shù)的具體數(shù)值長(zhǎng)度單位均為米：H4h*D18d4a*130*an3/143模型的求解由于經(jīng)過如上假設(shè),最正確的位置一定位于講堂最中央的一列座位,所以問題便轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面幾何問題.為到達(dá)視角盡可能大,仰角盡可能小的目的,就是在線上選擇適宜的點(diǎn)使得角+盡量大,但角盡量小.由于和的變化范圍都在-90-90之間,所以可以用函數(shù)arctan來衡量角的大小.如圖所示,tan=HL,tan=業(yè)且.所以

8、=arc*,sisi*1si=arctar!+h-H注意,L+hH時(shí)為正,那么,問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為s1.HL+h-H一一,H-L一一,arc*a*-+arctan；一盡量大,而ar*ta*7盡量小.而后一目標(biāo)可簡(jiǎn)化為s1s1s*-L_s1盡量小,即士一盡量大.s1H-L用數(shù)學(xué)語言寫為：f1(s)=s1*f2(s)=ar*tanHL+arctan業(yè)s*s1Fs=*1*1,f2s1在解的可行域R內(nèi),求多目標(biāo)的極值問題可記為:m*xF(s1)這是一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題,一般,在解決這類問題時(shí),要用“化多為單的方法.下面就用主目標(biāo)優(yōu)化法對(duì)模型進(jìn)行求解.所謂主目標(biāo)法就是分清目標(biāo)的主要與次要,主要的目標(biāo)必

9、須到達(dá),所以這種方法就是使主目標(biāo)優(yōu)化,而使其他的目標(biāo)降為約束條件.進(jìn)一步分析,人們?cè)谟^影時(shí),視角大能到達(dá)更好的震撼效果,這也是人們進(jìn)電影院看電影的原因,而通過調(diào)整頸部的扭轉(zhuǎn)角度,只要角度不是很大,是不會(huì)給人的身體帶來太大的不適感的,特別是當(dāng)電影內(nèi)容比擬精彩時(shí),人們更會(huì)忽略頸部的不適感,而更追求觀影的視覺效果.查資料知,當(dāng)仰角不大于20時(shí),短時(shí)間的觀影不會(huì)給人體帶來太大的不適感.也就是說,視角大給人們帶來的滿足感比仰角小給人們帶來白舒適感更重要.所以f*(*1)為主要目標(biāo),f1(s*)降為約束條件f2(s1)tan(2*)o0那么問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性規(guī)劃：max*2(s1)ds*D*1(s1)t

10、an(*0)0在求f2(s1)極值時(shí),利用f2(s1)=0,即：(ar*ta*H-L)(arctarL+h-H)=0s1s1HL*p-s1201 (*L)1(Lh2H)s12s12*HHLh八0s12(H2*$12(Lh2H)將L=(*1-d)*tan+a=(s1-4)*3/14+,*=4,h=*,代入整理得3(s14)14s1*J)140*.1j3(s14)1*s12)214用*at*ab解得s1=4*-L*+*-H回出f=(arcta*)(arctan)的圖像(見以下圖)s1s1H-ll+h-*由圖像看出f*(s)=arctan+a*ctan的導(dǎo)數(shù)值恒負(fù)s1s1-0*1-*084*810*

11、21*16進(jìn)一步,算出各排的視角值排數(shù)12*4567視角*31.*2*排數(shù)891*11121314視角*510.*5以及各排的仰角值排數(shù)*2*4*67仰角*3.*1310.*42排數(shù)8910111*1314仰角:*7.*614*09*7視角是依排數(shù)遞減的,再由約束條件*2(s1)*.5時(shí)陰影局部的面積為=(x2-x*)(yi+y*)4棱錐在屏幕所在平面的投影面積為S=(*si)、,S那么根本視效k=一Sp用Matlab軟件可計(jì)算出有14排x*3列,282個(gè)座位的k值,下表為中央一列和他右側(cè)共98個(gè)座位的根本視效值,表格安排與座位安排相同：*094*.57094*48000*752*.01835

12、200*0.*63*14*.6*28*.31938*.1299300*.83951*0.*1902*53100*0.*2*04*6250*7*.6*7*.50618*.224340*89*7*.33705*58*20*.*1705*883*.2*831*2*.3*9*6*.12943*7*34*.1*43*.283*9*24*50.*5077*0*70.*077*.2*9*.131*7*.*832*5并畫出14排x*3列,*82個(gè)座位k值的三維圖形,可更直觀的看出各個(gè)座位的觀影適合程度,圖形中方格的分布與敬文講堂俯視圖中座位的分布相同.其中越突出的地方越適合觀影：從上面表格及圖形可看出,前9排

13、靠近中央的座位都比擬適合觀影,其中3到7排中央3列的座位觀影滿意度更佳.因此在敬文講堂看電影時(shí),可優(yōu)先選擇這些位子.且最正確的那*5個(gè)位子滿意度相差不多,選擇時(shí)不必過度苛求.而對(duì)于相對(duì)較偏的位子,靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的視覺效果.5模型的分析我們定義根本視效這一標(biāo)準(zhǔn)來衡量座位的優(yōu)良是有其合理性的.由于觀眾在觀看電影時(shí),視野中屏幕所占的比例越大,視覺效果越好,它與專業(yè)上所說的視角越大,視效越好是同理的,只不過一個(gè)用的是角度的度量,一個(gè)用的是比例系數(shù)的度量.當(dāng)觀眾的根本視效較小時(shí),他總會(huì)通過扭轉(zhuǎn)頸部的方法使根本視效最大化.例如,坐在第一排的觀眾沒有誰是不仰頭看電影的,而坐在邊上的觀眾也都

14、不是直視前方的.因此,這一模型就是將視角和仰角整合成一個(gè)變量,基本視效值k小既意味著視角不夠大,也暗含著,你需要更大地扭轉(zhuǎn)頸部來到達(dá)滿意的視效,從而要影響觀影的舒適度.這樣,模型就很好地把一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃變成了一個(gè)單目標(biāo)的規(guī)劃.而假設(shè)人的水平和垂直有效視角均為20,將人的有效視覺區(qū)域看成一個(gè)4棱錐,雖然看似荒唐,但對(duì)問題的解決上是不存在太大影響的,由于這是一個(gè)比擬問題,只需比擬座位之中哪個(gè)的根本視效最大.而采取20,而不是其他角度,是與醫(yī)學(xué)上認(rèn)為,2*.以內(nèi)能正確識(shí)別圖形等信息,并稱為有效視野相符合的,后來帶入程序也驗(yàn)證采用其他角度建立模型,得到的結(jié)果并不滿意.從模型2的結(jié)果,光看中央一列的根本

15、視效*值,正好是第*排到達(dá)最優(yōu),與模型1的結(jié)果一致,可以說相互作了驗(yàn)證,模型是合理的.四、參考文獻(xiàn)1劉來福,曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.北京師范大學(xué)出版社2席少霖,趙鳳治.最優(yōu)化計(jì)算方法.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社3范玉妹,徐爾,周漢良.數(shù)學(xué)規(guī)劃及其應(yīng)用第2版.冶金工業(yè)出版社4歐陽崇森.實(shí)用最優(yōu)化技術(shù).湖北科學(xué)技術(shù)出版社5清源計(jì)算機(jī)工作室.Ma*lab根底及其應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社五、心得體會(huì)經(jīng)過了兩周的奮戰(zhàn),終于完成了這篇凝聚了自己心血的論文.一周的選題,大海撈針,頭暈眼花,一周的寫論文,反復(fù)推敲,辛酸苦辣.最后近20頁沉甸甸、思想不是*trl+C力口Ct*+V的論文,還是帶給自己非凡的滿足感.選題時(shí)

16、階段,無論何時(shí)何地,都在想眼前的東西,可不可以建模分析一下,道邊的垃圾桶、教九樓的電梯、耳中的音樂、超市發(fā)的商品價(jià)格最后選擇了看電影的題目,還算比擬適合自己的水平.初次接觸這種多目標(biāo)規(guī)劃的題目,首先聯(lián)想到了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中學(xué)到的效用函數(shù)的概念,后來查找資料,真的有類似的分析方法-權(quán)重法.但仔細(xì)思考,發(fā)現(xiàn)此種方法的主觀性太大,不易把握,所以換了一個(gè)角度思考,使得模型的準(zhǔn)確性更高.特別是模型*的建立,將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃,依據(jù)了醫(yī)學(xué)的一些根本原理,提出了大膽的假設(shè),可以說盡量少的摻雜主觀成分.開始,模型2是用圓錐形來做的,后來在計(jì)算上過于復(fù)雜,因而改用4棱錐.在角度的選擇上也費(fèi)了不少心思,最后還是

17、發(fā)現(xiàn)用醫(yī)學(xué)上的有效視野的角度數(shù)最適宜.模型的結(jié)果還是和平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)比擬符合的,因此對(duì)于模型2這個(gè)靈感迸發(fā),還是十分滿意的.寫論文過程中,每晚對(duì)著電腦,有一種探索的感覺,不知道模型是否合理,所有努力是否會(huì)付之東流,只是一步步地前進(jìn)著,期待著一個(gè)滿意的結(jié)果.其中也出現(xiàn)了反復(fù),由于忘了一種的情況的討論,而疑心整個(gè)模型的正確性,一時(shí)間萬念俱灰,由于打錯(cuò)了一個(gè)字母,對(duì)著短短的程序發(fā)了一下午呆,欲哭無淚.所以作完了這次論文,也使自己充分領(lǐng)悟了細(xì)心的重要性.總之,感謝這學(xué)期開設(shè)的數(shù)學(xué)模型課,讓我們體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的魔力與探索的樂趣,讓我對(duì)著家教的學(xué)生可以講出數(shù)學(xué)的萬般用處,感謝老師和助教的辛勤輔導(dǎo),讓我們的建模和建算機(jī)水平都有了提升.最后對(duì)于論文中眾多的缺乏之處,還懇請(qǐng)老師指正.附錄：附Matl*b程序如下:模型1程序：建立M-文件functionf=f(s)f=(3*(s-4)/14-3.*)/(sA2+(3*(s-4)/A2)-(3*(s-4)x)+atan(x-4)*3/14+-1.*).反)func*iony2=y2(x)y2=atan(x-4)*/14+)./x)s=4:1:*7;y=y(*);y=y.*180/*.1*Colu*ns